2 00 Portada 2eso
2 01 Resolucion problemas
2 02 Numeros
El sistema de numeración decimal
En el sistema de numeración decimal el valor de una cifra en un número es diez veces mayor que el de la cifra situada a su derecha y diez veces menor que el valor de la situada a su izquierda. Por eso se dice que es un sistema posicional: el valor de...
Números romanos
Otros sistemas de numeración
Cifras del sistema binario
Valor absoluto de un número
, un medio , dos tercios , tres cuartos , cuatro quintos , tres décimos
Reducción de una fracción. Fracciones irreducibles
Conversión de una fracción a expresión decimal
Conversión de una expresión decimal en fracción
Para representar un número decimal como 6.2 en primer lugar nos fijamos en su parte entera, 6, lo que nos informa de que 6.2 se encuentra entre los números naturales 6 y 7. Como su parte decimal posee una sola cifra, son 2 décimas, deberemos dividir...
2.2. Comparación de números
Decidir si un número decimal es mayor o menor que otro es bastante sencillo. Si sus partes enteras son distintas, ellas ya determinan cuál es mayor.
13.66 es mayor que 11.4, pues el primero tiene parte entera 13 y el segundo 11.
Si tienen igual parte entera pasamos a mirar su primera cifra decimal, la de las decenas. Si son diferentes, ya podemos decidir.
7.25 es menor que 7.3, ya que tienen la misma parte entera y la primera cifra decimal de 7.3 es mayor que la primera cifra decimal de 7.25.
Suma de números enteros
Suma de fracciones
Suma de expresiones decimales
Propiedades de la suma
Resta
Producto de números enteros
Producto de fracciones
Producto de expresiones decimales
Al resultado de ese producto le ponemos una coma para que surja una expresión decimal con una parte decimal de longitud igual a la suma de las cantidades de cifras decimales que tienen las expresiones decimales multiplicadas.
Propiedades de la multiplicación.
a) 6 350 4 – 6 350 3 = 6 350 (4 – 3) = 6 350 1 = 6 350
b) 635 2 + 3 635 = (2 + 3) 635 = 5 635 = 3 175
c) 928 6 – 928 5 = 928 (6 – 5) = 928 1 = 928
d) 928 7 + 928 3 = 928 (7 + 3) = 928 10 = 9 280
e)
División de números naturales
Se verifica que:
3 658 = 65 56 + 18
27/3, 27: 3 y significan lo mismo: la división o el cociente de 27 entre 3.
Divisiones con calculadora
325 5 65 la división es exacta.
Pero si hacemos:
325 15 21.6666666667
Cociente de números enteros
Existe una prioridad en las operaciones donde no existen paréntesis y es que la multiplicación y la división siempre se realizan antes que las sumas y las restas.
Por tanto, la operación anterior sería: 5 4 + 3 = 20 + 3 = 23
Observa la diferencia entre estas dos operaciones:
(17 + 8) 6 = 25 6 = 150 17 + 8 6 = 17 + 48 = 65
Es importante escribir los paréntesis solo cuando sea necesario. Por ejemplo, en la expresión: (21 2) + 30 resulta innecesario, ya que por la prioridad en las operaciones, ya sabemos que tenemos que efectuar el producto antes que la suma.
Si realizamos una operación en la calculadora sin paréntesis ésta ya respeta la jerarquía en las operaciones, por lo que si la operación necesitase paréntesis, hemos de incluirlos en la calculadora.
Producto
Cociente
La palabra “cociente” significa el resultado de hacer una “división” Los símbolos utilizados para representarlas son:
/, : , y la fracción: ,-.
a. 15 + [2 – 8 – (10 – 3)] b. 7 – [(5 – 8) – (6 – 12)] c. (5 – 14) – [2 – (2 – 4 – 3)]
d. (1 – 11 + 6) – [(3 – 2) – (4 – 16)] e. [8 – (4 – 16)] – [10 – (5 – 12)]
2 03 Potencias
Uno, elevado a cualquier exponente, es igual a 1.
an ∙ am = an + m
an : am = ,,?-?.-,?-?.. = an – m
(an)m = an ∙ m
a. La distancia de la Tierra al Sol → 150 000 000 km
b. El número de átomos que hay en un gramo de oxígeno.
37 643 750 000 000 000 000 000 átomos
2 04 DIVISIBILIDAD
1.1. Múltiplos y divisores de un número entero
Múltiplos de un número
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54,….
Todos ellos son múltiplos de 3.
La notación matemática de este concepto es:
Es decir: = .
