Topologie et analyse fonctionnelle

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Avant-propos
Chapitre 1 : Distances et espaces métriques
1. Distances
2. Espaces métriques
3. Quelques notions qu'on peut définir à l'aide d'une distance
Lecture: Tout espace métrique E_d est isométrique à un s.e.m. de B_∞(E,R)
Corrigé des exercices
Problème : Régularisée de Hausdorff d'une fonction
Chapitre II : Normes et espaces vectoriels normés
1. Normes
2. Espaces vectoriels normés
3. Exemples d'espaces vectoriels normés
4. Exemples classiques d'espaces vectoriels normés (e.v.n. « classiques »)
5. Produits scalaires et espaces préhilbertiens
6. Ensembles et fonctions convexes
Lecture: Le critère de « préhilbertisabilité » de Jordan-von Neumann
Corrigé des exercices
Problème : Jauges de Minkowski
Chapitre III : Suites de points d'un espace métrique
1. Suites de points d'un ensemble
2. Suites de points d'un espace métrique
3. Limite supérieure et limite inférieure d'une suite de nombres réels
Corrigé des exercices
Lecture : Convergence de suites d'ensembles
Problème : Stabilité en optimisation
Chapitre IV : Densité et approximation dans un e.m.
1. Densité et approximation
2. Approximation uniforme des fonctions [a,b]->R. Le théorème de Weierstrass
Démonstrations
Lecture : Sous-groupes du groupe additif des nombres réels
Corrigé des exercices
Problème : Une distance curieuse
Chapitre V : Fermés d'un espace métrique
1. Notion d'adhérence
2. Points d'accumulation et points isolés
3. Frontière
4. Parties fermées d'un espace métrique
Corrigé des exercices
Problème : Étude d'une fonction convexe
Chapitre VI : Ouverts d'un espace métrique
1. Notion d'intérieur
2. Parties ouvertes d'un espace métrique
Corrigé des exercices
Problème 1 : Boules généralisées
Problème 2 : Ensembles rares
Chapitre VII : Applications continues
1. Continuité en un point
2. Continuité sur un espace métrique
Démonstrations
Corrigé des exercices
Lecture-Problème : Partition continue de l'unité subordonnée à un recouvrement
Chapitre VIII: Applications uniformément continues. Homéomorphismes
1. Continuité uniforme
2. Homéomorphismes
Corrigé des exercices
Chapitre IX : Produit d'espaces métriques et continuité. Limite d'une application
1. Produits d'espaces métriques
2. Espace métrique produit et continuité
3. Limite d'une application
Corrigé des exercices
Chapitre X : Applications linéaires continues
1. Caractérisations des applications linéaires continues. L'e.v.n. £(E,F)
2. Exemples
3. Caractérisations des applications multilinéaires continues
Démonstrations
Lecture 1 : Une propriété des isométries
Lecture 2 : Approximation d'un e.v.n
Corrigé des exercices
Annexe : Rappels d'algèbre linéaire
Chapitre XI : Suites de Cauchy et espaces métriques complets. Espaces de Banach, espaces de Hilbert
1. Suites de Cauchy
2. Espaces métriques complets : espaces de Banach, espaces de Hilbert
3. Exemples fondamentaux d'espaces métriques et d'e.v.n. complets : espaces de Banach classiques
Corrigé des exercices
Chapitre XII : Espaces métriques complets (suite)
1. Théorèmes de prolongement
2. Espaces vectoriels normés de dimension finie
3. Séries dans les espaces vectoriels normés
Démonstrations
Corrigé des exercices
Lecture-Problème 1 : Le principe de Ekeland
Lecture-Problème 2 : Le théorème de prolongement de Tietze-Urysohn
Lecture-Problème 3: Le théorème de T.-U., une autre approche
Chapitre XIII: Espaces métriques compacts (I)
1. Recouvrements
2. Espaces métriques précompacts
3. Espaces métriques compacts
Corrigé des exercices
Problèmes de révisions: Problème 1 : Le dual de C₀ est isométrique à L₁
Problème 2 : Convergence d'une suite d'ensembles
Problème 3 : Normes équivalentes
Problème 4 : Espaces ultramétriques
Chapitre XIV : Espaces métriques compacts (II)
1. Le théorème fondamental
2. Applications continues définies sur un espace métrique compact
3. Ensembles équicontinus. Théorème d'Arzelà-Ascoli
4. Espaces métriques localement compacts
Démonstrations
Corrigé des exercices
Lecture-Problème : Théorème de Stone-WeierstraB
Problème 1 : Espaces métriques à boules fermées compactes
Problème 2 : Le théorème de Bohman-Korovkin
Problème 3 : Le théorème de la place des zéros
Chapitre XV : Complété d'un espace métrique, d'un e.v.n. et d'un espace préhilbertien
1. Complété d'un espace métrique
2. Complété d'un espace vectoriel normé
3. Complété d'un espace préhilbertien
Corrigé des exercices
Annexe : Propriétés des nombre réels
Chapitre XVI : Espaces métriques complets : Applications (I) Points fixes
1. Point fixe d'une application
2. Le théorème du point fixe des contractions strictes
3. Quelques applications du théorème du point fixe
4. Variantes du théorème fondamental et applications
5. Le théorème de Brouwer
Lecture : Un résultat d'existence pour les équations non linéaires
Corrigé des exercices
Chapitre XVII : Espaces métriques complets : Applications (II) Projections
1. Meilleure approximation dans un espace métrique
2. Meilleure approximation dans un e.v.n
3. Projection sur un convexe complet d'un espace préhilbertien
4. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel complet
Corrigé des exercices
Problème : Algorithme pour trouver un point dans une intersection
Chapitre XVIII : Espaces de Hilbert réels (I). Autour du théorème de Riesz
1. L'application de dualité. Le théorème de F. Riesz
2. Opérateur adjoint d'un opérateur
Corrigé des exercices
Problème 1 : Noyaux reproduisants de Aronszjan-Bergman
Problème 2 : Un problème de Contrôle Optimal abstrait
Chapitre XIX : Espaces de Hilbert réels (II). Bases hilbertiennes
1. Base hilbertienne, ou base orthonormale, d'un espace préhilbertien réel séparable
2. Existence de bases hilbertiennes
3. Applications
Corrigé des exercices
Problème 1 : Une riche famille d'opérateurs
Problème 2 : Opérateurs de Hilbert..Schmidt
Problème 3 : Opérateurs de décalage
Problème 4 : Un calcul de distance
Problème 5 : Un espace de Hilbert et son dual
Problème 6 : Un contre-exemple sur la projection orthogonale
Problème 7 : La base hilbertienne de Haar
Chapitre XX : Connexité(s)
1. Connexité par arcs
2. Connexité
3. Composantes connexes
4. Applications de la notion de connexité
Corrigé des exercices
Lecture-Problème : Le groupe fondamental d'un espace métrique
Chapitre XXI: Minimisation d'une forme quadratique
1. Minimisation et inéquations
2. Points selle et min-max
3. Résultat d'existence et algorithme de calcul
Mathématiciens cités
Index
Notations
Bibliographie
Table des matières