Geometria plana y del espacio y Trigonometria

Geometria y Trigonometria
Prologo
Indice
Geometria plana
Breve resena historica
Babilonia
Egipto
Grecia
Tales de Mileto
Pitagoras de Samos
Euclides
Platon
Arquimedes de Siracusa
Apolonio de Perga
Heron de Alejandria
Geometrias no euclidianas
1 Generalidades
1. El metodo deductivo
2. axioma
3. Postulado
4. Teorema
5. Corolario
6. Teorema reciproco
7. Lema
8. Escolio
9. Problema
10. El punto
11. La linea
12. Cuerpos fisicos y cuerpos geometricos
13. Superficies
14. Semirecta
15. Segmento
16. Plano
17. Semiplano
18. Interseccion de planos
19. Poligonales concavas y convexas
20. Medida de segmentos
21. Error
22. Operaciones con segmentos
23. Igualdad y desigualdad de segmentos
24. Geometria
25 Teorema 1. En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta
Ejercicios
2 Angulos
26. Angulo
27. Medida de angulos
28. Relacion entre grado sexagesimal y el radian
29. Angulos asyacentes
30. Angulo recto
31. Angulo llano
32. Angulos complementarios
33. Complemento de un angulo
34. Angulos suplementarios
35. Suplemento de un angulo
36. Teorema 2. Dos angulos adyacentes son suplementarios
37. Angulos opuestos por el vertice
38. Teorema 3. Los angulos opuestos por el vertice son iguales
39. Angulos consecutivos
40. Teorema 4. Los angulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180 grados
41. Teorema 5. La suma de los angulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro angulos rectos
Ejercicios
3 Perpendicularidad y paralelismo. Rectas cortadas por una secante. Angulos que se forman
42. Definiciones
43. Caracter reciproco de la perpendicularidad
44. Postulado. Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha recta y solo una
45. Teorema 6. Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas se verifica
46. Reciproco Si por un punto exterior a una recta, se trazan varias rectas que corten a la primera se verifica
47. Distancia de un punto a una recta
48. Paralelismo
49. Teorema 7. Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre si
50. Corolario. Por un punto exterior a una recta, pasa una paralela a dicha recta
51. Postulado de Euclides. Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta
52. Corolario I. Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si
53. Corolario II. Si una recta corta a otra, corta tambien a las paralelas de esta
54. Corolario III. Si una recta es perpendicular a otra, es tambien perpendicular a toda paralela a esa otra
55. Caracteres del paralelismo (Relacion de equivalencia)
56. Metodo de demostracion por reduccion al absurdo
57. Problemas graficos
58. Rectas cortadas por una secante
59. Angulos internos
60. Angulos externos
61. Angulos alternos
62. Angulos correspondientes
63. Angulos conjugados
64. Paralelas cortadas por una secante
65. Lema
66. Teorema 8. Toda secante forma con dos rectas paralelas angulos alternos internos iguales
67. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos alternos internos iguales, dichas rectas son paralelas
68. Teorema 9. Toda secante forma con dos paralelas angulos alternos externos iguales
69. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano, angulos alternos externos iguales, dichas rectas son paralelas
70. Teorema 10. Dos angulos congujados internos, entre paralelas, son suplementarios
71. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos conjugados internos suplementarios, dichas rectas son paralelas
72. Teorema 11. Los angulos conjugados externos, entre paralelas, son suplementarios
73. Reciproco. Si una secante forma con dos rectas de un plano angulos congujados externos suplementarios, dichas rectas son paralelas
Ejercicios
4 Angulos con lados paralelos o perpendiculares
74. Teorema 12. Dos angulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido son iguales
75. Teorema 13. Dos angulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrrio, son iguales
76. Teorema 14. Si dos angulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos de ellos dirigidos en el mismo sentido, y los otros dos en sentido contrario, dichos angulos son suplementarios
77. Teorema 15. Dos angulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales
78. Teorema 16. Dos angulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen lados respectivamente perpendiculares son suplementarios
