Учебное пособие. — М. : Флинта : Наука, 2012. — 168 с.
ISBN 978-5-9765-1234-4 (Флинта)
ISBN 978-5-02-037708-0 (Наука)Учебное пособие отражает основное содержание второго раздела общенаучной дисциплины «Математика», являющейся федеральным компонентом государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальностям «Экономика» и «Управление».Пособие включает материал по математическому анализу.
В пособии излагаются основные вопросы математического анализа:
введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Заключительные темы посвящены рассмотрению теории рядов и обыкновенных дифференциальных уравнений, изучение которой предусмотрено образовательным стандартом некоторых экономических специальностей.
Материал приводится, как правило, с полными доказательствами и снабжен примерами. Изложение доступно студентам нематематических специальностей, на которых и рассчитано данное учебное пособие.Предназначено для помощи студентам в обобщении и конкретизации знаний по данной дисциплине, закреплении изученного материала и подготовке к сдаче экзамена.Содержание
Предисловие.
Множества.
Понятие множества. Способы задания множеств.
Операции над множествами.
Числовые множества.
Т очная верхняя и точная нижняя грани множества.
Абсолютная величина действительного числа.
Числовые последовательности.
Понятие числовой последовательности.
Предел последовательности.
Существование предела у монотонной ограниченной последовательности (критерий Вейерштрасса).
Число е (второй замечательный предел).
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Арифметические операции с пределами.
Раскрытие неопределенностей.
Теорема о «зажатой» последовательности.
Лемма о вложенных отрезках.
Лемма Больцано — Вейерштрасса.
Функция и ее основные свойства.
Понятие функции. Основные свойства функций.
Классификация функций.
Преобразование графиков функций.
Предел и непрерывность функции.
Понятие предела функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Основные теоремы о пределах.
Непрерывность функции.
Замечательные пределы.
Производная функции.
Понятие производной.
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой.
Механический смысл производной.
Основные правила дифференцирования функций.
Формулы дифференцирования простейших элементарных функций.
Производные высших порядков.
Дифференциал функции.
Понятие дифференциала функции.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Понятие о дифференциалах высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Коши.
Теорема Лагранжа.
Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Формула Тейлора для многочлена.
Формула Тейлора для функции.
Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
Применение формулы Тейлора для вычисления пределов.
Исследование функций и построение графиков.
Возрастание и убывание функций.
Условия экстремума функций.
Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Функции нескольких переменных.
Область определения, линии и поверхности уровня.
Частные производные и дифференциал первого порядка.
Производная по направлению. Градиент.
Экстремум функции нескольких переменных.
Условный экстремум.
Неопределенный интеграл.
Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла, таблица интегралов простейших элементарных функций.
Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента.
Методы интегрирования функций.
Определенный интеграл.
Понятие определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла.
Теорема о среднем.
Производная интеграла по верхнему пределу.
Формула Ньютона—Лейбница.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Дифференциальные уравнения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Ряды.
Числовые ряды.
Степенные ряды.
Литература.
