Курс высшей математики

I. Функции комплексного переменного ......Page 8
2. Производная ......Page 16
3. Конформное преобразование ......Page 23
4. Интеграл ......Page 29
5. Теорема Коши ......Page 31
6. Основная формула интегрального исчисления ......Page 35
7. Формула Коши ......Page 39
8. Интегралы типа Коши ......Page 47
9. Следствия формулы Коши ......Page 50
10. Изолированные особые точки ......Page 52
11. Бесконечные ряды с комплексными членами ......Page 56
12. Теорема Вейерштрасса ......Page 59
13. Степенные ряды ......Page 63
14. Ряд Тейлора ......Page 66
15. Ряд Лорана ......Page 69
16. Примеры ......Page 74
17. Изолированные особые точки. Бесконечно далекая точка ......Page 79
18. Аналитическое продолжение ......Page 85
19. Примеры многозначных функций ......Page 95
20. Особые точки аналитических функций и римановы поверхности ......Page 105
21. Теорема вычетов ......Page 111
22. Теоремы о числе корней ......Page 114
23. Обращение степенного ряда ......Page 120
24. Принцип симметрии ......Page 124
25. Ряд Тейлора на окружности круга сходимости ......Page 129
26. Дополнительные сведения о формуле Коши ......Page 132
27. Главное значение интеграла ......Page 134
28. Главное значение интеграла (продолжение) ......Page 139
29. Интегралы типа Коши ......Page 145
30. Интегралы типа Коши (продолжение) ......Page 151
31. Конформное преобразование ......Page 152
32. Линейное преобразование ......Page 156
33. Дробно-линейное преобразование ......Page 158
34. Функция w = z^2 ......Page 170
35. Функция w = k/2 (z+1/z) ......Page 172
36. Двуугольник и полоса ......Page 176
37. Основная теорема ......Page 179
38. Формула Кристоффеля ......Page 182
39. Частные случаи ......Page 189
40. Случай внешности многоугольника ......Page 193
41. Минимальное свойство преобразования на круг ......Page 195
42. Способ сопряженных тригонометрических рядов ......Page 199
43. Плоское установившееся течение жидкости ......Page 203
44. Примеры ......Page 206
45. Задача полного обтекания ......Page 210
46. Формула Н. Е. Жуковского ......Page 212
47. Плоская электростатическая задача ......Page 214
48. Формула Шварца ......Page 218
49. Ядро ctg(s-t)/2 ......Page 221
50. Предельные задачи ......Page 225
51. Бигармоническое уравнение ......Page 231
52. Волновое уравнение и аналитические функции ......Page 234
53. Основная теорема ......Page 237
54. Дифракция плоской волны ......Page 245
55. Отражение упругих волн от прямолинейной границы ......Page 250
56. Интеграл Френеля ......Page 257
57. Интегрирование выражений с тригонометрическими функциями ......Page 259
58. Интегрирование рациональной дроби ......Page 261
59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометрическими функциями ......Page 263
60. Лемма Жордана ......Page 267
61. Представление некоторых функций контурными интегралами ......Page 270
62. Примеры интегралов от многозначных функций ......Page 274
63. Интегрирование системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ......Page 279
64. Разложение дробной функции на простейшие дроби ......Page 286
65. Функция ctg z ......Page 290
66. Построение мероморфной функции ......Page 293
67. Целые функции ......Page 295
68. Бесконечные произведения ......Page 298
69. Построение целой функции по ее корням ......Page 301
70. Интегралы, зависящие от параметра ......Page 305
71. Эйлеров интеграл второго рода ......Page 309
72. Эйлеров интеграл первого рода ......Page 316
73. Бесконечное произведение для функции [Г(z)]^(-1) ......Page 317
74. Представление Г(z) ......Page 324
75. Формула Стирлинга ......Page 328
76. Формула суммирования Эйлера ......Page 334
77. Числа Бернулли ......Page 338
78. Метод скорейшего спуска ......Page 339
79. Асимптотическое разложение интеграла ......Page 341
80. Примеры ......Page 347
81. Метод стационарной фазы ......Page 352
82. Регулярные функции многих переменных ......Page 355
83. Двойной интеграл и формула Коши ......Page 357
84. Степенные ряды ......Page 361
85. Аналитическое продолжение ......Page 369
86. Функции матриц. Предварительные понятия ......Page 370
87. Степенные ряды от одной матрицы ......Page 371
88. Умножение степенных рядов. Обращение степенного ряда ......Page 376
89. Дальнейшее исследование сходимости ......Page 380
90. Интерполяционные полиномы ......Page 386
91. Тождество Кейли. Формула Сильвестра ......Page 388
92. Определение функций одной матрицы формулой Коши ......Page 391
93. Аналитическое продолжение ......Page 394
94. Логарифм матриц ......Page 400
95. Обращение целой функции от матрицы в случае матриц второго порядка ......Page 402
96. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами ......Page 405
97. Функции нескольких матриц ......Page 411
98. Разложение решения в степенной ряд ......Page 416
99. Аналитическое продолжение решения ......Page 422
100. Окрестность особой точки ......Page 424
101. Регулярная особая точка ......Page 431
102. Уравнения класса Фукса ......Page 440