79. Teorema 17. Dos angulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales
Ejercicios
5 Triangulos y generalidades
80. Triangulo
81. Clasificacion de los triangulos
82. Rectas y puntos notables en un triangulo
83. Teorema 18. La suma de los tres angulos interiores de un triangulo vale dos angulos rectos
84. Angulo exterior de un triangulo
85. Teorema 19. La suma de los agulos exteriores de un triangulo vale cuatro angulos rectos
86. Teorema 20. Todo angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los dos angulos interiores no adyacentes
87. Igualdad de triangulos (Congruencia de triangulos)
88. Propiedades de los triangulos
Ejercicios
6 Casos de igualdad de triangulos (Congruencias)
89. Primer caso. Teorema 21. Dos triangulos son iguales si tienen un lado igual, y respectivamente iguales los angulos adyacentes a ese lado. ALA
90. Segundo caso. Teorema 22. Dos triangulos son iguales si tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellos, respectivamente iguales. LAL
91. Tercer caso. Teorema 23. Dos triangulos son iguales si tienen sus tres lados iguales. LLL
92. Igualdad de triangulos rectangulos
1. La hipotenusa y un angulo agudo son iguales
2. Un cateto y un angulo agudo son iguales
3. Los dos catetos son iguales
4. La hipotenusa y un cateto son iguales
93. Aplicaciones de la igualdad de triangulos
Ejercicios
7 Poligonos
94. Definiciones
95. Diagonal
96. Teorema 24. La suma de los angulos internos de un poligono convexo es igual a tantas veces dos angulos rectos, como lados menos dos tiene el poligono. A = (Lados - 2) * 180
97. Valor de un angulo interior de un poligono regular
98. Teorema 25. La suma de los angulos exteriores de todo poligono convexo es igual a cuatro angulos rectos
99. Valor de un angulo exterior de un poligono regular
100. Teorema 28. El numero de diagonales que pueden trazarse desde un vertice es igual al numero de lados menos tres
101. Teorema 27. Si n es el numero de lados del poligono, el numero total de diagonales D, que pueden trazarse desde todos los vertices esta dada por la formula D = n(n-3)/2
102. Teorema 28. Dos poligonos son iguales si pueden descomponerse en igual numero de triangulos respectivamente iguales y dispuestos del mismo modo
103. Reciproco. Si dos poligonos son iguales, se pueden descomponer en igual numero de triangulos respectivamente iguales e igualmente dispuestos
Ejercicios
8 Cuadrilateros
104. Cuadrilatero
105. Lados opuestos
106. Lados consecutivos
107. Vertices y angulos opuestos
108. Suma de angulos interiores
109. Diagonales de un vertice
110. Numero total de diagonales
111. Clasificacion de los cuadrilateros
112. Clasificacion de los paralelogramos
1. Rectangulo
2. Cuadrado
3. Romboide
4. Rombo
113. Clasificacion y elementos de los trapecios
114. Clasificacion de los trapezoides
115. Propiedades de los paralelogramos
Propiedades particulares del rectangulo
Propiedades particulares del rombo
Propiedades particulares del cuadrado
116. Teorema 29. Todo paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos
117. Reciproco. Si cada par de lados opuestos de un cuadrilatero son iguales, tambien son paralelos y el cuadrilatero es un paralelogramo
Ejercicios
9 Segmentos proporcionales
118. Repaso de las propiedades de las proporciones
119. Cuarta proporcional
120. Tercera proporcional
121. Media proporcional
122. Serie de razones iguales
123. Razones de dos segmentos
124. Segmentos proporcionales
125. Dividir un segmento en otros dos que esten en una razon dada
126. Teorema 30. Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales, determinan tambien segmentos iguales en la otra transversal
127. Teorema 31. Teorema de Tales. Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales
128. Observacion
129. Teorema 32. Toda paralela a un lado de un triangulo divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales
130. Reciproco. Si una recta al cortar a dos lados de un tri??ngulo, lo divide en segmentos proporcionales, dicha recta es paralela al tercer lado
131. Corolario. El segmento que une los puntos medios, de los lados de un triangulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad
132. Teorema 33. Propiedad de la bisectriz de un angulo interior de un triangulo
