Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – Ч. I. – 181 с. (В 2 ч. )Учебное пособие посвящено изложению основ построения математических моделей природных явлений и технологических процессов. Это первая часть курса и здесь рассмотрены модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных. Особое внимание при изложении уделено наиболее актуальным методам и моделям, которые в традиционных курсах обычно не находят места. Это прежде всего модели нелинейных явлений и процессов, теория динамического хаоса, интегрируемые и неинтегрируемые системы, неньютоновские жидкости. Читатель познакомится с примерами различных нелинейных колебательных систем, узнает, что такое солитон, цунами, почему играет скрипка, что такое странный аттрактор, как законы сохранения связаны с симметрией пространства-времени. Значительное место уделено методу малого параметра решения нелинейных дифференциальных уравнений. Отдельно рассмотрены примеры прямого численного моделирования микроскопических и макроскопических явлений с помощью метода молекулярной динамики и метода вихревой динамики.
Этот курс рассчитан на первый семестр и является связующим звеном между традиционными обучающими курсами и математическими моделями, использующимися сегодня в реальной практике.
Книга ориентирована на студентов, магистрантов, аспирантов и преподавателей, всех, кто интересуется современными возможностями науки для описания сложных природных явлений и технологических процессов.Содержание:
Предисловие
Часть I - Модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями
Материальная точка. Движение в центральном потенциальном поле
Линейные колебательные системы.
(Несколько примеров колебательных систем. Колебательная система, возникающая при действии упругой силы. Математический маятник. Электрический колебательный контур. Модель динамики популяции. Линейный осциллятор)
Нелинейные колебания.
(Свободные колебания осциллятора с квадратичной нелинейностью. Метод малого параметра. Свободные колебания осциллятора с кубической нелинейностью. Исключение секулярных членов. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора. Вынужденные комбинационные частоты. Вынужденные колебания нелинейного осциллятора в условиях существования линейного резонанса. Субгармонический резонанс. Параметрический резонанс)
Автоколебательные системы.
(Линейный осциллятор с сухим (кулоновским) трением. Активная колебательная система. Генератор Ван-дер-Поля)
Динамические системы.
(Детерминизм и динамический хаос. Динамическая система. Стационарные состояния динамической системы. Локальная неустойчивость и перемешивание. Притягивающие множества, аттракторы. Аттрактор Лоренца. Динамический хаос)
Динамика и необратимостьЧасть II - Модели, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных
Иерархия уровней описания систем многих частиц
Гамильтоновы системы.
(Уравнения Гамильтона. Законы сохранения. Интегрируемые и неинтегрируемые системы)
Прямое численное моделирование I.
(Метод молекулярной динамики. Непрерывные потенциалы. Твердые гладкие сферы. Граничные и начальные условия. Выход на равновесие в системе многих частиц. Фазовый переход жидкость – твердое тело в системе твердых сфер)
Компьютерное моделирование и точность метода молекулярной динамики
Полевое описание систем многих частиц.
(Уравнение Лиувилля. Управляющие уравнения для открытых систем. Релаксационное управляющее уравнение. Сокращение уровня описания)
Феноменологическая гидродинамика.
(Концепция сплошной среды. Уравнения сохранения. Определяющие соотношения ньютоновских жидкостей. Коэффициенты переноса. Граничные условия для уравнений гидродинамики)
Идеальный (совершенный) газ.
(Уравнения движения. Распространение малых возмущений в газе. Скорость звука. Ударные волны)
Нелинейные волны с дисперсией.
(Гравитационные волны на поверхности жидкости. Физическая природа дисперсии. Нелинейные волны I. Уравнение Бюргерса. Уравнение Кортевега – де Вриза. Солитоны. Спиральные волны в сердечной мышце)
Уравнения сохранения смесей газов или жидкостей.
(Уравнения переноса смесей газов и жидкостей. Диффузия. Уравнение диффузии. Коэффициент диффузии)
Уравнения многожидкостной гидродинамики.
(Уравнения переноса. Определяющие соотношения. Методы осреднения)
Определяющие соотношения неньютоновских жидкостей.
(Нелинейно-вязкие жидкости. Вязкоупругие жидкости. Нелинейные определяющие соотношения)
Прямое численное моделирование II.
(Метод вихревой динамики. Динамика системы точечных вихрей. Метод вихревой динамики)
Ламинарно-турбулентный переход.
(Задача гидродинамической устойчивости. Линейная устойчивость плоскопараллельных течений. Вторичная неустойчивость течений. Конвективная неустойчивость Рэлея – Бенара)
Литература
