Commande optimale

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Préface......Page 7
1.1.1. Le problème isopérimétrique classique. Problème de Didon......Page 11
1.1.2. Autres anciens problèmes géométriques d'extrémum......Page 16
1.1.3. Principe variationnel de Fermat et principe de Huygens. Le problème de réfraction de la lumière......Page 20
1.1.4. Problème du brachistochrone. Les débuts du calcul des variations......Page 23
1.1.5. Problème aérodynamique de Newton......Page 26
1.1.7. Problème de temps minimum......Page 27
1.2.1. Définitions fondamentales......Page 28
1.2.2. Premiers exemples de formalisation des problèmes d'extrémum......Page 29
1.2.3. Formalisation du problème de Newton......Page 31
1.2.4. Diverses formalisations du problème isopérimétrique classique et du problème du brachistochrone. Le problème le plus simple de temps minimum......Page 33
1.2.5. Formalisation du problème de transport et du problème de rationnement......Page 36
1.2.6. Principales classes de problèmes d'extrémum......Page 37
1.3.1. Théorème de Fermat......Page 42
1.3.2. Méthode des multiplicateurs de Lagrange......Page 44
1.3.3. Théorème de Kuhn-Tucker......Page 49
1.3.4. Démonstration du théorème de séparation en dimension finie......Page 53
1.4.1. Équation d'Euler......Page 55
1.4.2. Conditions nécessaires dans le problème de Boltz. Conditions de transversalité......Page 60
1.4.3. Généralisation du problème élémentaire......Page 62
1.4.4. Variations en aiguille. Condition de Weierstrass......Page 70
1.4.5. Problème isopérimétrique et problème aux dérivées d'ordres supérieurs......Page 73
1.5.1. Position des problèmes......Page 77
1.5.2. Conditions nécessaires du problème de Lagrange......Page 78
1.5.3. Principe du maximum de Pontriaguine......Page 80
1.5.4. Démonstration du principe du maximum dans le problème à extrémité libre......Page 83
1.6.1. Problèmes géométriques d'extrémum......Page 90
1.6.2. Problème aérodynamique de Newton......Page 95
1.6.3. Le problème élémentaire de temps minimum......Page 98
1.6.4. Le problème isopérimétrique classique et le problème de Tchaplyguine......Page 102
1.6.5. Problème du brachistochrone et quelques problèmes géométriques......Page 107
2.1.1. Espaces vectoriels normés et espaces de Banach......Page 110
2.1.2. Produits d'espaces. Espaces quotients......Page 112
2.1.3. Théorème de Hahn-Banach et ses conséquences......Page 114
2.1.4. Théorèmes de séparabilité......Page 117
2.1.5. Théorème de Banach sur l'opérateur inverse et lemme sur l'application inverse à droite......Page 121
2.1.6. Lemme sur l'image fermée......Page 122
2.1.7. Lemme sur l'annulateur du noyau d'un opérateur régulier......Page 123
2.1.8. Fonctions absolument continues......Page 124
2.1.9. Théorème de Riesz sur la forme générale d'une fonctionnelle linéaire dans l'espace C. Formule de Dirichlet......Page 127
2.2.1. Dérivée suivant une direction donnée, première variation, dérivées de Gâteaux et de Fréchet, différentiabilité stricte......Page 129
2.2.2. Théorème de superposition des applications différentiables......Page 137
2.2.3. Théorème de la moyenne et ses corollaires......Page 140
2.2.4. Dérivation dans un produit d'espaces. Dérivées partielles. Théorème sur la différentielle totale......Page 143
2.2.5. Dérivées d'ordres supérieurs. Formule de Taylor......Page 146
2.3. Théorème des fonctions implicites......Page 153
2.3.2. Modification du principe des applications contractantes......Page 154
2.3.3. Démonstration du théorème......Page 156
2.3.4. Théorèmes classiques des fonctions implicites et des applications inverses......Page 158
2.3.5. Espace tangent et théorème de Lusternik......Page 163
2.4.1. Opérateur de Nemytski et opérateur de relation différentiable......Page 166
2.4.2. Fonctionnelle intégrale......Page 169
2.4.3. Opérateur des conditions aux limites......Page 173
2.5.1. Hypothèses principales......Page 175
2.5.2. Théorème local d'existence......Page 177
2.5.3. Théorème d'unicité......Page 180
2.5.4. Équations différentielles linéaires......Page 182
2.5.5. Théorème global sur l'existence et la dépendance continue de la solution des données initiales et des paramètres......Page 186