133. Problema
134. Comprobacion
135. Problemas graficos sobre segmentos proporcionales
136. Dividir un segmento en partes proporcionales a varios numeros
137. Hallar la cuarta proporcional a tres segmentos dados
138. Hallar la tercera proporcional a dos segmentos dados
Ejercicios
10 Semejanza de triangulos
139. Definicion
140. Lados homologos
141. Propiedades de la semejanza de triangulos
142. Razon de semejanza
143. Manera de establecer la proporcionalidad de los lados
144. Teorema 34. Teorema fundamental de existencia de triangulos semejantes
Teorema reciproco. Todo triangulo semejante a otro es igual a uno de los triangulos que pueden obtenerse trazando una paralela a la base de este
145. Casos de semejanza de triangulos
146. Primer caso. Teorema 35. Dos triangulos son semejantes cuando tienen dos angulos respectivamente iguales
147. Segundo caso. Teorema 36. Dos triangulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el angulo comprendido
148. Tercer caso. Teorema 37. Dos triangulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados
149. Casos de semejanza de triangulos rectangulos
150. Proporcionalidad de las alturas de dos triangulos semejantes
Ejercicios
11 Relaciones metricas en los triangulos
151. Proyecciones
152. Proyecciones de los lados de un triangulo
153. Teorema 38. Si en un triangulo rectangulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa se verifica
154. Teorema 39. Teorema de Pitagoras. En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
155. Corolario 1. En todo triangulo rectangulo, la hipotenusa es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos
Corolario 2. En todo triangulo rectangulo, cada cateto es igual a la raiz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto
156. Teorema 40. Generalizacion del Teorema de Pitagoras (Cuadrado del lado opuesto a un angulo agudo en un triangulo)
157. Teorema 41. Cuadrado del lado opuesto a un angulo obtuso en un triangulo
158. Clasificacion de u triangulo conociendo los tres lados
159. Calculo de la proyeccion de un lado sobre otro
160. Calculo de la altura de un triangulo en funcion de los lados
Ejercicios
12 Circunferencia y circulo
161. Definicion
162. Puntos interiores y puntos exteriores
163. Circulo
164. Circunferencias iguales
165. Arco de la circunferencia
166. Cuerda
167. Diametro
168. Posiciones de una recta y una circunferencia
169. Figuras en un circulo
170. Angulos centrales y arcos correspondientes
171. Igualdad de angulos y arcos
172. Desigualdad de angulos y arcos
173. Arcos consecutivos y suma y diferencia de arcos
174. Teorema 42. Propiedad del diametro. Un diametro divide a la circunferenci y al circulo en dos partes iguales
175. Semicircunferencias
176. Semicirculos
177. Teorema 43. El diametro es la mayor cuerda de la circunferencia
178. Teorema 44. Todo diametro perpendicular a una cuerda, divide esta y a los arcos subrendidos en partes iguales
179. Teorema 45. Relaciones entre las cuerdas y los arcos correspondientes. En una misma circunferencia, o en circunferencias iguales, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales, y si dos arcos son desiguales (menores que una semicircunferencia) a mayor arco corresponde mayor cuerda
180. Teorema reciproco. En una circunferencia, o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales corresponden arcos iguales, y si dos cuerdas son desiguales, a la mayor corresonde mayor arco
181. Teorema 46. Relaciones entre las cuerdas y sus distancias al centro. En una circunferencia, o en circunferencias iguales, cuerdas iguales equidistan del centro, y de dos cuerdas desiguales, la mayor dista menos del centro
182. Teorema reciproco. En una circunferencia o en circunferencias iguales las cuerdas equidistantes del centro son iguales, y de dos cuerdas que no equidistan del centro, la que menos dista es la mayor
183. Tangente a la circunferencia
184. Teorema 47. Propiedad de la tangente en el pun to de contacto. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto
185. Teorema reciproco. Si una recta es perpendicular a un radio en su extremo, es tangente a la circunferencia
Corolario. Por cada punto de una circunferencia pasa una tangente y solo una
186. Normal a una circunferencia
