4000 Jahre Zahlentheorie nimmt die Leser und Leserinnen mit auf eine Reise durch die Geschichte eines lange Zeit belächelten Gebiets der Mathematik. Im ersten Teil wird das Auf und Ab mathematischer Kulturen geschildert, beginnend mit den ersten zahlentheoretischen Fragestellungen der Babylonier, dem Studium von Primzahlen und vollkommenen Zahlen bei den Griechen und in der islamischen Welt, bis zu den Untersuchungen rechtwinkliger Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen in Indien und China. Die Erfindung des Buchdrucks und die Wiederentdeckung der griechischen Mathematik, insbesondere des Werks von Diophant, führte zu einem ungeheuren Aufschwung in der Zahlentheorie unter den Händen von Fermat, Euler, Lagrange und Legendre bis hin zu Gauß und seinem Jahrhundertwerk, den Disquisitiones Arithmeticae. Der dritte Teil beschäftigt sich mit der Generation von Zahlentheoretikern nach Gauß, die sich intensiv mit den Disquisitiones auseinandergesetzt haben und welche mit der Anwendung analytischer Methoden Ergebnisse erzielt haben, welche mit elementaren Techniken nur schwer oder gar nicht erreichbar sind; dazu gehören Dirichlet, Jacobi, Abel und Eisenstein. Während die Zahlentheorie bis Fermat nur wenige Kenntnisse der Mathematik verlangt, benötigt man für das Verständnis des Eulerschen Werks bereits Vertrautheit mit der Oberstufenanalysis, danach punktuell auch deutlich mehr.
Author(s): Franz Lemmermeyer
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 686
Vorwort des Autors
Danksagung
Vorwort des Herausgebers
Inhaltsverzeichnis
Teil I. Die Zahlentheorie in Antike und Mittelalter
1 Babylonische Quellen der Zahlentheorie
1.1 Von Sumer bis Seleukia
1.2 Die Keilschrift
1.3 Das Sexagesimalsystem
1.4 Teilbarkeitsregeln und Faktorisierungsalgorithmen
1.5 Plimpton 322
1.6 Rechtwinklige Dreiecke in Zahlen
1.7 Trapezteilung
Aufgaben
2 Von Nannas Herden zu Helios’ Rindern
2.1 Die alten Kulturen
2.2 Das Lied der Herden von Nanna
2.3 Ägypten: Geburtshelfer der griechischen Mathematik
2.4 Indien
2.5 China
Aufgaben
3 Die Zahlentheorie der Griechen
3.1 Thales und Pythagoras
3.2 Das Erbe: die griechische Logistik?
3.3 Pythagoreische Zahlentheorie
3.4 Von der Quadratverdopplung zur Inkommensurabilität
3.5 Wechselwegnahme und Inkommensurabilität
3.6 Euklids Elemente
3.7 Die Euklidische Zahlentheorie
3.8 Die Arithmetika Diophants
Aufgaben
4 Die Zahlentheorie im antiken Orient
4.1 Historischer Überblick
4.2 Rom und Byzanz
4.3 China
4.4 Indien
4.5 Die Islamische Welt
4.6 Magische Quadrate
Übungen
Teil II. Die Klassische Zahlentheorie
5 Die Auferstehung Diophants
5.1 Europa erwacht
5.2 Fibonacci
5.3 Das Aufkeimen der Wissenschaften
5.4 Die Wiederentdeckung Diophants
5.5 Vieta
5.6 Bachet
Aufgaben
6 Fermat
6.1 Vollkommene Zahlen
6.2 Mersenne
6.3 Fermat
6.4 Fermats Testament: Sein Brief an Carcavi
6.5 Der kleine Fermatsche Satz
6.6 Der unendliche Abstieg
6.7 Brouncker
6.8 Fermats Vermutungen
6.9 Rechtwinklige Dreiecke in Zahlen
6.10 Der 30-jährige Krieg
6.11 Geometrische Interpretation
Aufgaben
7 Euler und Lambert
7.1 Diophantische Methoden in Analysis und Geometrie
7.2 Goldbach und Euler
7.3 Auf den Spuren Fermats
7.4 Potenzreste und Reziprozitätsgesetze
7.5 Diophantische Gleichungen
7.6 Algebraische Zahlen
7.7 Analytische Methoden
7.8 Lambert
Aufgaben
8 Lagrange und Legendre
8.1 Die Vermessung der Welt
8.2 Die Französische Revolution
8.3 Lagrange
8.4 Legendre
8.5 Die Recherches
8.6 Der Essai von 1798
8.7 Legendres Vermächtnis
Aufgaben
9 Gauß
9.1 Carl Friedrich Gauß
9.2 Reaktionen
9.3 DA I–IV, VI: Elementare Zahlentheorie
9.4 DA V: Quadratische und Ternäre Formen
9.5 DA VII: Die Kreisteilung
9.6 Abschnitt VIII: Höhere Kongruenzen
9.7 Spätere Arbeiten zur Zahlentheorie
Nachlass
Aufgaben
Teil III. Der Beginn der Modernen Zahlentheorie
10 Dirichlet
10.1 Aufbruch zu neuen Ufern
10.2 Dirichlets Leben und Werk
10.3 Dirichlets Erste Schritte
10.4 Primzahlen in Arithmetischer Progression
10.5 Quadratische Formen über den Gaußschen Zahlen
10.6 Dirichlets Einheitensatz
Aufgaben
11 Abel, Jacobi und Cauchy
11.1 Abel
11.2 Jacobi
11.3 Reziprozitätsgesetze
11.4 Elliptische Integrale und Elliptische Funktionen
11.5 Anwendungen auf die Zahlentheorie
11.6 Cauchy
Aufgaben
12 Eisenstein
12.1 Eisensteins Leben
12.2 Annus Mirabilis
12.3 Eisensteins Theorie der Elliptischen Funktionen
12.4 Die Teilung der Lemniskate
12.5 Lösungsanzahlen von Kongruenzen
12.6 Formen und Invarianten
Aufgaben
Verzeichnisse
A Literaturüberblick
A.1 Fermat
A.2 Euler
A.3 Lagrange
A.4 Gauss
A.5 Dirichlet
A.6 Jacobi
A.7 Cauchy
A.8 Lebesgue
A.9 Eisenstein
Abbildungsverzeichnis
Literaturverzeichnis
Namensverzeichnis
Quellenverzeichnis
Sachverzeichnis
