Author(s): Elon Lages Lima
Publisher: IMPA
Year: 2012
Language: Portuguese
Pages: 259
City: Rio de Janeiro
Tags: Cálculo tensorial, Tensores, Variedades
1 Espaços Vetoriais 1
1.1 Noção de espaço Vetorial . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bases de um espaço Vetorial . . . . . . . . . 6
1.3 Isomorñmos..................10
1.4 Mudanças de Coordenadas . . . . . . . . . . 15
1.5 Espaço Dual..................17
1.6 Subespaços..................23
1.7 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Soma diretae produto cartesiano . . . . . . 32
1.9 Relação entre transformações lineares e matrizes....36
2 Álgebra Multilinear 46
2.1 Aplicações bilineares . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Alguns isomorñsmos canônicos . . . . . . . . 57
2.4 Produto tensorial de aplicações lineares.........64
2.5 Mudança de Coordenadas de um tensor.............69
2.6 Produto tensorial de Vários espaços Vetoriais 70
2.7 A Álgebra tensorialT(V) . . . . . . . . . . 76
3 Álgebra Exterior 84
3.1 Aplicações multilineares alternadas . . . . . 87
3.2 Determinantes.................95
3.3 Potências exteriores de um espaço Vetorial . 103
3.4 Algumas aplicações do produto exterior . . . 110
3.5 Formas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6 Potência exterior de uma aplicação linear . . 123
3.7 Álgebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . 126
3.8 Produtos interiores . . . . . . . . . . . . . . 132
3.9 Observações sobre a álgebra simétrica . . . . 140
4 Formas Diferenciais 145
4.1 Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . 145
4.2 Aplicações diferenciáveis . . . . . . . . . . . 151
4.3 Subvariedades.................161
4.4 Campos de tensores sobre Variedades . . . . 164
4.5 Variedades riemannianas . . . . . . . . . . . 168
4.6 Diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . 172
4.7 Variedades orientáveis . . . . . . . . . . . . 180
4.8 Partição diferenciável da unidade . . . . . . 188
4.9 Integralde uma forma diferencial . . . . . . 198
4.10 TeoremadeStokes ..............207
5 Sistemas Diferenciais 226
5.1 O Colchete de Lie de 2 Campos Vetoriais . . . 226
5.2 Relações entre colchetes e fluxos . . . . . . . 232
5.3 Sistemas diferenciais . . . . . . . . . . . . . 238
