Mathematik verstehen und anwenden - von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation

Mathematik verstehen und anwenden (2011)
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ISBN: 9783827427618......Page 4
Vorwort......Page 5
--> Inhaltsverzeichnis......Page 7
1.1 Mengenlehre......Page 13
1.1.1 Mengenbegriff......Page 14
1.1.2 Mengenoperationen......Page 16
1.1.3 Abbildungen......Page 19
1.2.1 Aussagenlogik......Page 24
1.2.2 Pradikatenlogik......Page 28
1.2.3 Beweise......Page 33
1.3.1 Naturliche und ganze Zahlen......Page 35
1.3.1.2 Zahlendarstellung......Page 37
1.3.1.3 Primzahlen......Page 40
1.3.1.4 Fakultat und Binomialkoeffizient......Page 42
1.3.2.1 Rechnen mit rationalen Zahlen......Page 45
1.3.2.2 Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen......Page 47
1.3.2.4 Vollstandige Induktion......Page 49
1.3.3.1 Von den rationalen zu den reellen Zahlen......Page 52
1.3.3.2 Vollst¨andigkeit und Einf¨uhrung der reellen Zahlen......Page 54
1.3.3.3 Intervalle......Page 57
1.3.3.4 Die Zahlen e und π......Page 58
1.3.3.5 Uberabz¨ahlbarkeit der reellen Zahlen ∗......Page 59
1.4 Rechnen mit reellen Zahlen......Page 60
1.4.1 Potenzen und Wurzeln......Page 61
1.4.2.1 Summenzeichen und Produktzeichen......Page 63
1.4.2.2 Geometrische Summenformel und Anwendungen......Page 66
1.4.2.3 Binomischer Lehrsatz......Page 69
1.4.3.1 Betrage......Page 71
1.4.3.2 Ungleichungen......Page 72
1.4.4 Uber das Losen von Gleichungen und Ungleichungen......Page 76
1.4.4.1 Rationale Gleichungen, Wurzelgleichungen und Betragsgleichungen......Page 77
1.4.4.2 Rationale Ungleichungen und Betragsungleichungen......Page 79
1.5.1 Notation reeller Funktionen......Page 83
1.5.2 Eigenschaften von reellen Funktionen......Page 86
1.5.3 Umkehrfunktion......Page 91
1.5.4 Verkettung von Funktionen......Page 93
1.5.5 Signumund Betragsfunktion......Page 95
1.5.6.1 Polynome......Page 96
1.5.6.2 Interpolation......Page 97
1.5.6.3 Faktorzerlegung und Polynomdivision......Page 99
1.5.6.4 Horner-Schema......Page 103
1.5.6.5 Gebrochen-rationale Funktionen......Page 105
1.5.7 Potenzund Wurzelfunktionen......Page 106
1.5.8 Exponentialfunktionen und Logarithmen......Page 107
1.5.8.1 Exponentialfunktion und naturlicher Logarithmus......Page 108
1.5.8.2 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen......Page 110
1.5.8.3 Anwendungen......Page 111
1.5.8.4 Logarithmische Darstellungen......Page 114
1.5.8.5 Exponential- und Logarithmusgleichungen......Page 116
1.5.9 Trigonometrische Funktionen......Page 117
1.5.9.2 Sinus, Kosinus und Tangens......Page 118
1.5.9.3 Trigonometrische Funktionen in der Geometrie......Page 123
1.5.9.4 Additionstheoreme......Page 125
1.5.9.5 Harmonische Schwingungen und Zeigerdiagramme......Page 127
1.5.9.6 Arkus-Funktionen......Page 130
1.5.9.7 Trigonometrische Gleichungen......Page 132
1.5.10 Hyperbelund Areafunktionen......Page 133
1.5.10.1 Hyperbelfunktionen......Page 134
1.5.10.2 Areafunktionen als Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen......Page 135
1.6 Komplexe Zahlen......Page 136
1.6.1 Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginare Einheit......Page 137
1.6.2 Komplexe Arithmetik......Page 138
