Das Buch gibt eine Einführung in weiterführende Themengebiete der stochastischen Prozesse und der zugehörigen stochastischen Analysis und verbindet diese mit einer fundierten Darstellung von Grundlagen der Finanzmathematik. Es ist inhaltlich weitreichend und legt gleichzeitig viel Wert auf gute Lesbarkeit, Motivation und Erklärung der behandelten Sachverhalte.
Finanzmathematische Fragestellungen werden zunächst im Rahmen diskreter Modelle eingeführt und dann auf zeitstetige Modelle übertragen. Die grundlegende Konstruktion des stochastischen Integrals und die zugehörige Martingaltheorie liefern fundamentale Methoden der Theorie stochastischer Prozesse zur Konstruktion von geeigneten stochastischen Modellen der Finanzmathematik, z.B. mit Hilfe von stochastischen Differentialgleichungen. Zentrale Resultate der stochastischen Analysis wie Itô -Formel, Satz von Girsanov und Martingaldarstellungssätze erhalten in der Finanzmathematik grundlegende Bedeutung, z.B. für die risiko-neutrale Bewertungsformel (Black-Scholes Formel) oder die Frage nach der Hedgebarkeit von Optionen und der Vollständigkeit von Marktmodellen. Kapitel zur Bewertung von Optionen in vollständigen und nichtvollständigen Märkten und zur Bestimmung optimaler Hedgingstrategien schließen die Thematik ab.
Vorausgesetzt werden fortgeschrittene Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, insbesondere zu zeitdiskreten Prozessen (Martingale, Markov-Ketten) sowie zeitstetigen Prozessen (Brownsche Bewegung, Lévy-Prozesse, Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen, Markovprozesse). Das Buch ist somit für fortgeschrittene Studierende als begleitende Lektüre sowie für Dozenten als Grundlage für eigene Lehrveranstaltungen geeignet.
Author(s): Ludger Rüschendorf
Series: Springer Spektrum Masterclass
Edition: 1
Publisher: Springer
Year: 2020
Language: German
Pages: 294
Tags: Stochastische Prozesse, Finanzmathematik, Stochastische Differentialgleichungen, Black-Scholes-Formel, Hedging
Einleitung
Inhaltsverzeichnis
1 Optionspreisbestimmung in Modellen in diskreter Zeit
2 Skorohodscher Einbettungssatz und Donsker-Theorem
2.1 Skorohodscher Einbettungssatz
2.2 Funktionaler Grenzwertsatz
3 Stochastische Integration
3.1 Martingale und vorhersehbare Prozesse
3.2 Itô-Integral für die Brownsche Bewegung
3.2.1 Ausdehnung des Integrals auf L2 -Integranden
3.2.2 Konstruktion des Integrals für mathcalL0 (B)
3.3 Quadratische Variation von stetigen lokalen Martingalen
3.4 Stochastisches Integral von stetigen lokalen Martingalen
3.4.1 Stochastisches Integral für stetige L2-Martingale
3.4.2 Ausdehnung auf die Menge der stetigen lokalen Martingale
3.4.3 Ausdehnung auf den Fall von stetigen Semimartingalen
3.5 Integration von Semimartingalen
3.5.1 Zerlegungssätze
3.5.2 Stochastisches Integral für mathcalMloc2
3.5.3 Stochastisches Integral für Semimartingale
4 Elemente der stochastischen Analysis
4.1 Itô-Formel
4.2 Martingaldarstellungssätze
4.3 Maßwechsel, Satz von Girsanov
4.3.1 Anwendungen des Satzes von Girsanov
4.3.2 Clark-Formel
4.4 Stochastische Differentialgleichungen
4.4.1 Starke Lösung – schwache Lösung von stochastischen Differentialgleichungen
4.5 Halbgruppen, PDE- und SDE-Zugang zu Diffusionsprozessen
5 Optionspreise in vollständigen und unvollständigen Märkten
5.1 Das Black-Scholes-Modell und risikoneutrale Bewertung
5.1.1 Risikoneutrale Bewertung von Optionen
5.1.2 Diskussion der Black-Scholes Formel
5.1.3 Hedging-Strategien und partielle Differentialgleichungen
5.2 Vollständige und unvollständige Märkte
6 Nutzenoptimierung, Minimumdistanz-Martingalmaße und Nutzenindifferenzpreis
6.1 Nutzenoptimierung und Nutzenindifferenzpreis
6.2 Minimumdistanz-Martingalmaße
6.3 Dualitätsresultate
6.3.1 Minimumdistanz-Martingalmaße und Minimax-Maße
6.3.2 Zusammenhang zur Portfoliooptimierung
6.4 Nutzenbasiertes Hedging
6.5 Beispiele in exponentiellen Lévy-Modellen
6.6 Eigenschaften des Nutzenindifferenzpreises
7 Varianz-minimales Hedgen
7.1 Hedgen im Martingalfall
7.2 Hedgen im Semimartingalfall
7.2.1 Föllmer-Schweizer-Zerlegung und Optimalitätsgleichung
7.2.2 Minimale Martingalmaße und optimale Strategien
Literatur
Stichwortverzeichnis