187. Teorema 48. Distancia en un punto a una circunferencia. La distancia minima de un punto a una circunferencia, es el menor de los dos segmentos de normal comprendidos entre el punto y la circunferencia
188. Posiciones relativas de dos circunferencias
189. Circunferencias exteriores
190. Circunferencias tangentes
191. Circunferencias secantes
192. Circunferencias tangentes interiormente
193. Circunferencias interiores
194. Circunferencias concentricas
195. Teorema 49. De lo dicho en los parrafos anteriores resulta: Dadas dos circunferencias situadas en un mismo plano, se verifica
196. Teorema reciproco. Si d es la distancia entre los centros de dos circunferencias de radios r y r', se verifica
197. Teorema 50. Los arcos de una circunferencia comprendidos entre paralelas, son iguales
13 Angulos en la circunferencia
198. Angulo central
199. Medida del angulo central
200. Angulo inscrito
201. Angulo semi-inscrito
202. Angulo ex-inscrito
203. Teorema 51. Medida de angulo inscrito. La medida de todo angulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados
204. Corolario 1. Todos los angulos inscritos en el mismo arco, son iguales
205. Corolario 2. Todo angulo inscrito en una semicircunferencia (Fig. 179) es recto
206. Arco capaz de un angulo
207. Teorema 52. Medida de angulo semi-inscrito. La medida del angulo seini-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados
208. Teorema 53. Medida del angulo ex-inscrito. La medida del angulo ex-inscrito es igual a la semisuma de los arcos que tienen su origen en el vertice y sus extremos en uno de los lados y en la prolongacion del otro
209. Angulo interior
210. Angulo exterior
211. Teorema 54. Medida del angulo interior. La medida del angulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones
212. Teorema 55. Medida del angulo exterior. La medida del angulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados
Ejercicios
14 Relaciones metricas en la circunferencia
213. Teorema 56. Relaciones entre las cuerdas. Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de los dos segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra
214. Teorema 57. Relaciones entre secantes. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior, es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior
215. Teorema 58. Propiedad de la tangente y la secante trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su segmento exterior
216. Division aurea
217. Calculo analitico del segmento aureo
218. Ejemplos
219. Division aurea en un segmento. Solucion grafica
220. Justificacion del metodo grafico
Ejercicios
15 Relaciones metricas en los poligonos regulares
221. Poligonos regulares
222. Poligono inscrito
223. Circunfeencia circunscrita
224. Poligono circunscrito
225. Circunferencia inscrita
226. Radio de un poligono regular
227. Angulo central
228. Teorema 59. Si se divide una circunferencia en tres o mas arcos iguales, las cuerdas que unen los puntos sucesivos de division, formaran un poligono regular inscrito
229. Corolario. Si unimos el punto medio de cada uno de los arcos subtendidos por los lados de un poligono regular inscrito con los dos vertices mas proximos, se formara un poligono regular inscrito de doble numero de lados que el poligono dado
230. Teorema 60. Si se divide una circunferencia en tres o mas arcos iguales, las tangentes trazadas a la circunferencia por los puntos de division o por los puntos medios de dichos arcos, forman un poligono regular circunscrito
231. Teorema 61. Todo poligono regular puede ser inscrito en una circunferencia
232. Apotema
233. Calculo de la apotema en funcion del lado y el radio
234. Calculo del lado del poligono regular inscrito de doble numero de lados
235. Calculo del lado del poligono circunscrito
236. Aplicaciones
237. Calculo del lado del hexagono
238. Calculo del lado del triangulo equilatero
239. Lado del cuadrado
240. Teorema 62. Propiedad del lado del decagono regular. El lado del decagono regular inscrito en una circunferencia es igual al segmento aureo del radio
241. Calculo del lado del decagono regular inscrito en una circunferencia
242. Teorema 63. Propiedad del pentagono regular. El lado del pentagono regular inscrito en una circunferencia es igual a la hipotenusa de un triangulo rectangulo cuyos catetos son el lado del hexagono y el lado del decagono inscrito en dicha circunferencia
