Книга содержит изложение теории гладких многообразий и геометрических структур на многообразиях. В качестве приложений приводится геометрический формализм классической механики и общей теории относительности.
Author(s): Гликлих Ю.Е.
Edition: 2
Publisher: Изд-во ВГУ
Year: 2009
Language: Russian
Pages: 132
City: Воронеж
Введение 6
Соглашение Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Многообразия 8
1.1 Понятие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Скаляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Касательные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Касательные расслоения и векторные поля . . . . . . . . . . 13
1.5 Кокасательные векторы (ковекторы) . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Кокасательные расслоения и ковекторные поля . . . . . . . . 20
1.7 Элементы теории категорий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Скобка Ли векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9 Группы и алгебры Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.10 Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.11 Касательное расслоение векторного расслоения . . . . . . . . 32
2 Римановы метрики 35
2.1 Основные определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Риманово расстояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Физически эквивалентные векторы и ковекторы . . . . . . . 39
3 Тензоры и дифференциальные формы 42
3.1 Тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Действия над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Физически эквивалентные тензоры . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Симметрические тензоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Кососимметрические тензоры – дифференциальные формы . 47
3.6 Внешнее произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Базис в пространстве p-форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Внешний дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9 Физическая эквивалентность для случая p-форм . . . . . . . 50
3.10 Внутреннее произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11 Формы объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.12 Операции ∗, δ, ∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.13 Операции векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Производная Ли 55
4.1 Общая конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Применение производной Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Уравнения на TM и T∗M 59
5.1 Дифференциальные уравнения второго порядка . . . . . . . 59
5.2 Гамильтоновы системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Связности 65
6.1 Структура касательного пространства к векторному рассло-
ению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Связности на векторных расслоениях . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Ковариантная производная и параллельный перенос . . . . . 73
6.4 Связности на многообразиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.5 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Связность на пространстве векторного расслоения . . . . . . 81
6.7 Геодезическая струя и ее применения . . . . . . . . . . . . . 82
6.8 Тензоры кривизны и кручения . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.9 Римановы связности. Связность Леви-Чивита . . . . . . . . 85
6.10 Связность на поверхности в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.11 Вариационные свойства геодезических . . . . . . . . . . . . . 92
6.12 Связности на главных расслоениях . . . . . . . . . . . . . . . 96
7 Геометрический формализм Ньютоновой механики 101
7.1 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Натуральные механические системы . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 Теорема Э. Нётер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8. Элементы общей теории относительности 112
8.1 Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 Пространство-время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3 Мировые линии. Собственное время. . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Системы отсчета. Трехмерные понятия. . . . . . . . . . . . . 118
8.5 Сложение скоростей, преобразование Лоренца. . . . . . . . . 119
8.6 Парадокс близнецов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.7 Прошлое, будущее, одновременность. . . . . . . . . . . . . . 122
8.8 Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.9 Уравнение Эйнштейна. Тензор энергии-импульса . . . . . . . 125
8.10 Первые обобщения ОТО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Литература 131