1.6.3 Die Gauß’sche Zahlenebene......Page 139
1.6.3.1 Betrag......Page 140
1.6.3.2 Rechnen mit Betr¨agen komplexer Zahlen......Page 141
1.6.4.1 Polarform komplexer Zahlen......Page 142
1.6.4.2 Euler’sche Gleichung......Page 143
1.6.4.3 Komplexe Potenzen und komplexe Wurzeln......Page 145
1.6.5 Komplexe Wechselstromrechnung......Page 148
1.6.6 Fundamentalsatz der Algebra......Page 151
1.7 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen......Page 156
1.7.1 Lineare Gleichungssysteme......Page 157
1.7.2 Matrizen, Zeilenund Spaltenvektoren......Page 158
1.7.3 Losen linearer Gleichungssysteme......Page 166
1.7.3.1 Gauß-Algorithmus......Page 167
1.7.3.2 Losungstheorie linearer Gleichungssysteme......Page 170
1.7.4 Inverse Matrix und transponierte Matrix......Page 173
1.7.5 Symmetrische und orthogonale Matrizen......Page 178
1.7.6.1 Dreiecksmatrizen und Bandmatrizen......Page 180
1.7.6.2 LR-Zerlegung......Page 181
1.8 Determinanten......Page 183
1.8.1 Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten......Page 184
1.8.2 Determinanten und lineare Gleichungssysteme......Page 191
1.9 Aufgaben......Page 195
2.1 Folgen......Page 207
2.1.1 Definition und Grundbegriffe von Folgen......Page 208
2.1.2 Konvergenz und Divergenz von Folgen......Page 212
2.1.3 Rechnen mit konvergenten Folgen......Page 215
2.1.4 Konvergenzkriterien......Page 218
2.1.5 Die Euler’sche Zahl als Grenzwert von Folgen......Page 222
2.1.7 Bestimmte Divergenz......Page 224
2.1.8 H¨aufungspunkte einer Folge......Page 227
2.1.9 Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen......Page 228
2.2 Zahlen-Reihen......Page 231
2.2.1 Definition und Konvergenz einer Reihe......Page 232
2.2.2 Rechnen mit konvergenten Reihen......Page 235
2.2.3 Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz......Page 236
2.2.4 Absolute Konvergenz......Page 238
2.2.5 Konvergenzkriterien f¨ur Reihen......Page 241
2.3.1 Umgebungen und Uberdeckungen......Page 249
2.3.2 Grenzwerte von Funktionen......Page 251
2.3.3 Stetigkeit......Page 263
2.3.4 Eigenschaften stetiger Funktionen......Page 270
2.3.5 Unstetigkeitsstellen......Page 276
2.4 Differenzierbarkeit und Ableitungen......Page 279
2.4.1 Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten......Page 280
2.4.2 Ableitungsregeln......Page 286
2.4.3 Newton-Verfahren......Page 295
2.4.4 Das Differenzial......Page 296
2.4.5 Hohere Ableitungen......Page 298
2.5.1 Satz von Fermat: notwendige Bedingung fur lokale Extrema......Page 300
2.5.2 Mittelwertsatze der Differenzialrechnung......Page 301
2.5.3 Regeln von L’Hospital......Page 306
2.6.1 Definition des Integrals......Page 313
2.6.2 Eigenschaften des Integrals......Page 318
2.6.3 Hauptsatz der Differenzialund Integralrechnung......Page 323
2.6.4 Rechenregeln zur Integration......Page 327
2.6.4.1 Partielle Integration......Page 329
2.6.4.2 Integralsubstitution......Page 331
2.6.4.3 Integration gebrochen-rationaler Funktionen......Page 335
2.6.5 Numerische Integration......Page 342
2.6.6 Uneigentliche Integrale......Page 345
2.6.7.1 Flachenberechnung in der Ebene......Page 350
2.6.7.2 Volumen eines Rotationskorpers......Page 352
2.6.7.3 Oberflache eines Rotationsk¨orpers......Page 353