2.5.6. Théorème sur la dépendance différentiable des solutions en fonction des conditions initiales......Page 191
2.5.7. Théorème classique sur la dépendance différentiable des solutions en fonction des données initiales......Page 195
2.6.1. Principales définitions......Page 199
2.6.2. Ensembles et fonctions convexes dans les espaces vectoriels topologiques......Page 206
2.6.3. Transformation de Legendre-Young-Fenchel. Théorème de Fenchel-Moreau......Page 213
2.6.4. Subdifférentielle. Théorème de Moreau-Rockafellar. Théorème de Doubovitski-Milioutine......Page 218
3.1.1. Problèmes élémentaires sans contraintes......Page 226
3.1.2. Problème élémentaire de programmation linéaire......Page 231
3.1.3. Problème de Boltz......Page 232
3.1.4. Problème élémentaire de commande optimale......Page 235
3.1.5. Le principe de Lagrange pour les problèmes à égalités et à inégalités......Page 236
3.2.1. Énoncé du théorème......Page 239
3.2.2. La méthode des multiplicateurs pour les problèmes différentiables à égalités......Page 241
3.2.3. Réduction du problème......Page 243
3.2.4. Démonstration du théorème......Page 245
3.3.1. Théorème de Kuhn-Tucker (forme subdifférentielle)......Page 249
3.3.2. Méthode des perturbations et théorème de dualité......Page 251
3.3.3. Programmation linéaire : théorème d'existence et théorème de dualité......Page 256
3.3.4. Théorème de dualité pour le problème de la plus courte distance. Lemme de Hoffmann et lemme du minimax......Page 262
3.4.1. Problèmes différentiables à égalités......Page 274
3.4.2. Problèmes différentiables à égalités et inégalités - conditions nécessaires du deuxième ordre......Page 276
3.4.3. Conditions nécessaires d'extrémum pour les problèmes différentiables à égalités et inégalités......Page 280
3.5.1. Théorème fondamental de l'algèbre......Page 283
3.5.2. Critère de Sylvester......Page 284
3.5.3. Distance d'un point à un sous-espace. Théorème sur le supplémentaire orthogonal. Déterminants de Gram......Page 286
3.5.4. Axes principaux d'une forme quadratique. Théorème de Hilbert......Page 289
3.5.5. Formes quadratiques de Legendre......Page 294
4.1.1. Position du problème et énoncé du théorème......Page 297
4.1.2. Réduction du problème de Lagrange au problème différentiable......Page 302
4.1.3. Lemme de Dubois-Raymond généralisé......Page 305
4.1.4. Déduction des conditions de stationnarité......Page 306
4.1.5. Problème aux dérivées supérieures. Équation d'Euler-Poisson......Page 309
4.2.1. Énoncé du problème de commande optimale......Page 313
4.2.2. Énoncé du principe du maximum. Principe de Lagrange dans le problème de commande optimale......Page 318
4.2.3. Variations en aiguille......Page 321
4.2.4. Réduction à un problème de dimension finie......Page 324
4.2.5. Démonstration du principe de maximum......Page 326
4.2.6. Démonstration du lemme sur le paquet d'aiguilles......Page 332
4.2.7. Démonstration du lemme sur les fonctionnelles intégrales......Page 342
4.3*. Problèmes de commande optimale linéaires relativement aux variables de phase......Page 344
4.3.1. Réduction du problème de commande optimale linéaire pour les variables de phase à un problème du type de Liapounov......Page 345
4.3.2. Théorème de Liapounov......Page 347
4.3.3. Principe de Lagrange pour les problèmes de Liapounov......Page 350
4.3.4. Théorème de dualité......Page 358
4.3.5. Principe du maximum pour les problèmes de commande optimale linéaires relativement aux variables de phase......Page 362
4.4.1. Équation d'Euler. Condition de Weierstrass......Page 366
4.4.2. Conditions de deuxième ordre pour l'extrémum faible. Conditions de Legendre et Jacobi......Page 369
4.4.3. Formalisme hamiltonien. Théorème sur l'invariant intégral......Page 373
4.4.4. Conditions suffisantes d'extrémum absolu dans le problème le plus simple......Page 382
4.4.5. Points conjugués. Conditions suffisantes d'extrémum fort et faible......Page 387
4.4.6. Théorème de Noether......Page 397
4.4.7. Principe variationnel et lois de conservation en mécanique......Page 402
Problèmes......Page 406
Indications, solutions et réponses......Page 415
Commentaires et indications bibliographiques......Page 429
Bibliographie......Page 432
Liste des principales notations......Page 437
Index terminologique......Page 441