La Formazione Della Teoria Degli Insiemi

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845 – Halle, 6 gennaio 1918) è stato un matematico tedesco, padre della moderna teoria degli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali. Cantor nacque a San Pietroburgo, figlio di George Waldemar Cantor, un mercante danese, e di Maria Anna Böhm, una musicista russa. Nel 1856 la famiglia si trasferì in Germania e Georg continuò la sua educazione presso le scuole tedesche, conseguendo il dottorato presso l'Università di Berlino nel 1867. Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico. Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Cominciò allora a leggere testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse: « L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Deo, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico. » Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì ad Halle dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Leopold Kronecker giudicò le sue scoperte «prive di senso». Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato l'insieme potenza di A. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito A ha una grandezza maggiore della grandezza di A stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice; per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega. L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.