2.7.1 Taylor-Summen......Page 354
2.7.2 Kurvendiskussion und Extremalprobleme......Page 358
2.8.1 Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen......Page 368
2.8.2 Einschub: Funktionenfolgen......Page 372
2.8.3 Konvergenz von Potenzreihen......Page 381
2.8.4 Differenziation und Integration von Potenzreihen......Page 385
2.8.5 Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen......Page 386
2.8.6 Die komplexe Exponentialfunktion......Page 387
2.9 Aufgaben......Page 389
3.1.1 Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln......Page 396
3.1.1.1 Vektorarithmetik......Page 397
3.1.1.2 Koordinaten und Komponenten von Vektoren in der Ebene undim Raum......Page 399
3.1.2 Skalarprodukt und Orthogonalitat......Page 404
3.1.2.1 Definition des Skalarprodukts......Page 405
3.1.2.2 Rechenregeln, Koordinatenform und Winkelberechnung......Page 406
3.1.2.3 Anwendungen des Skalarprodukts in der Geometrie......Page 408
3.1.2.4 Orthogonale Projektion und Lot......Page 409
3.1.3 Vektorprodukt und Spatprodukt......Page 410
3.1.3.1 Vektorprodukt......Page 411
3.1.3.2 Spatprodukt......Page 414
3.1.4 Anwendungen des Skalar-, Vektorund Spatprodukts......Page 416
3.2 Analytische Geometrie......Page 418
3.2.1.1 Darstellungsformen von Geraden im R2 und R3......Page 419
3.2.1.2 Typische Aufgabenstellungen f¨ur Geraden in R2 und R3......Page 422
3.2.2.1 Darstellungsformen von Ebenen im Raum......Page 426
3.2.2.2 Typische Aufgabenstellungen fur Ebenen im R3......Page 431
3.3.1.1 Vektorraumaxiome......Page 433
3.3.1.2 Linearkombination, Erzeugendensysteme und lineare Hulle......Page 437
3.3.1.3 Unterraume......Page 439
3.3.2.1 Lineare Unabhangigkeit und lineare Abhangigkeit......Page 440
3.3.2.2 Basis und Dimension......Page 444
3.3.3 Skalarprodukt und Norm......Page 449
3.3.3.1 Euklid’scher Raum und Skalarprodukt......Page 450
3.3.3.2 Betrag, Norm und Abstand......Page 451
3.3.4 Orthogonalitat, Orthogonalund Orthonormalsysteme......Page 453
3.3.4.1 Winkel und Orthogonalitat......Page 454
3.3.4.2 Orthogonal- und Orthonormalsysteme......Page 455
3.3.4.3 Euklid’sche R¨aume endlicher Dimension......Page 456
3.3.4.4 Gram-Schmidt’sches Orthonormierungsverfahren......Page 458
3.3.4.5 Orthogonale Projektion......Page 460
3.3.4.6 Orthogonale Matrizen......Page 462
3.4 Lineare Abbildungen......Page 464
3.4.1 Lineare Abbildungen und Matrizen......Page 465
3.4.2 Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen......Page 469
3.4.3 Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz......Page 472
3.4.4 Umkehrabbildung und inverse Matrix......Page 479
3.4.5 Koordinatenund Basistransformationen......Page 481
3.5.1 Losungsraum eines linearen Gleichungssystems......Page 485
3.5.2.1 Elektrische Netzwerke und Graphen......Page 489
3.5.2.2 Maschengleichungen......Page 493
3.5.2.3 Knotengleichungen......Page 495
3.5.2.4 Gleichungen zwischen Spannungen und Stromen......Page 496
3.6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren......Page 498
3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen......Page 507
3.7 Aufgaben......Page 511
4 Funktionen mit mehreren Variablen......Page 516
4.1 Grenzwerte und Stetigkeit......Page 518