243. Calculo del lado del pentagono regular inscrito en una circunferencia
244. Calculo del lado del octagono regular inscrito en una circunferencia
245. Calculo del lado del dodecagono regular inscrito en una circunferencia
246. Resumen de las formulas de los poligonos regulares
Ejercicios
16 Poligonos semejantes. Medidas de la circunferencia
247. Poligonos semejantes
248. Observacion importante
249. Teorema 64. "Dos poligonos regulares del mismo numero de lados son semejantes
250. Teorema 65. Relcion entre las apotemas, los radios y lo lados de los poligonos regulares del mismo numero de lados. La razon de los lados de dos poligonos regulares del mismo numero de lados es igual a la razon de sus radios y a la razon de sus apotemas
251. Corolario. La razon entre el perimetro de un poligono regular y el radio, o el diametro, de la circunferencia circunscrita, es constante para todos los poligonos regulares del mismo numero de lados
252. Teorema 66. En una circunferencia el perimetro de un poligono regular inscrito de 2n lados es mayor que el perimetro del poligono regular inscrito de n lados
253. Teorema 67. El perimetro de un poligono regular circunscrito de 2n lados, es menor que el perimetro del poligono regular de n lados, circunscrito a la misma circunferencia
254. Longitud de la circunferencia
255. Rlacion entre a apotema y el radio
256. Teorema 68. Proporcionalidad entre las longitudes de circunferencias y sus radios o diametros. La razon de las longitudes de dos circunferencias cualesquiera es igual a la razon de sus radios y de sus diametros
257. Corolario. La razon entre la longitud de una circunferencia y su diametro, es una cantidad constante
258. El numero PI
259. Corolario. La longitud de una circunferencia es igual al duplo de PI, multiplicado por el radio
260. Calculo de la longitud de una circunferencia
261. Longitud de un arco de circunferencia de n grados
262. Calculo de valores aproximados de PI
263. Metodo grafico para rectificar aproximadamente una circunferencia
264. Justificacion de la construccion anterior
Ejercicios
17 Areas
265. Superficie
266. Area
267. Medida de una superficie
268. Suma y diferencia de areas
269. Figuras equivalentes
270. Caracteres de la equivalencia de figuras
271. Teorema 69. Area del rectangulo. Si dos rectangulos tienen igual base e igual altura, son iguales
272. Teorema 70. Si dos rectangulos tienen iguales las bases, sus areas son proporcionales a las alturas
273. Teorema 71. Si dos rectangulos tienen las alturas iguales, sus areas son proporcionales a las bases
274. Teorema 72. Las areas de dos rectangulos son proporcionales a los productos de sus bases por sus alturas
275. Teorema 73. El area de un rectangulo es igual al producto de su base por su altura
276. Corolario. El area del cuadrado es igual al cuadrado del lado
277. Teorema 74. Area del paralelogramo. El area de un paraIdogramo es igual al producto de su base por su altura
278. Teorema 75. Area del triangulo. El area de un triangulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura
279. Corolario 1. Las areas de dos triangulos son proporcionales a los productos de las bases por las alturas
280. Corolario 2. Las areas de dos triangulos cuyas bases son iguales, son proporcionales a sus alturas y si las alturas son iguales, son proporcionales a las bases
281. Corolario 3. Si dos triangulos tienen igual base e igual altura son equivalentes
282. Teorema 76. Si dos triangulos tienen un angulo igual, sus areas son proporcionales a los productos de los lados que forman dicho angulo
283. Teorema 77. Si dos triangulos son semejantes, sus areas son proporcionales a los cuadrados de sus lados homologos
284. Teorema 78. Area del triangulo en funcion de sus lados. Formula de Heron. El area de un triangulo en terminos de sus lados a b c, y su perimetro p
285. Teorema 79. Area de un triangulo equilatero en funcion del lado
286. Teorema 80. Area del triangulo en funcion de sus lados y del radio de la circunferencia inscrita. El area de un triangulo es igual al producto de su semiperimetro por el radio de la circunferencia inscrita
