Lineare Algebra: Eine anwendungsorientierte Einführung: Mathematische Grundlagen, praxisrelevante Methoden und technische Anwendungen

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1
Einführung
1.1 Warum lineare Algebra?
1.1.1 Die Welt ist linear
1.1.2 Große Probleme — große lineare Gleichungssysteme
1.1.3 Alles ist Matrix
1.2 Inhaltsübersicht
1.3 Anwendungen
1.4 Notation
1.5 Grundlagen und Voraussetzungen
1.5.1 Mathematische Grundlagen, Bezeichnungen
1.5.2 Zahlkörper
1.6 Wie lineare Algebra studieren?
1.6.1 Den Stoff erarbeiten
1.6.2 Begriffe pauken
1.6.3 Anwendungen verstehen
1.6.4 Übungsaufgaben lösen
1.6.5 Lineare Algebra ist überall
Kapitel 2
Lineare Gleichungssysteme
2.1 Anforderungen
2.2 Gleichungen
2.2.1 Variablen, Koeffizienten und rechte Seiten
2.2.2 Linearformen
2.2.3 Rechnen mit Linearformen
2.2.4 Was ist eine Lösung?
2.2.5 Was kann passieren?
2.2.6 Tableau-Schreibweise
2.3 Der gaußsche Eliminationsalgorithmus
2.3.1 Einführungsbeispiel: zwei Variable und zwei Unbekannte
2.3.2 Der grundlegende Algorithmus
2.3.3 Durchführung des Algorithmus mit dem Computer
2.4 Lösungen
2.4.1 Problemfälle für den Gauß-Algorithmus
2.4.2 Schlusstableau
2.4.3 Reduzierte Zeilenstufenform
2.4.4 Die Lösungsmenge
2.5 Lineare Abhängigkeit
2.5.1 Lineare Abhängigkeit von Zeilen
2.5.2 Lineare Abhängigkeit von Spalten
2.A Elektrische Netzwerke
2.A.1 Netzwerke und kirchhoffsche Gesetze
2.A.2 Gleichungen für Zyklen
2.A.3 Beispiel: Zyklen auf einem Oktaeder
Übungsaufgaben
Kapitel 3
Matrizen und Vektoren
3.1 Vektoren
3.1.1 Zeilen und Spaltenvektoren
3.1.2 Rechnen mit Vektoren
3.1.3 Gleichungssysteme in Vektorschreibweise
3.1.4 Linear abhängige Vektoren
3.2 Vektorraum
3.2.1 Axiomatische Definition
3.2.2 Basis
3.2.3 Basiswechsel
3.3 Matrizen
3.3.1 Matrizen und Gleichungssysteme
3.3.2 Das Produkt Matrix × Vektor
3.3.3 Transponierte Matrix
3.3.4 Matrizenprodukt
3.3.5 Rechenregeln für das Matrizenprodukt
3.3.6 Inverse Matrix
3.4 Spur
3.5 Hadamard-Algebra
3.A Elektrische Netzwerke in Matrixschreibeweise
3.A.1 Matrixbeschreibung eines Netzwerks
3.A.2 Die kirchhoffschen Gesetze
3.A.3 Potential
3.B Matrixoptik
3.B.1 Das Brechungsgesetz
3.B.2 Strahlen und Transfermatrizen
3.B.3 Dünne Linse
3.B.4 Achromat
3.C Rechnen mit Resten: Modulare Arithmetik
3.C.1 Grundoperationen
3.C.2 Division
3.C.3 Anwendung: Das Diffie-Hellman-Schlüsselprotokol
3.C.4 Endliche Körper und lineare Algebra
3.D Kettenbrüche
3.D.1 Definitionen
3.D.2 Beispiele
3.D.3 Näherungsbrüche
3.D.4 Anwendung: Übertragungsleitungen
Übungsaufgaben
Kapitel 4
Determinante
4.1 Eine Kennzahl für lineare Abhängigkeit
4.1.1 Definition
4.1.2 Rechenregeln für Determinanten
4.1.3 Determinante als lineare Funktion der Zeilen
4.1.4 Spalten statt Zeilen
4.2 Berechnung der Determinanten
4.2.1 Berechnung mit dem Gauß-Algorithmus