4.2.1 Ableitungsbegriffe......Page 523
4.2.2 Hohere Ableitungen......Page 532
4.2.3 Fehlerrechnung......Page 536
4.3.1 Lokale und globale Extrema......Page 539
4.3.2 Extrema unter Nebenbedingungen......Page 545
4.4.1 Integration uber mehrdimensionale Intervalle......Page 552
4.4.2 Integration uber Normalbereiche......Page 559
4.4.3 Substitutionsregel......Page 563
4.4.4 Polar-, Zylinderund Kugelkoordinaten......Page 564
4.4.4.1 Polarkoordinaten......Page 565
4.4.4.2 Zylinderkoordinaten......Page 567
4.4.4.3 Kugelkoordinaten......Page 568
4.5.1 Vektorfelder......Page 570
4.5.2 Kurven......Page 571
4.5.3 Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern......Page 574
4.5.4 Kurvenintegrale......Page 576
4.5.5 Satz von Green......Page 583
4.5.6 Fl¨achenintegrale......Page 584
4.5.7 Die S¨atze von Gauß und Stokes......Page 587
4.6 Aufgaben......Page 593
5.1 Einf¨uhrung......Page 596
5.1.1 Beispiele fur Differenzialgleichungen aus Physik und Technik......Page 597
5.1.2 Grundbegriffe......Page 601
5.1.3 Konstruktion einer Losung, Existenz und Eindeutigkeit......Page 605
5.1.4 Iterationsverfahren von Picard und Lindelof......Page 609
5.2 Losungsmethoden fur Differenzialgleichungen erster Ordnung......Page 610
5.2.1 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung......Page 611
5.2.1.1 Homogene lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung......Page 612
5.2.1.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung......Page 614
5.2.1.3 Inhomogene lineare Differenzialgleichung mit konstantem Koeffizienten......Page 619
5.2.2.1 Trennung der Variablen (Separation)......Page 624
5.2.2.2 Substitution......Page 628
5.2.2.3 Homogene Differenzialgleichungen ∗......Page 630
5.2.2.5 Ricatti-Differenzialgleichungen ∗......Page 632
5.2.2.6 Exakte Differenzialgleichungen ∗......Page 633
5.2.2.7 Integrierender Faktor ∗......Page 635
5.3.1 Motivation: Eine Schaltung mit Induktivit¨aten......Page 637
5.3.2 Grundbegriffe......Page 638
5.3.3 Homogene Losungen......Page 641
5.3.4 Partikulare Losungen......Page 646
5.3.5 Komplexe und mehrfache Eigenwerte......Page 651
5.4.1 Losung uber ein lineares Differenzialgleichungssystem......Page 661
5.4.2 Losung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite......Page 667
5.4.2.1 Einfacher Ansatz vom Typ der rechten Seite......Page 668
5.4.2.2 Erweiterter Ansatz vom Typ der rechten Seite, Resonanzfall......Page 670
5.4.2.3 Komplexer Ansatz vom Typ der rechten Seite......Page 671
5.4.3.1 Die homogene Schwingungsgleichung......Page 673
5.4.3.2 Die inhomogene Schwingungsgleichung......Page 675
5.4.4 Eine schwingende Saite......Page 678
5.5 Aufgaben......Page 680
6 Fourier-Reihen und Integraltransformationen......Page 684
6.1 Fourier-Reihen......Page 685
6.1.1 Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe......Page 686
6.1.2 Sinusund Kosinus-Form der Fourier-Reihe......Page 692
6.1.3 Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten......Page 694
6.1.4 Faltung......Page 699
6.1.5 Konvergenz von Fourier-Reihen......Page 707
6.1.6 Gibbs-Ph¨anomen......Page 717
6.1.7 Entwicklung 2p-periodischer Funktionen......Page 721
6.2.1 Fourier-Integral......Page 722
