Фундаментальный учебник по математического анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой — простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию.
«Курс... » предназначен для студентов университетов, педагогических и технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. «Курс... » высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке.
Первое издание вышло в 1948 г.
Author(s): Фихтенгольц Г.М.
Edition: 8-е
Publisher: ФИЗМАТЛИТ
Year: 2003
Language: Russian
Pages: 680
Оглавление......Page 3
Предисловие редактора......Page 11
1. Предварительные замечания......Page 13
2. Упорядочение области рациональных чисел......Page 14
3. Сложение и вычитание рациональных чисел......Page 15
4. Умножение и деление рациональных чисел......Page 17
5. Аксиома Архимеда......Page 19
6. Определение иррационального числа......Page 20
7. Упорядочение области вещественных чисел......Page 23
8. Вспомогательные предложения......Page 24
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью......Page 25
10. Непрерывность области вещественных чисел......Page 28
11. Границы числовых множеств......Page 30
12. Определение суммы вещественных чисел......Page 33
13. Свойства сложения......Page 34
14. Определение произведения вещественных чисел......Page 36
15. Свойства умножения......Page 38
17. Абсолютные величины......Page 40
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем......Page 41
19. Степень с любым вещественным показателем......Page 43
20. Логарифмы......Page 46
21. Измерение отрезков......Page 47
22. Переменная величина, варианта......Page 50
23. Предел варианты......Page 54
24. Бесконечно малые величины......Page 55
25. Примеры......Page 57
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел......Page 61
27. Бесконечно большие величины......Page 63
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве......Page 65
29. Леммы о бесконечно малых......Page 67
30. Арифметические операции над переменными......Page 68
31. Неопределенные выражения......Page 70
32. Примеры на нахождение пределов......Page 73
33. Теорема Штольца и ее применения......Page 78
34. Предел монотонной варианты......Page 81
35. Примеры......Page 83
36. Число е......Page 88
37. Приближенное вычисление числа е......Page 90
38. Лемма о вложенных промежутках......Page 94
39. Принцип сходимости......Page 96
40. Частичные последовательности и частичные пределы......Page 99
41. Лемма Больцано - Вейерштрасса......Page 101
42. Наибольший и наименьший пределы......Page 103
43. Переменная и область ее изменения......Page 107
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры......Page 108
45. Определение понятия функции......Page 110
46. Аналитический способ задания функции......Page 113
47. График функции......Page 116
48. Важнейшие классы функций......Page 118
49. Понятие обратной функции......Page 124
50. Обратные тригонометрические функции......Page 126
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания......Page 131
52. Определение предела функции......Page 132
53. Сведение к случаю варианты......Page 134
54. Примеры......Page 137
55. Распространение теории пределов......Page 145
56. Примеры......Page 148
57. Предел монотонной функции......Page 151
58. Общий признак Больцано-Коши......Page 152
60. Сравнение бесконечно малых......Page 154
61. Шкала бесконечно малых......Page 156
62. Эквивалентные бесконечно малые......Page 157
63. Выделение главной части......Page 159
64. Задачи......Page 161
65. Классификация бесконечно больших......Page 163
66. Определение непрерывности функции в точке......Page 164
68. Примеры непрерывных функций......Page 167
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов......Page 169
70. Примеры различных функций......Page 171
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции......Page 173
72. Непрерывность элементарных функций......Page 174
73. Суперпозиция непрерывных функций......Page 175
74. Решение одного функционального уравнения......Page 176
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций......Page 178
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов......Page 180
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов......Page 182
78. Степенно-показательные выражения......Page 185
79. Примеры......Page 186
80. Теорема об обращении функции в нуль......Page 188
81. Применение к решению уравнений......Page 190
82. Теорема о промежуточном значении......Page 191
83. Существование обратной функции......Page 193
84. Теорема об ограниченности функции......Page 195
85. Наибольшее и наименьшее значения функции......Page 196
86. Понятие равномерной непрерывности......Page 199
87. Теорема Кантора......Page 201
88. Лемма Бореля......Page 202
89. Новые доказательства основных теорем......Page 204
90. Задача о вычислении скорости движущейся точки......Page 208
91. Задача о проведении касательной к кривой......Page 209
92. Определение производной......Page 212
93. Примеры вычисления производных......Page 216
94. Производная обратной функции......Page 219
95. Сводка формул для производных......Page 221
96. Формула для приращения функции......Page 222
97. Простейшие правила вычисления производных......Page 223
98. Производная сложной функции......Page 226
99. Примеры......Page 227
100. Односторонние производные......Page 234
101. Бесконечные производные......Page 235
102. Дальнейшие примеры особых случаев......Page 236
103. Определение дифференциала......Page 237
104. Связь между дифференцируемостью и существованием производной......Page 238
105. Основные формулы и правила дифференцирования......Page 241
106. Инвариантность формы дифференциала......Page 242
107. Дифференциалы как источник приближенных формул......Page 245
108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей......Page 247
109. Теорема Ферма......Page 249
110. Теорема Дарбу......Page 251
111. Теорема Ролля......Page 252
112. Формула Лагранжа......Page 253
113. Предел производной......Page 256
114. Формула Коши......Page 257
115. Определение производных высших порядков......Page 259
116. Общие формулы для производных любого порядка......Page 261
117. Формула Лейбница......Page 265
118. Примеры......Page 267
119. Дифференциалы высших порядков......Page 270
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков......Page 271
121. Параметрическое дифференцирование......Page 273
122. Конечные разности......Page 274
123. Формула Тейлора для многочлена......Page 276
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано......Page 278
125. Примеры......Page 282
126. Другие формы дополнительного члена......Page 286
127. Приближенные формулы......Page 289
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа......Page 295
129. Дополнительный член формулы Лагранжа......Page 297