4.2.2 Berechnung mit Zeilenoperationen
4.2.3 Blockdiagonalmatrizen
4.3 Permutationen
4.3.1 Permutationen einer endlichen Menge
4.3.2 Zyklenzerlegung
4.3.3 Permutationen und Transpositionen
4.3.4 Signum einer Permutation
4.3.5 Permutationsmatrizen
4.3.6 Permutationsmatrix einer Transposition
4.3.7 Determinante und Vorzeichen
4.4 Entwicklungssatz
4.4.1 Entwicklungssatz aus der Pivotproduktformel
4.4.2 Entwicklungssatz direkt aus der Linearität
4.4.3 Spezialfall: Dimension 3, die Sarrus-Formel
4.4.4 Determinante einer Bandmatrix
4.4.5 Determinante von I + tA
4.4.6 Entwicklungssatz und Permutationen
4.5 Produktformel
4.6 Lösen von Gleichungssystemen
4.6.1 Die cramersche Regel
4.6.2 Inverse Matrix
Übungsaufgaben
Kapitel 5
Polynome
5.1 Notation und allgemeine Eigenschaften
5.1.1 Rechnen mit Polynomen
5.1.2 Der Grad eines Polynoms
5.1.3 Der Polynomring
5.1.4 Rechnen mit dem Grad
5.2 Polynome als Vektoren
5.3 Teilbarkeit
5.3.1 Division von Polynomen
5.3.2 Größter gemeinsamer Teiler und Sylvester-Matrix
5.3.3 Der euklidische Algorithmus für Polynome
5.4 Nullstellen
5.4.1 Faktorisierung und Nullstellen
5.4.2 Nullstellen in Körpererweiterungen
5.4.3 Komplexe Zahlen
5.4.4 Fundamentalsatz der Algebra
5.4.5 Erweiterung von Q um eine Nullstelle
5.5 Polynome und Matrizen
5.5.1 Die Matrix der Variablen X
5.5.2 Die Matrix eines Polynoms
5.5.3 Matrizenprodukt und Faltung
5.5.4 Matrix in ein Polynom einsetzen
5.5.5 Minimalpolynom einer Matrix
5.A Interpolation
5.A.1 Stützstellen
5.A.2 Die Polynome l(x) und li(x)
5.A.3 Vandermonde-Determinante
5.A.4 Vandermonde-Determinante als Polynom in x0, . . . , xn
5.A.5 Die Vandermonde-Determinante und Zeilen- und Spaltenoperationen
5.B Die endlichen Körper Fpn und AES
5.B.1 Erweiterung von Fp um eine Nullstelle
5.B.2 Der Körper F28
5.B.3 Blockbildung in AES
Übungsaufgaben
Kapitel 6
Affine Vektorgeometrie
6.1 Affine Geometrie
6.1.1 Axiome
6.1.2 Grundkonstruktionen
6.1.3 Affine Geometrie und Vektoroperationen über Q
6.1.4 Vektorraumoperationen über R
6.2 Koordinatensysteme
6.2.1 Punkte und Vektoren
6.2.2 Basis und Koordinatensystem
6.2.3 Koordinatenvektoren
6.2.4 Unterräume
6.2.5 Basiswechsel
6.3 Lineare Abbildungen
6.3.1 Affine und lineare Abbildungen
6.3.2 Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen
6.3.3 Zusammensetzung linearer Abbildungen
6.3.4 Basiswechsel
6.4 Geraden
6.4.1 Geraden in der Ebene und im Raum
6.4.2 Schnittpunkte
6.4.3 Gerade als Bild einer linearen Abbildung
6.4.4 Gerade in der Ebene als Lösungsmenge
6.4.5 Parallele Geraden
6.5 Ebenen
6.5.1 Parameterdarstellung
6.5.2 Schnittmengen
6.5.3 Ebenen und lineare Abbildungen
6.6 Affine Unterräume beliebiger Dimension
6.6.1 k-dimensionale affine Unterräume
6.6.2 Schnittmengen affiner Unterräume
6.6.3 Vergleich affiner Unterräume