6.2.2 Fourier-Umkehrtransformation......Page 726
6.2.3 Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation......Page 728
6.2.4 Eigenschaften der Fourier-Transformation......Page 729
6.2.5 Faltung......Page 734
6.3.1 Von der Fourierzur Laplace-Transformation......Page 737
6.3.2.1 Rechenregeln......Page 741
6.3.2.2 L¨osen von Differenzialgleichungen......Page 745
6.3.2.3 Grenzwertsatze......Page 750
6.3.3.1 Lineare zeitinvariante Ubertragungssysteme......Page 753
6.3.3.2 Verkn¨upfung von Ubertragungssystemen......Page 759
6.4 Diskrete Fourier-Transformation......Page 761
6.4.1 Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe......Page 764
6.4.2 Diskrete Fourier-Transformation......Page 767
6.4.3 Diskrete Faltung......Page 775
6.4.4 FFT-Algorithmus......Page 779
6.4.5 Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten......Page 784
6.4.6 Trigonometrische Interpolation, Abtastsatz f¨ur trigonometrische Polynome, Aliasing......Page 786
6.4.7 Leck-Effekt (Leakage)......Page 794
6.4.8 Numerische Berechnung der Fourier-Transformation......Page 795
6.4.9 Abtastsatz der Fourier-Transformation......Page 796
6.4.10 Leck-Effekt und Fensterfunktionen......Page 803
6.5 Aufgaben......Page 804
7 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik......Page 809
7.1.1.1 Modellbildung und Haufigkeit......Page 810
7.1.1.2 Darstellungen der H¨aufigkeit......Page 813
7.1.2 Empirische Verteilungsfunktionen......Page 815
7.1.3.1 Arithmetisches Mittel......Page 816
7.1.3.2 Median......Page 818
7.1.3.3 p-Quantil......Page 819
7.1.3.4 Modalwert......Page 820
7.1.4 Streuungsparameter......Page 821
7.1.4.2 Varianz und Standardabweichung......Page 822
7.1.5 Zweidimensionale Haufigkeitsverteilungen und Korrelation......Page 824
7.1.6 Lineare Regressionsrechnung......Page 827
7.2.1 Zufallsexperimente und Ereignisse......Page 832
7.2.2 Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace......Page 835
7.2.3 Kombinatorik......Page 838
7.2.4 Unabhangige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten......Page 843
7.2.5.1 Diskrete Zufallsvariablen und ihre Verteilung......Page 851
7.2.5.2 Hypergeometrische Verteilung......Page 855
7.2.5.3 Verteilungsfunktion und Dichte......Page 856
7.2.5.4 Stochastische Unabh¨angigkeit von Zufallsvariablen......Page 859
7.2.5.5 Binomialverteilung......Page 860
7.2.5.6 Poisson-Verteilung......Page 862
7.2.6 Lageund Streuungsparameter von Zufallsvariablen......Page 863
7.2.7 Gesetz der großen Zahlen......Page 872
7.2.8 Zentraler Grenzwertsatz......Page 877
7.3 Schließende Statistik......Page 883
7.3.1 Punktschatzungen......Page 884
7.3.2 Begriffe der Fehlerrechnung......Page 887
7.3.3 Intervallschatzungen......Page 888
7.3.3.1 Konfidenzintervall fur den Erwartungswert bei großem Stichprobenumfang und bekannter Varianz......Page 889
7.3.3.2 Konfidenzintervall fur eine Wahrscheinlichkeit......Page 891
7.3.3.3 Konfidenzintervall fur den Erwartungswert bei unbekannter Varianz......Page 892
7.3.3.4 Statistische Prozesslenkung ∗......Page 893
7.3.4 Hypothesentests......Page 896
7.3.4.2 Vergleich zweier gesch¨atzter Wahrscheinlichkeiten......Page 897
7.4 Aufgaben......Page 898
Literaturverzeichnis......Page 904
Index......Page 907