... das, was im ersten Abschnitt gebracht wird, nicht etwa ein bloßer Auszug
aus verschiedenen mathematischen Lehrbüchern, sondern ein den Absichten
unseres Buches sorgsam angepaßtes Ganzes. So z. B. zielt die durchaus
originelle Darstellung der Variationsrechnung im fünften Kapitel unmittelbar
auf die Anwendung in der analytischen Mechanik; die Herleitung
der Hauptsätze der linearen Algebra und der Vektor- und Tensorrechnung
im zweiten weicht - im Hinblick auf das Endziel - mannigfach
von den üblichen Darstellungen ab; in den ganz knappen Abriß der
Gleichungstheorie im dritten Kapitel ist die bisher wohl noch von
keinem Lehrbuch gegebene Ableitung der für die Stabilitätsfragen
grundlegenden Hurwitzschen Formeln aufgenommen u. s, f. - In dem
zweiten Abschnitt, der den gewöhnlichen Differentialgleichungen
gewidmet ist, bilden naturgemäß die aus physikalischen Fragestellungen
entspringenden Randwertprobleme und die aus diesen sich ergebenden
speziellen Funktionen und Reihenentwicklungen den Hauptgegenstand;
besonders ausführlich sind die für physikalische Berechnungen wichtigeren
Lehrsätze und Formeln über Bessel sehe Funktionen behandelt.
Doch wurde es nicht als überflüssig angesehen, einige Ausführungen
über die sogenannten "Anfangswertprobleme" voranzustellen, die z. B.
in der elementaren Mechanik vielfache Anwendung finden. Der dritte
Abschnitt knüpft an eine Reihe konkreter physikalischer Problemstellungen
einen kurzen Abriß der Integralgleichungstheorie an. Im
Gegensatz zu den bisher gebräuchlichen Darstellungen ist hier weniger
'Nert auf die Vollständigkeit von Konvergenzuntersuchungen . und
ähnliches gelegt, als auf die begriffliche Bedeutung der Ansätze einerseits,
auf praktische Lösungsverfahren andererseits. Die Hauptsätze
der Potentialtheorie ergeben sich ungezwungen als die für die physikalischen
Anwendungen fruchtbarsten Resultate. Was' schließlich der
vierte Abschnitt über partielle Differentialgleichungen bringt, bedarf
in höherem Maße als das frühere der Ergänzung durch den zweiten
Band. Man wird leicht feststellen können, daß in den bisherigen Auflagen
des Buches - dem Stande der Entwicklung entsprechend überhaupt
kaum etwas Prinzipielles oder Allgemeines über die partiellen
Differentialgleichungen gesagt war. Ihre Behandlung kann auch
heute zum größten Teil nur innerhalb der einzelnen physikalischen
Kapitel erfolgen; doch schien es immerhin möglich und daher auch
geboten, eine Reihe von Grundbegriffen und einige gemeinsame
Gesichtspunkte im Rahmen des "mathematischen" Bandes vorwegzunehmen.
Author(s): Philipp Frank, Richard von Mises
Edition: 2
Publisher: Friedrich Vieweg & Sohn AG
Year: 1930
Language: German
Pages: XXIV; 916
City: Braunschweig
Titelblatt 1
Titelblatt 2
Vorwort zur ersten Auflage
Vorwort zur zweiten Auflage
Inhaltsübersicht
I. Abschnitt - Allgemeine Hilfsmittel
Erstes Kapitel: Reelle Funktionen
§ 1. Grundbegriffe
§ 2. Integralrechnung
§ 3. Mehrere Variable
§ 4. Bestimmte lntegrale
§ 5. Vertiefung des Integralbegriffs
Zweites Kapitel: Lineare Gebilde
§ 1. Auflösung linearer Gleichungen
§ 2. Das Hauptachsenproblem
§ 3. Vektoranalysis in drei Dimensionen
§ 4. Tensoranalysis in drei Dimensionen
§ 5. Lineare Transformationen
Drittes Kapitel: Komplexe Veränderliche
§ 1. Grundbegriffe
§ 2. Beispiele konformer Abbildungen
§ 3. Der Cauchysche Fundamentalsatz und seine Konsequenzen
§ 4. Algebraische Gleichungen
§ 5. Elliptische Funktionen und Integrale
Viertes Kapitel: Unendliche Reihen und Produkte
§ 1. Konvergenzkriterien
§ 2. Reelle und komplexe Potenzreihen
§ 3. Fouriersches Integraltheorern
§ 4. Fouriersche Reihen
§ 5. Singuläre Integrale. Fastperiodische Funktionen
§ 6. Approximation stetiger Funktionen
§ 7. Unendliche Produkte
Fünftes Kapitel: Variationsrechnung
§ 1. SteIIung des Problems. Erste Variation
§ 2. Die vollständigen Figuren des Variationsproblems
§ 3. Kanonische Koordinaten
§ 4. Einführung krummliniger Koordinaten. Kanonische Transformationen