6.6.4 Gleichungssystem für einen affinen Unterraum
6.A Aufrechtbildkamera
6.A.1 Lösungskonzept
6.A.2 Bilddrehung
6.A.3 Farbraumumrechnung
Übungsaufgaben
Kapitel 7
Skalarprodukt und
Orthogonalität
7.1 Orthogonale Projektion und Skalarprodukt
7.1.1 Orthogonale Projektion
7.1.2 Skalarprodukt
7.1.3 Kosinussatz
7.1.4 Skalarprodukt und Standardbasis
7.1.5 Skalarprodukt in Rn
7.2 Erste Anwendungen des Skalarproduktes
7.2.1 Normalenform von Ebene und Gerade
7.2.2 Parallel- und Orthogonalkomponente
7.2.3 Spiegelung an einer Geraden oder Ebene
7.3 Orthogonale und orthonormierte Basen
7.3.1 Orthogonale Basis und Orthonormalbasis
7.3.2 Darstellung von Vektoren und Matrizen
7.3.3 Orthonormalisierung nach Gram-Schmidt
7.3.4 Orthonormalisierung in Rn
7.4 Orthogonale Matrizen
7.4.1 Längentreue lineare Abbildungen
7.4.2 Eigenschaften orthogonaler Matrizen
7.4.3 Vertauschung der Koordinatenachsen
7.4.4 Spiegelungen
7.5 Drehungen
7.5.1 Drehungen im zweidimensionalen Raum
7.5.2 Drehungen des dreidimensionalen Raumes
7.6 Verallgemeinerte Skalarprodukte
7.6.1 Gram-Matrix
7.6.2 Axiomatische Definition eines Skalarproduktes
7.6.3 Allgemeine Gesetze für Skalarprodukte
7.7 Kreis und Kugel
7.7.1 Gleichungen von Kreis und Kugel
7.7.2 Durchstoßpunkt einer Geraden mit einer Kugel
7.7.3 Thales-Kreis
7.7.4 Tangente und Tangentialebene
7.8 Überbestimmte Gleichungssysteme – “Least Squares”
7.8.1 Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate
7.8.2 Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate
7.A Raytracing
7.A.1 Reflexion eines Lichtstrahls
7.A.2 Diffuse Reflexion und Umgebungslicht
7.A.3 Phong-Beleuchtungsmodell
7.B Ein Parametrisierungsproblem
7.B.1 Die Problemstellung
7.B.2 Lösung
7.C Bildregistrierung
7.D Anwendung: Diskrete Fourier-Transformation
7.D.1 Signale
7.D.2 Eine orthogonale Basis
7.D.3 Frequenzanalyse und -synthese
7.E Das Haar-Wavelet
7.E.1 Motivation
7.E.2 Die Haar-Basis
7.E.3 Analyse
7.E.4 Synthese
7.E.5 Erweiterungen
Übungsaufgaben
Kapitel 8
Flächeninhalt, Volumen und
Orientierung
8.1 Orientierung
8.1.1 Festlegung einer Orientierung mit Hilfe einer Basis
8.1.2 Orientierung und Determinante
8.1.3 Orientierung einer Ebene oder des dreidimensionalen Raumes
8.2 Flächeninhalt und Volumen
8.2.1 Flächeninhalt eines Parallelogramms
8.2.2 Volumen eines Parallelepipeds
8.2.3 Die Schuhbändel-Formel für den Flächeninhalt eines Polygons
8.2.4 Orientiertes Volumen in n Dimensionen
8.3 Vektorprodukt
8.3.1 Definition des Vektorproduktes
8.3.2 Normale
8.3.3 Dreierprodukte
8.3.4 Viererprodukte
8.3.5 Drehungen und die Rodrigues-Formel
8.3.6 Weitere Anwendungen
8.4 Gram-Matrix und Gram-Determinante
8.4.1 Ein neuer Blick auf die Gram-Matrix
8.4.2 Gram-Determinante
8.4.3 Die allgemeine Abstandsformel
8.A Welche Leistung kann man von einer PV-Anlage erwarten?