Divisores enteros de un número
a) 3 es divisor de 9 porque al dividir 9 entre 3, el resto es 0.
b) 10 es divisor de 100 porque al dividir 100 entre 10, el resto es 0.
c) 7 es divisor de 49 porque al dividir 49 entre 7, el resto es 0.
d) 1 es divisor de 47 porque al dividir 47 entre 1, el resto es 0.
e) 47 es divisor de 47 porque al dividir 47 entre 47, el resto es 0
a) 9 es divisible por 3 porque 3 es divisor de 9, es decir, al dividir 9 entre 3, el resto es 0.
b) 100 es divisible por 10 porque 10 es divisor de 100, es decir al dividir 100 entre 10, el resto es 0.
c) 49 es divisible por 7 porque 7 es divisor de 49, es decir, al dividir 49 entre 7, el resto es 0.
a) Como habrás deducido, las relaciones ser múltiplo y ser divisor son relaciones inversas.
b) No confundas las expresiones ser múltiplo, ser divisor y ser divisible. Veámoslo con un ejemplo:
1.2. Criterios de divisibilidad
Para ver si un número entero es divisible por otro número entero, basta con dividirlos y ver si el resto es 0. Pero cuando los números son grandes, las operaciones pueden resultar complicadas.
La tarea se simplifica si tenemos en cuenta los llamados criterios de divisibilidad que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin necesidad de efectuar la división.
Criterio de divisibilidad por 2
Los números: 492, 70, 376, 900, 564, 298 son divisibles por 2, ya que terminan en 2, 0, 6, 0, 4, y 8.
Criterio de divisibilidad por 3
Criterio de divisibilidad por 4
Criterio de divisibilidad por 5
Los números 3 925 y 78 216 570 son divisibles por 5, pues terminan en 5 y en 0.
Criterio de divisibilidad por 6
El número 5 532 es divisible por 6 ya que:
Lo es por 2 porque termina en 2.
Lo es por 3, ya que sus cifras suman 15 que es múltiplo de 3.
El número 2 456 no es divisible por 6 ya que:
Lo es por 2 porque termina en 6.
No lo es por 3, ya que sus cifras suman 2 + 4 + 5 + 6 = 17, y 1 + 7 = 8 que no es múltiplo de 3.
Criterio de divisibilidad por 9
Criterio de divisibilidad por 10
El número 825160 es divisible por 10 porque termina en 0.
Observa que los números que son divisibles por 10 lo son por 2 y por 5 y viceversa, si un número es divisible por 2 y por 5, lo es por 10.
Criterio de divisibilidad por 11
1.3. Obtención de todos los divisores de un número entero
Ya sabemos que todo número tiene como divisores a la unidad y a él mismo 1 y 48.
Es divisible por 2. (Termina en cifra par) → 48 : 2 = 24 ( Ya tenemos dos divisores: 2 y 24.
2.2. La criba de Eratóstenes
2.3. Descomposición de un número natural en factores primos
1) Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.
2) Los factores primos en la expresión del número ya factorizado se suelen escribir en orden creciente.
3) Cuando ya tengamos práctica, y con números no demasiado grandes, podemos descomponer un número en producto de dos y luego cada uno de ellos en otros productos hasta que todos los factores obtenidos sean primos.
2.4. Máximo común divisor de varios números
Divisores de 60 ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 30, 60.
Divisores de 84 ( 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 21, 28, 84
¿Cuáles son los divisores comunes a ambos? Los divisores comunes a ambos son varios: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
El mayor de los divisores comunes es 12 y se dice que 12 es el máximo común divisor de 60 y de 84.
2.5. Mínimo común múltiplo de varios números
Cálculo del m.c.m.
1, 30, 50, 60, 70, 75, 100, 125, 150
a) m = 2 2 2 3 n = 2 3 3 5
b) m = 3 5 n = 2 7
c) m = 22 3 52 n = 22 32
d) m = 3 5 72 n = 2 52 7
¿Quién era Eratóstenes el de la famosa criba que estudiamos antes?
Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia), en el norte de Africa. Vivió entre los años 275 a C y 195 antes de Cristo.
Por varias décadas, fue el director de la famosa Biblioteca de Alejandría. Fue amigo de Arquímedes.
Aún así, Eratóstenes se hizo famoso por tres descubrimientos:
- Por la medición increíblemente precisa que hizo del diámetro de la Tierra
- Por haber fabricado una criba, o un filtro, para descubrir todos los números primos.
- La invención de la esfera armilar.
c) El mínimo común múltiplo de dos números siempre es mayor que el producto de ambos.
d) El máximo común divisor de dos números siempre es mayor que el producto de ambos.
b) 11 es múltiplo de 121.
c) 33 es divisor de 11.
d) Si un número es múltiplo de 2 y de 3, también lo es de 6.
2 05 Unidades medida
Magnitud
Unidades de longitud
Cambio de unidades
Unidades de superficie
Cambio de unidades
Unidades agrarias
Unidades de volumen
Cambio de unidades
Cambio de unidades
Relación entre litros y m3
Cambio de unidades
Expresión en grados, minutos y segundos
Expresión en minutos y segundos
Expresión en segundos
Suma y resta de ángulos en el sistema sexagesimal.