§ 5. Variationsprobleme von Doppelintegralen
II. Abschnitt - Gewöhnliche Differentialgleichungen
Sechstes Kapitel: Anfangswertprobleme
§ 1. Allgemeine Untersuchungen
§ 2. Integrierbare Fälle
§ 3. Geometrische Diskussion
§ 4. Lineare Differentialgleichungen
§ 5. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Siebentes Kapitel: Randwertaufgaben zweiter Ordnung
§ 1. Problemstellung
§ 2. Das homogene Problem
§ 3. Eigenwerte und Oszillationstheoreme
§ 4. Eigenfunktionen und Entwicklungssatz
Achtes Kapitel: Die aus den Randwertaufgaben zweiter Ordnung entspringenden besonderen Funktionen
§ 1. Allgemeine Eigenschaften
§ 2. Kugelfunktionen
§ 3. Besselsche Funktionen
§ 4. Spezielle Polynome
Neuntes Kapitel: Die aus den Randwertproblemen entspringenden Reihenentwicklungen
§ 1. Entwicklung nach den Eigenfunktionen Sturm-Liouvillescher Differentialgleichungen
§ 2. Entwicklung nach Kugelfunktionen einer Veränderlichen
§ 3. EntwickIung nach Besselschen Funktionen
Zehntes Kapitel: Besondere Randwertprobleme
§ 1. Gleichungen vierter Ordnung
§ 2 Simultane Differentialgleichungen
§ 3. Integrationsprobleme anderer Art
III. Abschnitt - Integralgleichungen und Potential
Elftes Kapitel: Übersicht der Probleme und Resultate
§ 1. Drei Arten von Aufgaben
§ 2. Unmittelbar lösbare Fälle
§ 3. Die Idee der unendlich vielen VeränderIichen
Zwölftes Kapitel: Auflösung der Integralgleichungen
§ 1. Fredholm-Hilbertsche Auflösungsformel
§ 2. Neumannsche Reihe, Goursat-Schmidtsche Auflösung
§ 3. Symmetrische Kerne, Eigenfunktionen
§ 4. Singuläre Integralgleichungen
Dreizehntes Kapitel: Anwendung der Integralgleichungen auf Randwertprobleme
§ 1. Ein Beispiel zu den Fredholmschen Formeln
§ 2. Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
§ 3. Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen
Vierzehntes Kapitel: Potential
§ 1. Definitionen und Grundeigenschaften
§ 2. Potentiale von Linien, Flächen und Körpern
§ 3. Die Randwertprobleme der Potentialtheorie
IV. Abschnitt - Partielle Differentialgleichungen
Fünfzehntes Kapitel: Anfangswertprobleme
§ 1. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 2. Systeme linearer partieller Differentialgleichungen
§ 3. Allgemeine partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
§ 4. Liesche Theorie des Elementenvereins
§ 5. Das vollständige Integral
§ 6. Die Jacobi-Hamiltonschen DifferentiaIgleichungen
§ 7. Systeme partieller Differentialgleichungen
§ 8. Berührungstransformationen
§ 9. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Sechzehntes Kapitel: Die Potentialgleichung in der Ebene
§ 1. Lösung der ersten Randwertaufgabe für den Kreis
§ 2. Das Dirichletsche lntegral und die GrundprobIeme der Potentialtheorie
§ 3. Beispiele
§ 4. Fundamentalsatz der konformen Abbildung
Siebzehntes Kapitel: Die Potentialgleichung im Raume
§ 1. Allgemeine Sätze
§ 2. Kugelfunktionen und verwandte Funktionen
§ 3. Beispiele
§ 4. Bemerkungen zur ersten Randwertauf gabe
Achtzehntes Kapitel: Randwertprobleme der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung
§ 1. Einteilung in Typen und allgemeine Hilfssätze
§ 2. Das erste Randwertproblem bei elliptischen Differentialgleichungen. Eindeutigkeitssätze und Abschätzungen
§ 3. Lösung des ersten Randwertproblems von del(u) = F(u,x,y) mit dF/du>=0
§ 4. Die Riemannsche Integrationsmethode für den hyperbolischen Fall
§ 5. Die Heavisidesche Integrationsmethode
Neunzehntes Kapitel: Einige besondere Probleme partieller Differentialgleichungen
§ 1. Die Gleichung del(u) + lambda*u = 0 und anschließende Probleme
§ 2. Die Gleichung del(u) = exp(u)
§ 3. Die Gleichung del(del(u)) = 0 und anschließende Probleme
§ 4. Anwendung der Greenschen Methode auf del(del(u))
§ 5. Weitere Anwendungen der Greenschen Yethode
§ 6. Parabolische GIeichungen
Zwanzigstes Kapitel: Variationsrechnung und Randwertprobleme
§ 1. Grundtatsachen der Variationsrechnung
§ 2. Anwendungen der Variationsrechnung
§ 3. Direkte Methoden der Variationsrechnung
Sachregister