287. Teorema 81. Area del triangulo en funcion de sus lados y del radio de la circunferencia circunscrita. El area de un triangulo es igual al producto de sus lados divididos por el cuadruplo del radio de la circunferencia circunscrita
288. Teorema 82. Area del rombo. El area del rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales
289. Corolario. El area de un cuadrado es igual a la mitad del cuadrado de la diagonal
290. Teorema 83. Area del trapecio. El area de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura
291. Teorema 84. Area de un poligono regular. El area de un poligono regular es igual al producto de su semiperimetro por su apotem
292. Teorema 85. El area de un circulo es igual al producto de PI por el cuadrado del radio
293. Corolario
294. Teorema 86
295. Teorema 87
296. Corolario
297. Sectores circulares semejantes
298. Teorema 88
299. Teorema 89
300. Corolario. Las areas de dos circulos son proporcionales a los cuadrados de sus radios o a los cuadrados de sus diametros
301. Area del segmento circular
Ejercicios
18 Rectas y planos
302. Determinacion del plano
303. Posiciones de dos planos
304. Posiciones de una recta y un plano
305. Posiciones de dos rectas en el espacio
306. Teorema 90. Las intersecciones a y b de dos planos paralelos alfa y beta con un tercer plano gamma son rectas paralelas
307. Teorema 91. Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano alfa que pase por una de ellas b es paralelo a la otra
308. Corolario. Si una recta AB es paralela a un plano alfa la intersecccion MN del plano alfa con otro cualquiera que pase por la recta es paralela a la recta
309. Teorema 92. Si dos rectas a y b que se cortan son paralelas a un plano alfa, el plano que ellas determinan es tambien paralelo al plano
310. Teorema 93. Si un plano alfa corta a una de dos rectas a y b paralelas corta tambien a la otra
Corolarios: 1. Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta tambien al otro. 2. Si un plano corta a uno de dos planos paralelos corta tambien al otro. 3. Si dos planos son paralelos a un mismo plano son paralelos entre si
311. Teorema 94Dos rectas b y c paralelas a una tercera a son paralelas entre si
312. Teorema 95. Si dos angulos 313. Teorema 96. Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos, los segmentos correspondientes son proporcionales
314. Recta perpendicular a un plano
315. Distancia de un punto P a un plano a
316. Paralelismo y perpendicularidad
317. Distancia entre dos planos a y b paralelos
318. Postulados
319. Angulo diedro
320. Angulo rectilineo corresondiente a un diedro. Medida de un angulo diedro
321. Igualdad y desigualdad de angulos diedros
322. Angulos diedros consecutivos
323. Planos perpendiculares
324. Plano bisector de un angulo diedro
325. Proyeccion de un punto A sobre un plano a
326. Distancia entre dos rectas que se cruzan
327. Angulo oliedro convexo
328. Seccion plana de un angulo poliedro
329. Angulos diedros en un angulo poliedro
330. Angulo triedro
331. Clasificacion de los triedros
332. Poliedro convexo
333. Poliedros regulares
Ejercicios
19 Prismas y piramides
334. Prismas. Definicion y elementos
335. Paralelipedo
336. Ortoedro
337. Teorema 97. En todo ortoedro, el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres aristas que concurren en un mismo vertice
338. Cubo
339. Romboedro
340. Piramide
341. Piramide regular
342. Teorema 98. La razon entre el area de la base de una piramide y el area de una seccion paralela a esta, es igual a la razon entre los cuadrados de sus distancias al vertice
343. Areas de los poliedros
344. Prisma recto
345. Seccion recta de un prisma
346. Area lateral de un prisma cualquiera
347. Piramide regular
348. Tronco de piramide. Area lateral total
Ejercicios
20 Volumenes de los poliedros
349. definiciones
350. Teorema 99. El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones
Corolario 1. El volumen de un cubo es igual al cubo de la longitud de su arista
Corolario 2. El volumen de un ortoedro es igual al producto del area de la base por la altura
351. Teorema 100. La razon de los volumenes de dos ortoedros es igual a la razon de los productos de sus tres dimensiones
352. Teorema 101. La razon de los volumenes de dos ortoedros de igual base es igual a la razon de sus alturas
