Цель курса -- дать общее введение в алгебраическую геометрию для
студентов от 2го курса и выше (мы предполагаем, что вы прослушали
стандартный курс алгебры в объеме 1го курса мех-мата). Поскольку
современная алгебраическая геометрия -- наука большая и повсюду
проникшая, никакого более-менее полного изложения ее в рамках
лекционного курса дать нельзя, и надо самостоятельно изучать литературу.
А на лекциях мы постараемся вкратце разъяснить основные понятия,
отметить тонкие места и разобрать базовые примеры.
Author(s): Дмитрий Каледин
Year: 0
Language: Russian
Pages: 150
Лекция 1
* Понятие аффинного алгебраического многообразия. Словарь
алгебра/геометрия: максимальный и простой спектры, теорема Гильберта
о нулях, топология Зарисского. Кратные пересечения и результант.
Лекция 2
* Открытые по Зарисскому множества, локализация, локальные кольца.
Модули и операции над ними. Тензорные произведения. Неразветвленные
накрытия, теория Галуа.
Лекция 3
* Приведенные и неприводимые схемы, области целостности. Нетеровы
модули и кольца. Теорема Гильберта о базисе. Размерность по Круллю
(определение). Ассоциированные идеалы, примарные разложения. Плоские
модули (определение). Ветвление и дискриминант.
Лекция 4
* Кольца дискретного нормирования. Дивизоры. Целые замыкания,
нормальные кольца. Лемма Хартогса. Нормализация и ветвление.
Накрытия Галуа колец дискретного нормирования, группы разложения и
инерции.
Лекция 5
* Градуированные модули; ряд Пуанкаре, полином Гильберта. Фильтрации и
лемма Артина-Риса. Теория размерности. Пополнения. Лемма Гензеля и
структура разветвленных накрытий над полным кольцом дискретного
нормирования.
* Лекция 6
** Регулярные кольца. Дифференцирования и касательные векторы. Модуль
кэлеровых дифференциалов. Регулярность и дифференциалы. Ветвление,
дифференциалы и дифферента. Теорема Коэна о поле представителей.
Лекция 7
* Пучки и операции с ними. Этальное пространство пучка;
ассоциированный пучок. Определение схемы.
* Лекция 8
** Аффинные схемы как частный случай общих. Морфизмы схем. Элементарные
свойств схем и когерентных пучков; операции с ними. Проективный
спектр и проективные схемы. Раздутия.
Лекция 9
* Когерентные пучки на проективном спектре --- теорема Серра.
Отображения в проективные пространства и линейные системы. Обильные
и очень обильные пучки.
Лекция 10
* Отделимость. Собственность. Дивизоры Вейля и Картье. Группа классов
дивизоров и группа Пикара.
Лекция 11
* Рациональные отображения. Линейные системы. Бирациональная
эквивалентность. Кривые. Дивизоры на кривых. Канонический класс и
род кривой.
Лекция 12
* Базовые понятия гомологическое алгебры -- длинная точная
последовательность когомологий, проективные резольвенты, функторы
Tor и т.д. Записи лекции нет, т.к. материал очень стандартный -- см.
любой из десятков существующих в природе учебников гомологической
алгебры.
Лекция 13
* Гомологическая теория локальных колец: проективная размерность,
глубина и регулярные последовательности, комплекс Кошуля,
характеризация Серра регулярных колец.
Лекция 14
* Когомологии пучков, инъективные и вялые пучки. Инъективные модули
над кольцом. Когомологии пучков на схеме.
Лекция 15
* Когомологии Чеха. Локальные когомологии. Когомологии проективного
пространства. Двойственность Серра-Гротендика, локальная и
глобальная. Теорема Серра об обращении в ноль.
Лекция 16
* Плоские морфизмы. Теорема замены базы. Плоские семейства и полином
Гильберта.
Лекция 17
* Спектральная последовательность Лере. Когерентность высших прямых
образов при проективном морфизме. Теорема полунепрерывности.
Лекция 18
* Теорема о формальных функциях. Факторизация Штейна. Глакие морфизмы.
Теорема Бертини.
Лекция 19
* Род кривой. Теорема Римана--Роха. Теорема Гурвица.
Гиперэллиптические кривые. Каноническое вложение. Эллиптические кривые.
Лекция 20
* Теория пересечения на поверхности. Формула присоединения. Теорема
Римана--Роха на поверхности. Раздутия. Бирациональные инварианты.
Лекция 21
* Бирациональные преобразования поверхностей. Минимальные модели.
Численная эффективность. Линейчатые поверхности. Классификация.