2 06 Longitudes
Es decir,
2 07 Cuerpos
Puntos, rectas y planos
Posiciones relativas de dos planos
Posiciones relativas de dos rectas en el espacio
Posiciones relativas de recta y plano
2 08 Movimientos
POLIEDRO
2 09 Proporciones
4 : 5 = 0.8 € el kilo
2 10 algebra
2 11 graficas
2 12 Estadistica
1. Una urna que contiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, sacamos una bola, anotamos el número y devolvemos la bola a la urna. Repetimos el experimento 1 000 veces y se han obtenido los resultados indicados en la tabla:
2. Clasifica los siguientes sucesos en imposibles, poco probables, posibles, muy probables y seguros:
3. Pepa ha tirado un dado 25 veces y ha obtenido los siguientes resultados:
4. La duración en minutos de unas llamadas telefónicas ha sido:
5. Se hace una encuesta sobre el número de veces que van unos jóvenes al mes al cine. Los datos están en la tabla:
6. Se hace un estudio sobre lo que se recicla en una ciudad y se hace una tabla con el peso en porcentaje de los distintos tipos de residuos:
7. ¿Cuánto vale la suma de las alturas de un diagrama de rectángulos de frecuencias relativas.
8. Se ha medido en una clase el tamaño de las manos de cada uno de los alumnos y alumnas, y el resultado en centímetros ha sido el siguiente:
9. En una clase se ha preguntado por las preferencias deportivas y se ha obtenido:
10. El 35 % de las cigüeñas no ha emigrado este año a África y el 6 % murió por el camino. Dibuja un diagrama por sectores que describa esta situación.
11. Javier ha tirado un dado 10 veces y ha obtenido los siguientes resultados:
12. Raquel ha tenido las siguientes notas en sus exámenes de Lengua: 7, 5, 6, 4, 7, 10, 7. Calcula la media aritmética.
13. Se ha medido el tamaño de la mano de 10 alumnos y alumnas, y el resultado en centímetros ha sido el siguiente:
14. Nos interesa conocer la distribución de notas obtenidas por 20 estudiantes. Las notas son:
15. Los jugadores de un equipo de baloncesto tiene las siguientes edades:
16. Hacemos una encuesta preguntando a 10 familias cuántas hijos tienen. Los resultados son:
17. Pepa ha tirado un dado 25 veces y ha obtenido los siguientes resultados:
18. Sara ha tenido las siguientes notas en sus exámenes de Matemáticas: 9, 7, 8, 6, 9, 10, 9
19. Se ha tenido el resultado de medir en una clase el tamaño de las manos de cada uno de los alumnos y alumnas, y el resultado en centímetros ha sido el siguiente:
20. Nos interesa conocer la distribución de notas obtenidas por 40 estudiantes. Las notas son:
21. Hacemos una encuesta preguntando a 10 familias cuántas mascotas tienen. Los resultados son:
22. Los jugadores de un equipo de balonmano tiene las siguientes edades:
23. Introduce los datos de la encuesta sobre el número de mascotas en el ordenado y vuelve a calcular la media, la mediana y la moda.
24. Organiza los datos en una tabla calculando las frecuencias absolutas de 0, 1, 2, 3 y 4. Introduce esta tabla en el ordenador y haz una representación de barras, un diagrama de líneas y un diagrama de sectores.
25. Utiliza el ordenador para comprobar los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores.
26. Realiza una encuesta en tu clase y lleva los resultados a un ordenador para hacer un informe. La encuesta podría ser, por ejemplo, si le gusta o no una determinada serie de televisión, o un programa; o el número de días de la semana que hacen algú...
27. El Director Comercial de una empresa va a ser evaluado. Para ello debe dar cuanta de los resultados obtenidos. Quiere quedar bien, pues eso le puede suponer un aumento de sueldo. Se han vendido las siguientes cantidades:
28. Tira una moneda 100 veces y anota los resultados obtenidos: C, C, x, …. Construye una nueva lista anotando, cada vez que haya salido cara, el resultado siguiente: C, x, …Confecciona luego dos tablas: una de frecuencias absolutas y otra de frecuenc...
29. Se conoce el volumen semanal de residuos sólidos recogidos en m3 durante las 52 semanas de un año, en un municipio pequeño: 25.5, 27.1, 31.8, 34.2, 38.9, 21.3, 28.7, 33.2, 36.5, 39.6, 25.2, 24.7, 23.2, 23.3, 22.2, 26.4, 26.7, 29.6, 31.3, 30.5, 28....
30. Con los datos del problema anterior:
31. Busca en revistas o periódicos dos gráficas estadísticas, recórtalas y pégalas en tu cuaderno. En muchas ocasiones estas gráficas tienen errores. Obsérvalas detenidamente y comenta las siguientes cuestiones:
32. La media de seis números es 5. Se añaden dos números más, pero la media sigue siendo 5. ¿Cuánto suman estos dos números?
2 13 INDICE 2 DE ESO