8.A.1 Koordinatensystem für Punkte auf der Erdkugel
8.A.2 Die Normale auf die Solarpanels
8.A.3 Die Bewegung der Sonne
8.A.4 Die Leistung der PV-Anlage
8.B MEMS-Kreiselsensoren und Quaternionen
8.B.1 MEMS-Kreiselsensoren
8.B.2 Quaternionen
8.B.3 Drehungen
8.B.4 Geometrische Algebra
Übungsaufgaben
Kapitel 9
Transformationen
9.1 Eigenschaften linearer Abbildungen
9.1.1 Kern: Eindeutige Lösbarkeit
9.1.2 Bild: Lösbarkeit von Gleichungen
9.1.3 Kern, Bild und Gauß-Tableau
9.1.4 Orthogonalkomplement
9.2 Invarianten
9.2.1 Volumen
9.2.2 Längen und
Winkel
9.3 Gruppen
9.3.1 Die Definition einer Gruppe
9.3.2 Die orthogonale Gruppe
9.3.3 Homomorphismen
9.3.4 Die spezielle lineare Gruppe
9.3.5 Die spezielle orthogonale Gruppe
9.3.6 Die Spur definiert keine Gruppe
9.4 Lie-Algebren
9.4.1 Eine Algebra für Matrizen mit Spur 0
9.4.2 Lie-Algebra
9.4.3 Lie-Algebren zu den Matrizengruppen
9.4.4 Exponentialfunktion
9.A Quadratur-Amplituden-Modulation
9.A.1 Amplitudenmodulation
9.A.2 Zweidimensionale Signale
9.A.3 Modulation zweidimensionaler Signale
9.A.4 Demodulation
9.A.5 Beispiele
9.B Fehlerkorrigierende Codes
9.B.1 Rechnen mit Bits: der Körper F2
9.B.2 Digitale Codes
9.B.3 Parität: einen Einzelbitfehler erkennen
9.B.4 Maskierung: einen Einzelbitfehler lokalisieren
9.B.5 Codierung und Fehlerkorrektur als lineare Operationen
9.C Satellitennavigation
9.C.1 Positionsbestimmung
9.C.2 Satellitenkonstellationen
9.D Trägheitsplattform
9.D.1 Koordinatensystem und orthogonale Matrizen
9.D.2 Drehungen
9.D.3 Geschwindigkeit
9.D.4 Flugzeug in einer Standardkurve
Übungsaufgaben
Kapitel 10
Projektive Geometrie
10.1 Perspektive
10.1.1 Lochkamera
10.1.2 Geraden
10.2 Strahlen
10.2.1 Strahlensatz
10.2.2 Der projektive Raum
10.2.3 Homogene Koordinaten
10.3 Projektion
10.3.1 Koordinatensysteme für Bilder
10.3.2 Spezielle Projektionen
10.3.3 Beliebige Kameraposition und -orientierung
10.3.4 Bestimmung der Drehmatrix D
10.A Triangulation mit Kameras
10.A.1 Triangulation mit zwei Kameras
10.A.2 Beliebig viele Kameras
10.A.3 Ein vollständiges Triangulationsbeispiel
Übungsaufgaben
Kapitel 11
Eigenwerte und Eigenvektoren
11.1 Motivation
11.1.1 Fibonacci-Zahlen
11.1.2 Matrixexponentialfunktion
11.1.3 Komplexität der Berechnung von Matrixpotenzen
11.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
11.2.1 Problemstellung
11.2.2 Die charakteristische Gleichung
11.2.3 Berechnung der Eigenvektoren
11.2.4 Algorithmus für Eigenwerte und Eigenvektoren
11.3 Diagonalisierung
11.3.1 Diagonalbasis
11.3.2 Diagonalisierbarkeit
11.3.3 Beispiele nicht diagonalisierbarer Matrizen
11.4 Symmetrische Matrizen
11.4.1 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
11.4.2 Geometrische Eigenschaften der Eigenvektoren
11.4.3 Konstruktion einer Eigenbasis
11.4.4 Gleichzeitige Diagonalisierbarkeit
11.4.5 Übersicht Diagonalisierbarkeit
11.5 Numerische Eigenvektorbestimmung
11.5.1 Die Potenzmethode
11.5.2 Der Jacobi-Transformationsalgorithmus
11.A Lineare Differenzengleichungen
11.A.1 Lineare Differenzengleichungen und Matrizen