103. Уравнение Гаусса ......Page 445
104. Гипергеометрический ряд ......Page 447
105. Полиномы Лежандра ......Page 454
106. Полиномы Якоби ......Page 462
107. Конформное преобразование и уравнение Гаусса ......Page 468
108. Преобразование Лапласа ......Page 474
109. Различный выбор решений ......Page 476
110. Уравнение Бесселя ......Page 481
111. Функции Ханкеля и интегральное представление решений уравнения Бесселя ......Page 485
112. Асимптотические разложения ......Page 488
113. Асимптотические разложения решений, полученных преобразованием Лапласа ......Page 494
114. Асимптотические разложения решений уравнения Бесселя ......Page 501
115. Вырождение уравнения Гаусса ......Page 506
116. Формальные ряды в окрестности иррегулярной особо точки ......Page 507
117. Построение асимптотических разложений методом последовательных приближений ......Page 511
118. Функции Эйри ......Page 518
119. Асимптотика при большом значении параметра ......Page 521
120. Уравнения с периодическими коэффициентами ......Page 529
121. Условия устойчивости и неустойчивости для уравнения Хилла ......Page 535
122. Системы линейных дифференциальных уравнений ......Page 546
123. Регулярная особая точка ......Page 549
124. Регулярные системы ......Page 552
125. Представление решения в окрестности особой точки ......Page 559
126. Канонические решения ......Page 563
127. Связь с регулярными решениями типа Фукса ......Page 566
128. Случай любых Us ......Page 568
129. Формальные разложения в окрестности иррегулярной особой точки ......Page 571
130. Определение сферических функций ......Page 575
131. Явные выражения сферических функций ......Page 578
132. Свойство ортогональности ......Page 584
133. Полиномы Лежандра ......Page 589
134. Разложение по сферическим функциям ......Page 595
135. Доказательство сходимости ......Page 600
136. Связь сферических функций с предельными задачами ......Page 602
137. Задачи Дирихле и Неймана ......Page 605
138. Потенциал объемных масс ......Page 608
139. Потенциал сферического слоя ......Page 610
140. Электрон в центральном поле ......Page 614
141. Шаровые функции и линейные представления группы вращения ......Page 617
142. Функция Лежандра ......Page 619
143. Функция Лежандра второго рода ......Page 621
144. Определение функций Бесселя ......Page 627
145. Соотношения между функциями Бесселя ......Page 629
146. Ортогональность функций Бесселя и их корни ......Page 632
147. Производящая функция и интегральное представление ......Page 639
148. Формула Фурье—Бесселя ......Page 644
149. Функции Ханкеля и Неймана ......Page 646
150. Разложение функций Неймана с целым значком ......Page 653
151. Случай чисто мнимого аргумента ......Page 654
152. Новые интегральные представления ......Page 657
153. Асимптотические представления ......Page 659
154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа ......Page 664
155. Волновое уравнение в цилиндрических координатах ......Page 667
156. Волновое уравнение в сферических координатах ......Page 671
157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита ......Page 675
158. Свойство ортогональности ......Page 679
159. Производящая функция ......Page 681
160. Параболические координаты и функции Эрмита ......Page 683
161. Полиномы Лагерра ......Page 686
162. Связь полиномов Эрмита и Лагерра ......Page 694
163. Асимптотическое выражение полиномов Эрмита ......Page 696
164. Асимптотическое выражение полиномов Лежандра ......Page 699
165. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду ......Page 703
166. Приведение интегралов к тригонометрической форме ......Page 707
167. Примеры ......Page 712
168. Обращение эллиптического интеграла ......Page 715
169. Общие свойства эллиптических функций ......Page 719
170. Основная лемма ......Page 725
171. Функции Вейерштрасса ......Page 727
172. Дифференциальное уравнение для P(u) ......Page 733
173. Функции ak(u) ......Page 736
174. Разложение целой периодической функции ......Page 740
175. Новые обозначения ......Page 742
176. Функция $1(v) ......Page 744
177. Функции &k(v) ......Page 748
178. Свойства функций тэта ......Page 751
179. Выражение чисел ek через &s ......Page 755
180. Эллиптические функции Якоби ......Page 758
181. Основные свойства функций Якоби ......Page 761
182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби ......Page 763
183. Формулы сложения ......Page 765
184. Связь функций P(u) и sn(u) ......Page 767
185. Эллиптические координаты ......Page 769
186. Введение эллиптических функций ......Page 771
187. Уравнение Лямэ ......Page 773
188. Простой маятник ......Page 775
189. Пример конформного преобразования ......Page 777
190. Вспомогательные предложения ......Page 780
191. Случай простых корней ......Page 787
192. Первый этап преобразований в случае кратных корней ......Page 790
193. Приведение к канонической форме ......Page 795
194. Определение структуры канонической формы ......Page 802
195. Пример ......Page 806