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита......Page 298
131. Условие постоянства функции......Page 301
132. Условие монотонности функции......Page 303
133. Доказательство неравенств......Page 306
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия......Page 310
135. Достаточные условия. Первое правило......Page 312
136. Примеры......Page 314
137. Второе правило......Page 318
138. Использование высших производных......Page 320
139. Разыскание наибольших и наименьших значений......Page 323
140. Задачи......Page 324
141. Определение выпуклой (вогнутой) функции......Page 329
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях......Page 330
143. Условия выпуклости функции......Page 333
144. Неравенство Иенсена и его приложения......Page 336
145. Точки перегиба......Page 338
146. Постановка задачи......Page 341
147. Схема построения графика. Примеры......Page 342
148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты......Page 344
149. Примеры......Page 348
150. Неопределенность вида......Page 351
151. Неопределенность вида......Page 357
152. Другие виды неопределенностей......Page 359
153. Вводные замечания......Page 361
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд)......Page 362
155. Правило Ньютона (метод касательных)......Page 366
156. Примеры и упражнения......Page 368
157. Комбинированный метод......Page 373
158. Примеры и упражнения......Page 374
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры......Page 378
160. Функции двух переменных и области их определения......Page 379
161. Арифметическое n-мерное пространство......Page 383
162. Примеры областей в n-мерном пространстве......Page 387
163. Общее определение открытой и замкнутой области......Page 389
164. Функции n переменных......Page 392
165. Предел функции нескольких переменных......Page 395
166. Сведение к случаю варианты......Page 397
167. Примеры......Page 399
168. Повторные пределы......Page 401
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных......Page 404
170. Операции над непрерывными функциями......Page 406
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано - Коши......Page 407
172. Лемма Больцано - Вейерштрасса......Page 409
173. Теоремы Вейерштрасса......Page 412
174. Равномерная непрерывность......Page 413
175. Лемма Бореля......Page 415
176. Новые доказательства основных теорем......Page 417
177. Частные производные и частные дифференциалы......Page 419
178. Полное приращение функции......Page 422
179. Полный дифференциал......Page 426
180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных......Page 428
181. Производные от сложных функций......Page 432
182. Примеры......Page 434
183. Формула конечных приращений......Page 436
184. Производная по заданному направлению......Page 438
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала......Page 441
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях......Page 443
187. Однородные функции......Page 446
188. Формула Эйлера......Page 448
189. Производные высших порядков......Page 449
190. Теорема о смешанных производных......Page 452
191. Обобщение......Page 456
192. Производные высших порядков от сложной функции......Page 458
193. Дифференциалы высших порядков......Page 459
194. Дифференциалы сложных функций......Page 464
195. Формула Тейлора......Page 465
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия......Page 468
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)......Page 470
198. Достаточные условия (общий случай)......Page 475
199. Условия отсутствия экстремума......Page 478
200. Наибольшее и наименьшее значения функции. Примеры......Page 480
201. Задачи......Page 484
202. Определение функциональных определителей (якобианов)......Page 494
203. Умножение якобианов......Page 495
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)......Page 497
205. Понятие неявной функции от одной переменной......Page 500
206. Существование неявной функции......Page 502
207. Дифференцируемость неявной функции......Page 505
208. Неявные функции от нескольких переменных......Page 507
209. Вычисление производных неявных функций......Page 515
210. Примеры......Page 519
211. Относительные экстремумы......Page 524
212. Метод неопределенных множителей Лагранжа......Page 527
213. Достаточные для относительного экстремума условия......Page 529
214. Примеры и задачи......Page 530
215. Понятие независимости функций......Page 535
216. Ранг матрицы Якоби......Page 537
217. Функции одной переменной......Page 542
218. Примеры......Page 544
219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных......Page 547
220. Метод вычисления дифференциалов......Page 549
221. Общий случай замены переменных......Page 550
222. Примеры......Page 553
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах)......Page 563
224. Примеры......Page 566
225. Кривые механического происхождения......Page 569
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры......Page 572
227. Поверхности и кривые в пространстве......Page 578
228. Параметрическое представление......Page 580
229. Примеры......Page 582
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах......Page 586
231. Примеры......Page 588
232. Касательная в полярных координатах......Page 590
233. Примеры......Page 591
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности......Page 593
235. Примеры......Page 598
236. Особые точки плоских кривых......Page 599
237. Случай параметрического задания кривой......Page 605
238. Огибающая семейства кривых......Page 607
239. Примеры......Page 611
240. Характеристические точки......Page 614
241. Порядок касания двух кривых......Page 616
242. Случай неявного задания одной из кривых......Page 619
243. Соприкасающаяся кривая......Page 620
244. Другой подход к соприкасающимся кривым......Page 623
245. Леммы......Page 624
246. Направление на кривой......Page 625
247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги......Page 627
248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги......Page 629
249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной......Page 633
250. Понятие кривизны......Page 637
251. Круг кривизны и радиус кривизны......Page 640
252. Примеры......Page 642
253. Координаты центра кривизны......Page 646
254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты......Page 648
255. Свойства эволют и эвольвент......Page 651
256. Разыскивание эвольвент......Page 654
257. Случай функции одной переменной......Page 657
258. Постановка задачи для двумерного случая......Page 659
259. Вспомогательные предложения......Page 661
260. Основная теорема о распространении......Page 665
261. Обобщение......Page 666
262. Заключительные замечания......Page 668
Алфавитный указатель......Page 671
