Dieses fest etablierte Standardwerk liefert eine umfassende und moderne Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre maßtheoretischen Grundlagen. Es kann sowohl im Rahmen entsprechender Lehrveranstaltungen als auch zum späteren Nachschlagen speziellerer Sachverhalte verwendet werden.
Themenschwerpunkte sind: Maß- und Integrationstheorie, Grenzwertsätze für Summen von Zufallsvariablen (Gesetze der großen Zahl, zentraler Grenzwertsatz, Ergodensätze, Gesetz vom iterierten Logarithmus, Invarianzprinzipien, unbegrenzt teilbare Verteilungen), Martingale, Perkolation, Markovketten und elektrische Netzwerke, Konstruktion stochastischer Prozesse, Poisson'scher Punktprozess, Brown'sche Bewegung, stochastisches Integral und stochastische Differentialgleichungen.
Neu in der vierten Auflage sind kurze Zusammenfassungen an den Enden der einzelnen Abschnitte sowie Denkanstöße im Text, die Verständnisfragen stellen, auf andere Zugänge hinweisen oder Ausblicke geben. Ähnlich wie Chilischoten in manchen Speisekarten den Schärfegrad eines Gerichts angeben, sind die Denkanstöße mit unterschiedlich vielen Symbolen gekennzeichnet. Außerdem sind einige neue Illustrationen und Übungsaufgaben hinzugekommen.
Author(s): Achim Klenke
Series: Masterclass
Edition: 4
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2020
Language: German
Tags: Maßtheorie, Integrationstheorie, Martingale, Markovketten, Ergodentheorie, Brownsche Bewegung, Ito-Integral, Stochastische Differentialgleichungen
Vorwort zur vierten Auflage
Vorwort zur dritten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur ersten Auflage
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Maßtheorie
1.1 Mengensysteme
1.2 Mengenfunktionen
1.3 Fortsetzung von Maßen
1.4 Messbare Abbildungen
1.5 Zufallsvariablen
2 Unabhängigkeit
2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
2.3 Kolmogorov’sches 0-1 Gesetz
2.4 Beispiel: Perkolation
3 Erzeugendenfunktion
3.1 Definition und Beispiele
3.2 Poisson-Approximation
3.3 Verzweigungsprozesse
4 Das Integral
4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften
4.2 Monotone Konvergenz und Lemma von Fatou
4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral
5 Momente und Gesetze der großen Zahl
5.1 Momente
5.2 Schwaches Gesetz der großen Zahl
5.3 Starkes Gesetz der großen Zahl
5.4 Konvergenzrate im starken GGZ
5.5 Der Poissonprozess
6 Konvergenzsätze
6.1 Fast-überall- und stochastische Konvergenz
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung
7 Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym
7.1 Definitionen
7.2 Ungleichungen und Satz von Fischer-Riesz
7.3 Hilberträume
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
7.5 Ergänzung: Signierte Maße
7.6 Ergänzung: Dualräume
8 Bedingte Erwartungen
8.1 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten
8.2 Bedingte Erwartungen
8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung
9 Martingale
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten
9.2 Martingale
9.3 Diskretes stochastisches Integral
9.4 Diskreter Martingaldarstellungssatz und CRR Modell
10 Optional Sampling Sätze
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation
10.2 Optional Sampling und Optional Stopping
10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit und Optional Sampling
11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
11.1 Die Doob’sche Ungleichung
11.2 Martingalkonvergenzsätze
11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen
12.2 Rückwärtsmartingale
12.3 Satz von de Finetti
13 Konvergenz von Maßen
13.1 Wiederholung Topologie
13.2 Schwache und vage Konvergenz
13.3 Der Satz von Prohorov
13.4 Anwendung: Satz von de Finetti – anders angeschaut
14 W-Maße auf Produkträumen
14.1 Produkträume
14.2 Endliche Produkte und Übergangskerne
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und projektive Familien
14.4 Markov’sche Halbgruppen
15 Charakteristische Funktion und zentraler Grenzwertsatz
15.1 Trennende Funktionenklassen
15.2 Charakteristische Funktionen: Beispiele
15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssatz
15.4 Charakteristische Funktion und Momente
15.5 Der zentrale Grenzwertsatz
15.6 Mehrdimensionaler zentraler Grenzwertsatz
16 Unbegrenzt teilbare Verteilungen
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel
16.2 Stabile Verteilungen
17 Markovketten
17.1 Begriffsbildung und Konstruktion
17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit
17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz
17.5 Anwendung: Rekurrenz und Transienz von Irrfahrten
17.6 Invariante Verteilungen
17.7 Anwendung: Stochastische Ordnung und Kopplung
18 Konvergenz von Markovketten
18.1 Periodizität von Markovketten
18.2 Kopplung und Konvergenzsatz
18.3 Markovketten Monte Carlo Methode
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit
19 Markovketten und elektrische Netzwerke
19.1 Harmonische Funktionen
19.2 Reversible Markovketten
19.3 Endliche elektrische Netzwerke
19.4 Rekurrenz und Transienz
19.5 Netzwerkreduktion
19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebung
20 Ergodentheorie
20.1 Begriffsbildung
20.2 Ergodensätze
20.3 Beispiele
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfahrten
20.5 Mischung
20.6 Entropie
21 Die Brown’sche Bewegung
21.1 Stetige Modifikationen
21.2 Konstruktion und Pfadeigenschaften
21.3 Starke Markoveigenschaft
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse
21.5 Konstruktion durch L2-Approximation
21.6 Der Raum C([0,∞))
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0,∞))
21.8 Satz von Donsker
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzweigungsprozessen
21.10 Quadratische Variation und lokale Martingale
22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
22.1 Iterierter Logarithmus für die Brown’sche Bewegung
22.2 Skorohod’scher Einbettungssatz
22.3 Satz von Hartman-Wintner
23 Große Abweichungen
23.1 Satz von Cramér
23.2 Prinzip der großen Abweichungen
23.3 Satz von Sanov
23.4 Varadhan’sches Lemma und freie Energie
24 Der Poisson’sche Punktprozess
24.1 Zufällige Maße
24.2 Eigenschaften des Poisson’schen Punktprozesses
24.3 Die Poisson-Dirichlet-Verteilung
25 Das Itô-Integral
25.1 Das Itô-Integral bezüglich der Brown’schen Bewegung
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffusionen
25.3 Die Itô-Formel
25.4 Dirichlet-Problem und Brown’sche Bewegung
25.5 Rekurrenz und Transienz der Brown’schen Bewegung
26 Stochastische Differentialgleichungen
26.1 Starke Lösungen
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität
Literatur
Notation
Glossar englischer Ausdrücke
Namensregister
Sachregister
