Представляет собой элементарный курс функционального анализа (метрические, линейные нормированные, гильбертовы пространства, теория линейных операторов и функционалов, теория линейных уравнений в банаховых пространствах, дифференцирование нелинейных отображений). Большое внимание уделяется обыкновенным дифференциальным и интегральным операторам и уравнениям. Изложен теоретический материал с подробными доказательствами, упражнения и задачи по основным разделам функционального анализа, приводятся подробные решения практически всех задач. Содержит также ряд индивидуальных домашних заданий. Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения. Для студентов математических факультетов классических и технических университетов, готовящих специалистов по математическим направлениям. Будет полезно и молодым преподавателям.
Author(s): Дерр В.Я.
Publisher: КНОРУС
Year: 2013
Language: Russian
Pages: 466
Tags: Математика;Функциональный анализ;
Предисловие ......Page 4
1.1. Определение и примеры ......Page 5
1.2. Основные понятия, связанные с метрикой ......Page 8
1.3. Анализ сходимости в конкретных пространствах ......Page 11
1.4. Полные метрические пространства ......Page 13
1.5. Теорема о пополнении ......Page 16
1.6. Принцип вложенных шаров ......Page 18
1.7. Принцип сжимающих отображений ......Page 19
1.8. Сепарабельные метрические пространства ......Page 27
1.9. Компактные множества ......Page 28
1.10. Критерий компактности множества в пространстве непрерывных функций ......Page 31
Упражнения ......Page 34
2.1. Определение и примеры ......Page 50
2.2. Конечномерные ЛНП ......Page 52
2.3. Прямое произведение. Изометрический изоморфизм ......Page 54
2.5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре ......Page 56
2.6. Пространства с мерой. Пространство S (Т, U, ?) ......Page 57
2.7. Пространство LP (Т, U, ?) ......Page 59
2.8. Плотные множества в LP (Т, U, ?) ......Page 63
Упражнения ......Page 66
3.1. Определение и простейшие свойства ......Page 73
3.2. Примеры гильбертовых пространств ......Page 74
3.3. Ортогональность ......Page 76
3.4. Ортогональные системы элементов ......Page 78
3.5. Ряд Фурье по ОНС ......Page 80
3.6. Роль пространства l2 ......Page 82
3.7. Примеры полных ортогональных систем ......Page 83
Упражнения ......Page 85
4.1. Линейные операторы и функционалы ......Page 89
4.2. Пространство линейных ограниченных операторов ......Page 97
4.3. Принцип равномерной ограниченности ......Page 101
4.4. Обратный оператор ......Page 104
Упражнения ......Page 110
5.1. Продолжение линейного ограниченного функционала ......Page 125
5.2. Следствия теоремы Банаха - Хана ......Page 126
5.3. Общий вид линейных непрерывных функционалов ......Page 127
5.4. Сопряженное пространство. Слабая сходимость ......Page 136
5.5. Сопряженный оператор ......Page 141
Упражнения ......Page 145
6.2. Вполне непрерывные операторы ......Page 152
6.3. Важные примеры ......Page 154
6.4. Подпространство вполне непрерывных операторов ......Page 156
6.5. Другие свойства вполне непрерывных операторов ......Page 158
Упражнения ......Page 159
7.1. Спектр линейного ограниченного оператора ......Page 164
7.2. Спектр вполне непрерывного оператора ......Page 167
7.3. Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора ......Page 169
Упражнения ......Page 171
8.1. Постановка задачи. Примеры ......Page 177
8.2. Первая теорема Фредгольма ......Page 180
8.4. Вторая теорема Фредгольма ......Page 182
8.5. Третья теорема Фредгольма ......Page 184
8.6. Альтернатива Фредгольма ......Page 185
Упражнения ......Page 186
9.1. Функции со значениями в банаховых пространствах ......Page 188
9.2. Дифференцирование по Фреше ......Page 189
9.3. Примеры нахождения производной Фреше ......Page 190
9.4. Свойства производной Фреше ......Page 192
9.5. Формула линеаризации. Метод Ньютона ......Page 193
9.6. Производная и дифференциал Гато ......Page 195
9.7. Производные и дифференциалы Фреше высших порядков ......Page 196
Упражнения ......Page 198
1 ......Page 200
2 ......Page 255
3 ......Page 282
4 ......Page 301
5 ......Page 354
6 ......Page 384
7 ......Page 404
8 ......Page 428
9 ......Page 435
1. Доказательство неравенств ......Page 445
2. Индивидуальные домашние задания ......Page 448
Список литературы ......Page 458