353. Teorema 102. La razon de los volumenes de dos ortoedros de igual altura es igual a la razon de las areas de las bases
Corolarios: 1. Si dos octaedros tienen respectivamente iguales dos dimensiones los volumenes son entre si como la razon de la otra dimension. 2. Si dos ortoedros tienen iguales una dimension la razon de los volumene es igual a la razon del producto de las otras dos
354. Prismas iguales
355. Prisma truncado
356. Prismas equivalentes
357. Teorema 103. Un prisma oblicuo es equivalente al prisma recto que tenga por base la seccion recta del primero y por altura su arista lateral
358. Teorema 104. Volumen de un paralelelipedo recto. El volumen de un paralelepipedo recto es igual al producto del area de la base por la medida de la altura
359. Teorema 105. Volumen de un paralelelipedo cualquiera. El volumen de un paralelepipedo cualquiera es igual al producto del area de la base por la longitud de la altura
360. Teorema 106. Todo paralelepipedo puede descomponerse en dos prismas triangulares equivalentes
Corolario. El volumen de un prisma triangular es igual al producto del area de la base por la longitud de la altura
361. Teorema 107. Si dos piramides tienen la misma altura y bases equivalentes, las secciones paralelas a las bases, equidistantes de los vertices, son equivalentes
362. Teorema 108. Dos tetraedros de igual altura y bases equivalentes, son equivalentes
363. Teorema 109. Todo tetraedro es la tercera parte de un prisma triangular de la misma base e igual altura
364. Teorema 110. Volumen de la piramide. El volumen de una piramide cualquiera es igual a un tercio del producto del area de la base por la medida de la altura
Corolario 1. Toda piramide es la tercera parte de un prisma que tenga igual base e igual altura
Corolario 2. La razon de los volumenes de dos piramides cualesquiera es igual a la de los productos de sus bases por sus alturas
Corolario 3. Dos piramides de igual altura y bases equivalentes, son equivalentes
365. Teorema 111. Todo tronco de piramide triangular de bases paralelas es equivalente a la suma de tres piramides de la misma altura del tronco y cuyas bases son las dos del tronco y una media proporcional entre ambas
366. Teorema 112. Un tronco de piramide de bases paralelas es equivalente a un tronco de piramide triangular de la misma altura y bases equivalentes a las del tronco dado
367. Volumen de un tronco de piramide de bases paralelas
Ejercicios
21 Cuerpos redondos
368. Superficie de revolucion
369. Cilindro. Areas lateral y total. Volumen
370. Superficie conica de revolucion
371. Cono circular recto. Areas lateral y total. Volumen
372. Tronco de cono. Areas lateral y total
373. Superficie esferica y esfera
374. Posiciones relativas de una recta y una esfera
375. Cono y cilindro circunscrito a una esfera
376. Figuras de una superficie esferica y en la esfera
377. Area de una esfera y de figuras esfericas
Area de un casquete o de una zona esferica
Area de un uso horario
378. Relaciones entre el area de una esfera y la del cilindro circunscrito
379. Volumenes de la esfera
Ejercicios
22 Trigonometria
380. Angulo desde el punto de vista trigonometrico
381. Angulos positivos y angulos negativos
382. Sistema de coordenadas rectangulares
383. Coordenadas de un punto
384. Funciones trigonometricas de un angulo agudo en un triangulo rectangulo
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
385. Funciones y cofunciones trigonometricas de un angulo cualquiera
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
386. Signos de las funciones trigonometricas
387. Resumen de los valores de las funciones trigonometricas de los angulos que limitan los cuadrantes
Ejercicios
23 Funciones trigonometricas de angulos complementarios, suplementarios, etc
388. Circulo trigonometrico y lineas trigonometricas
389. Reduccion al primer cuadrante
390. Funciones trigonometricas del angulo ( 90-a)
391. Funciones trigonometricas del angulo (180-a)
392. Funciones trigonometricas del angulo (180+a)
393. Funciones trigonometricas del angulo (360-a)
394. Funciones trigonometricas del angulo -a
Ejercicios
24 Relaciones entre las funciones trigonometricas. Identidades y ecuaciones trigonometricas
395. Relaciones fundamentales entre las funciones trigonometricas de un mismo angulo
