Изложены основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и даны основные понятия об уравнениях с частными производными первого порядка. Авторы стремились объединить строгость изложения теории дифференциальных уравнений с прикладной направленностью ее методов. В связи с этим приведены многочисленные примеры из механики и физики. Отдельная глава посвящена линейным ОДУ второго порядка, к которым приводят многие прикладные задачи. Главу, посвященную изложению численных методов, следует рассматривать как вводную. Содержание учебника соответствует курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ Им. Н. Э. Баумана. Для студентов технических университетов и вузов. Может быть полезен интересующимся прикладными задачами теории дифференциальных уравнений. Всем салют :-) Продолжаю серию "Математика в техническом университете ". И так, нововведения серии: 1. Добавлен список уже отсканенных книжек + помечены готовящиеся к цифровому выходу в свет) 2. Все теперь делаются по одному шаблону: djvu+ocr, обложка и полное содержание. После чего готовая книга архивируется в rar с 5% восстановлением. 3. ВСЕ архивы с книгами серии запоролены. Сделано из многих соображений, не буду вдаваться в подробности. Пароль: www.infanata.org зы. Теорию вероятностей переделал в нормальном качестве, линк смотрите ниже, либо в комментах в публикации о ней. ззы. Всевозможные предложения и пожелания по серии и виду публикаций всячески приветствуются -)
Author(s): С.А. Агафонов, А.Д. Герман, Т.В. Муратова
Series: Математика в техническом университете 8
Edition: 3-е изд., стер
Publisher: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,
Year: 2004
Language: Russian
Pages: 348
City: М
Tags: Математика;Дифференциальные уравнения;
Предисловие......Page 5
Основные обозначения......Page 9
1.1. Основные понятия и определения......Page 15
1.2. Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Поле направлений......Page 18
1.3. Задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений......Page 19
Вопросы и задачи......Page 23
2.1. Постановка задачи Коши. Интегральное неравенство......Page 24
2.2. Теорема существования и единственности решения (теорема Коши)......Page 27
2.3. Оценка разности двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных условий и параметра......Page 37
2.4. Изоклины и их использование для приближенного построения интегральных кривых......Page 45
Вопросы и задачи......Page 47
3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными......Page 49
3.2. Однородные и квазиоднородные уравнения......Page 55
3.3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель......Page 59
3.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати......Page 63
3.5. Особые точки и особые решения ОДУ первого порядка......Page 71
3.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной......Page 74
Д.3.1. Особенности составления дифференциальных уравнений в прикладных задачах......Page 78
Д.3.2. Ортогональные и изогональные траектории......Page 109
Вопросы и задачи......Page 113
4.1. Задача и теорема Коши......Page 115
4.2. Частное и общее решения системы дифференциальных уравнений......Page 118
4.3. Оценка разности двух решений......Page 119
4.4. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения высшего порядка. Случаи понижения порядка......Page 125
Вопросы и задачи......Page 132
5.1. Определения и основные свойства решений......Page 134
5.2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского - Лиувилля......Page 138
5.3. Теоремы о структуре общего решения однородной и неоднородной систем......Page 144
5.4. Метод вариации постоянных......Page 147
5.5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы......Page 151
5.6. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения......Page 153
5.7. Структура фундаментальной системы решений в случае кратных корней......Page 161
6.1. Сведение к линейной системе. Определитель Вронского и структура общего решения однородного уравнения......Page 169
6.2. Общее решение неоднородного уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных......Page 177
6.3. Понижение порядка линейного дифференциального уравнения......Page 183
6.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней характеристического уравнения......Page 185
6.5. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышева......Page 190
6.6. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью......Page 200
Вопросы и задачи......Page 208
7.1. Приведение уравнения к двучленному виду......Page 211
7.2. Нули решений. Теорема о конечности числа нулей на отрезке......Page 214
7.3. Теорема о чередовании нулей. Теоремы сравнения и Кнезера......Page 216
Д.7.1. О нулях решений нелинейных дифференциальных уравнений......Page 222
Вопросы и задачи......Page 223
8.1. Основные понятия и определения......Page 224
8.2. Теорема о локальном существовании системы первых интегралов......Page 228
8.3. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов......Page 230
8.4. Симметрическая форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений......Page 231
Вопросы и задачи......Page 234
9.1. Основные определения и понятия......Page 235
9.2. Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений......Page 241
9.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению......Page 245
9.4. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости......Page 251
9.5. Теоремы Четаева и Ляпунова о неустойчивости......Page 254
Д.9.1. Библиографический комментарий......Page 257
Вопросы и задачи......Page 258
10.1. Фазовый портрет системы......Page 259
10.2. Система нелинейных дифференциальных уравнений......Page 273
Д.10.1. Математическая модель сосуществования двух популяций......Page 278
Вопросы и задачи......Page 281
11.1. Постановка краевой задачи......Page 283
11.2. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши......Page 286
11.3. Прикладные примеры решения краевой задачи......Page 290
Вопросы и задачи......Page 303
12.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов......Page 304
12.2. Метод последовательных приближений......Page 308
12.3. Метод ломаных Эйлера......Page 310
12.4. Метод Рунге - Кутты......Page 314
12.5. Метод Чаплыгина......Page 320
Вопросы и задачи......Page 324
13.1. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши......Page 325
13.2. Квазилинейное дифференциальное уравнение......Page 330
Вопросы и задачи......Page 334
Список рекомендуемой литературы......Page 335
Предметный указатель......Page 338
