Современная теория множеств: борелевские и проективные множества

Предисловие 7
Некоторые теоретико-множественные обозначения . . . . . . . . . 13
1 Польские пространства 15
1.1 Польские пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Категория и свойство Бэра . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Бэровское пространство и канторов дисконтинуум . . 20
1.4 Деревья и замкнутые множества . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Расщепляющиеся системы . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Совершенные подмножества в польских пространствах 25
1.7 Другие примеры польских пространств . . . . . . . . 28
1.8 Более сложные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Борелевские множества 33
2.1 Борелевские множества . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Простые свойства борелевских множеств . . . . . . . 35
2.3 Операция предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Отображения польских пространств . . . . . . . . . . 39
2.5 Полунепрерывность и теорема Адяна . . . . . . . . . 41
2.6 Борелевская изоморфность польских пространств . . 45
2.7 Теорема иерархии и универсальные множества . . . . 49
3 A-множества 51
3.1 A-операция и A-множества . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 Простые свойства A-множеств . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 A-множества как образы и проекции . . . . . . . . . . 55
3.4 Теорема о совершенном ядре . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Суперсовершенные подмножества . . . . . . . . . . . 59
3.6 C-множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Проективные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 CA-множества и ординалы 67
4.1 Деревья и ранги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Вложения деревьев и сравнение рангов . . . . . . . . 71
4.3 Дополнения A-множеств. Конституанты . . . . . . . . 73
4.4 Принцип ограничения и его следствия . . . . . . . . . 76
4.5 Борелевские и B-измеримые отображения . . . . . . . 79
4.6 Решета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 Фундированные отношения . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.8 Полные предупорядочения и нормы . . . . . . . . . . 84
5 Дополнительные структуры в польских пространствах 87
5.1 Меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Регулярность мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 Измеримость и свойство Бэра A-множеств . . . . . . 92
5.4 Нерегулярные множества . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 О структуре борелевских мощностей . . . . . . . . . . 97
5.7 0-1 закон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.8 Польские группы и их действия . . . . . . . . . . . . . 103
5.9 Теорема Хаусдорфа о щели . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Эффективная дескриптивная теория множеств 111
6.1 Бэровские произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Аналитические формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Эффективная иерархия множеств . . . . . . . . . . . 115
6.4 Преобразования аналитических формул . . . . . . . . 117
6.5 Класс 01 : связь с теорией рекурсии и топологией . . 121
6.6 Связь с борелевскими и проективными множествами 123
6.7 Теорема иерархии и универсальные множества . . . . 124
6.8 Классификация функций . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.9 Классификация точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.10 Свойства замкнутости классов . . . . . . . . . . . . . 132
7 Первый уровень проективной иерархии: введение 137
7.1 Пространства, близкие к бэровским произведениям . 138
7.2 Снова о фундированных деревьях . . . . . . . . . . . 143
7.3 Деревья и первый проективный уровень . . . . . . . . 145
7.4 Связь деревьев с A-операцией и конституантами . . . 147
7.5 Принцип отражения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8 Отделимость, редукция, униформизация и их следствия 153
8.1 Отделимость и редукция . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Отделимость и редукция (продолжение) . . . . . . . . 155
8.3 Нормы и нормированные классы . . . . . . . . . . . . 157
8.4 Униформизация в классе Delta-11. . . . . . . . . . . . . . 160
8.5 Униформизация (продолжение) . . . . . . . . . . . . . 164
9 Класс 11 и кодирование борелевских множеств 169
9.1 Перечисление Delta-11-множеств . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.2 Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.3 Выбор по Крайзелю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.4 Первое кодирование борелевских множеств . . . . . . 174
9.5 Второе кодирование борелевских множеств . . . . . . 175
9.6 Ординалы ЧјрчаКлини . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.7 Гиперарифметические множества . . . . . . . . . . . . 179
10 Топология Ганди–Харрингтона и ее приложения 185
10.1 Пространства Шоке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.2 Топология Ганди–Харрингтона . . . . . . . . . . . . . 187
10.3 Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 О счетных 11 -множествах . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.5 О компактных 11-множествах . . . . . . . . . . . . . 192
10.6 О -компактных 11-множествах . . . . . . . . . . . . 194
10.7 О множествах, накрываемых -компактными множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11 Множества со специальными сечениями 201
11.1 Счетные сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.2 Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.3 Компактные и -компактные сечения . . . . . . . . . 206
11.4 Большие сечения (мера) . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.5 Большие сечения (категория) . . . . . . . . . . . . . . 214
11.6 Сечения из определенного борелевского класса . . . . 218
11.7 Доказательство теоремы Луво . . . . . . . . . . . . . . 220
12 Некоторые дихотомические теоремы 225
12.1 Первая дихотомическая теорема . . . . . . . . . . . . 226
12.2 Доказательство первой дихотомической теоремы . . . 228
12.3 Вторая дихотомическая теорема . . . . . . . . . . . . 232
12.4 Случай замкнутого отношения . . . . . . . . . . . . . 234
12.5 Случай незамкнутого отношения . . . . . . . . . . . . 235
12.6 Редукция E0 к данному отношению . . . . . . . . . . 238
12.7 Построение расщепляющейся системы . . . . . . . . . 241
12.8 O Sigma-11-отношениях эквивалентности . . . . . . . . . . . 243
12.9 О борелевских предпорядках . . . . . . . . . . . . . . 246
13 Второй проективный уровень, проблемы Лузина 251
13.1 Структура второго проективного уровня . . . . . . . 252
13.2 Проблемы регулярности по Лузину . . . . . . . . . . . 254
13.3 Анализ проблем. Неразрешимость . . . . . . . . . . . 256
13.4 О несчетных последовательностях борелевских множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14 Бесконечные игры и аксиома детерминированности 263
14.1 Введение в теорию детерминированности . . . . . . . 264
14.2 Пример: игра Банаха-Мазура . . . . . . . . . . . . . 266
14.3 Теорема детерминированности открытых множеств . 268
14.4 Детерминированность в проективных классах . . . . 270
14.5 Приложение к свойствам регулярности . . . . . . . . 272
14.6 Свойство совершенного ядра . . . . . . . . . . . . . . 274
14.7 Свойство Бэра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
14.8 Аксиомы детерминированности . . . . . . . . . . . . . 278
15 Проективная иерархия в детерминированном универсуме 283
15.1 Первая теорема периодичности . . . . . . . . . . . . . 284
15.2 Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
15.3 Вторая теорема периодичности. Лестницы . . . . . . 288
15.4 Доказательство свойства лестницы . . . . . . . . . . . 291
15.5 Третья теорема периодичности . . . . . . . . . . . . . 294
15.6 Теорема о выборе выигрывающей стратегии . . . . . 297
Цитированная литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Приложение 315
Суммируемые идеалы и идеал нулевой плотности . . . . . . 316