396. Reciprocidad de las funciones trigonometricas
397. Otras relaciones importantes
398. Dada la funcion trigonometrica de un angulo, calcular las restantes
I. Dado el seno obtener todas las demas
II. Obtener todas las funciones trigonometricas en funcion del coseno
III. En funcion de la tangente
IV. En funcion de la cotangente
V. En funcion de la secante
VI. En funcion de la cosecante
399. Resumen
400. Identidades trigonometricas
401. Ecuaciones trigonometricas
Ejercicios
25 Funciones trigonometricas de la suma y la diferencia de dos angulos
402. Funciones trigonometricas de la suma de dos angulos
403. Funciones trigonometricas de la diferencia de dos angulos
404. Secante y cosecante de la suma y de la diferencia de dos angulos
405. Resumen de las formulas
Ejercicios
26 Funciones trigonometricas del angulo duplo
406. Funciones trigonometricas del angulo duplo
407. Funciones trigonometricas del angulo triplo
408. Funciones trigonometricas del angulo mitad
409. Transformaciones de sumas y diferencias de senos, cosenos y tangentes en productos
410. Resumen
Ejercicios
27 Resolucion de triangulos
411. Resolucion de triangulos
412. Triangulos rectangulos
413. Area de los triangulos rectangulos
Ejercicios
414. Resolucion general de triangulos oblicuangulos
415. Ley de los senos
416. Ley de los cosenos
417. Ley de las tangentes
418. Ejemplos de resolucion de triangulos oblicuangulos. Primer caso: Conocidos los tres lados
Ejercicios
419. Segundo caso. Resolver un triangulo conocidos dos lados y el angulo comprendido
Ejercicios
420. Tercer caso. Dados un lado y dos angulos
Ejercicios
421. Area de los triangulos oblicuangulos
Primer caso
Segundo caso
Tercer caso
Ejercicios
Respuestas
28 Logaritmos. Logaritmos de las funciones trigonometricas
422. Logaritmos
423. Propiedades de los logaritmos vulgares
424. Calculo logaritmico
Logaritmo de un producto
Logaritmo de un cociente
Logaritmo de una potencia
Logaritmo de una raiz
425. Antilogaritmos
Ejercicios
426. Manejo de la Tabla de logaritmos
427. Manera de hallar el antilogaritmo
Ejercicios
428. Manejo de la Tabla de funciones trigonometricas naturales
429. Manejo de la Tabla de funciones trigonometricas logaritmicas
430. Interpolacion
Ejercicios
29 Aplicaciones de los logaritmos
431. Aplicacion de los logaritmos a la resolucion de triangulos y al calculo de areas
432. Aplicacion de los logaritmos a la resolucion de triangulos rectangulos
Ejercicios
433. Aplicacion de los logaritmos a la resolucion de triangulos oblicuangulos
434. Aplicacion de los logaritmos para la ley de tangentes
Ejercicios
Tablas matematicas
Logaritmos
Funciones trigonometricas naturales
Logaritmos de las funciones trigonometricas
Complementos
Tablas de exponenciales, raices y reciprocas
Soluciones geometricas
Tablas de resolucion de figuras planas
Tablas de resolucion de cuerpos geometricos
Repaso de algebra
Repaso de algebra Nro. 1
Repaso de algebra Nro. 2
Repaso de algebra Nro. 3
Repaso de algebra Nro. 4
Repaso de algebra Nro. 5
Repaso de algebra Nro. 6
Repaso de algebra Nro. 7
Repaso de algebra Nro. 8
Repaso de algebra Nro. 9
Repaso de algebra Nro. 10
Repaso de algebra Nro. 11
Repaso de algebra Nro. 12
Repaso de algebra Nro. 13
Repaso de algebra Nro. 14
Repaso de algebra Nro. 15
Repaso de algebra Nro. 16
Repaso de algebra Nro. 17
Repaso de algebra Nro. 18
Repaso de algebra Nro. 19
Repaso de algebra Nro. 20
Repaso de algebra Nro. 21
Repaso de algebra Nro. 22
Repaso de algebra Nro. 23
Repaso de algebra Nro. 24
Repaso de algebra Nro. 25
Repaso de algebra Nro. 26
Repaso de algebra Nro. 27
Repaso de algebra Nro. 28
Repaso de algebra Nro. 29
Ejercicios adicionales
Prologo
Introduccion
Generalidades
Angulos
Perpendicularidad y paralelismo. Rectas cortadas por una secante. Angulos que forman
Angulos con lados paralelos o perpendiculares
Triangulos y generalidades
Casos de igualdad de triangulos
Poligonos
Cuadrilateros
Segmentos proporcionales
Semejanza de triangulos
Relaciones metricas en los triangulos
Circunferencia y circulo
Angulos en la circunferencia
Relaciones metricas en la circunfeencia
Relaciones metricas en los poligonos regulares
Poligonos semejantes. Medida de la circunferencia
Areas
Rectas y planos
Prismas y piramides
Volumenes de los poliedros
Cuerpos redondos