11.A.2 Allgemeine Lösung einer linearen Differenzengleichung
11.A.3 Eine Formel für die Fibonacci-Zahlen
11.A.4 Die Determinante det Bn aus Abschnitt 4.4.4
11.B Differentialgleichungen
11.B.1 Die Matrixexponentialfunktion und Eigenvektoren
11.B.2 Differentialgleichung einer gedämpften Schwingung
11.B.3 Differentialgleichung einer Federkette
Übungsaufgaben
Kapitel 12
Matrixzerlegungen
12.1 Zerlegung in Produkte einfacherer Matrizen
12.2 LU-, LDU- und LR-Zerlegung
12.2.1 Gauß-Matrizen
12.2.2 Die LU-Zerlegung
12.2.3 Die LDU-Zerlegung
12.2.4 Die LR-Zerlegung
12.2.5 Übersicht
12.2.6 Spezialfälle
12.3 Cholesky-Zerlegung
12.4 QR-Zerlegung
12.4.1 Gram-Schmidt-Orthonormalisierung und QR-Zerlegung
12.4.2 QR-Zerlegung mit Reflektoren
12.4.3 Kleinste Quadrate und die QR-Zerlegung
12.4.4 Anwendung: geometrische Zerlegung einer Abbildung
12.5 Singulärwertzerlegung
12.5.1 Singulärwerte
12.5.2 Eindeutigkeit der Singulärwertzerlegung
12.5.3 Singulärwerte und Eigenwerte
12.5.4 Pseudoinverse
12.5.5 Geometrische Interpretation
12.6 RREF und die CR-Zerlegung
12.6.1 Faktorisierung mit der reduzierten Zeilenstufenform
12.6.2 Bild und Kern
12.A Magnetische Navigationssysteme
12.A.1 Kräfte im Magnetfeld
12.A.2 Magnetfelder erzeugen
12.A.3 Magnetische Navigation
12.B Regelungstechnik und SVD
12.B.1 Lineare, diskrete Systemmodellierung
12.B.2 Steuerbarkeit
12.B.3 Beobachtbarkeit
12.B.4 Approximation
Übungsaufgaben
Kapitel 13
Normalformen
13.1 Invariante Unterräume
13.1.1 Kern und Bild von Matrixpotenzen
13.1.2 Invariante Unterräume
13.1.3 Nilpotente Matrizen
13.1.4 Basis für die Normalform einer nilpotenten Matrix bestimmen
13.2 Eigenräume
13.2.1 Verallgemeinerte Eigenräume
13.2.2 Zerlegung in invariante Unterräume
13.2.3 Nullstellen des charakteristischen Polynoms
13.3 Normalformen
13.3.1 Diagonalform
13.3.2 Jordan-Normalform
13.3.3 Reelle Normalform
13.A Die Federwaage
13.A.1 Jordan-Normalform und Exponentialreihe
13.A.2 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
13.A.3 Reibung und kritische Dämpfung
Übungsaufgaben
Kapitel 14
Positive Matrizen
14.1 Wahrscheinlichkeitsmatrizen und Markov-Ketten
14.1.1 Graphen
14.1.2 Wahrscheinlichkeitsmatrizen
14.1.3 Markov-Ketten
14.2 Perron-Frobenius-Theorie
14.2.1 Nichtnegative und positive Matrizen und Vektoren
14.2.2 Spektralradius
14.2.3 Invariante Unterräume und Eigenräume positiver Matrizen
14.2.4 Satz von Perron-Frobenius
14.A Google-Matrix
14.A.1 EinWahrscheinlichkeitsmodell für Internetbesucher
14.A.2 Die Google-Matrix
14.B Das Parrondo-Paradoxon
14.B.1 Die beiden Teilspiele
14.B.2 Kombination der Spiele
Übungsaufgaben
Kapitel 15
Tensoren
15.1 Vektoren und Linearformen
15.1.1 Basen für Vektoren und Linearformen
15.1.2 Koordinatentransformation
15.2 Kovariante und kontravariante Tensoren
15.2.1 Lineare Abbildungen
15.2.2 Verallgemeinertes Skalarprodukt
15.2.3 Tensoren beliebiger Stufe
15.3 Tensorprodukt und Kroneckerprodukt
15.3.1 Indexfreie Notation
15.3.2 Tensorprodukt
15.3.3 Kroneckerprodukt von Matrizen
Literatur
Index