Геометрия

Титульный лист......Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
От издательства......Page 8
Из предисловия авторов......Page 9
ГЛАВА 1. ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ......Page 12
§ 1. Два типа задач......Page 13
§ 2. Логически последовательное изложение геометрии......Page 19
Евклид......Page 22
ГЛАВА 2. МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ......Page 26
§ 1. Множества......Page 27
§ 2. Порядок на числовой прямой......Page 32
§ 3. Абсолютная величина......Page 37
§ 4. Масштабные линейки и единицы длины......Page 39
Аксиома 1 (аксиома расстояния)......Page 42
§ 5. Бесконечная линейка......Page 43
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки)......Page 45
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки)......Page 48
Аксиома 4 (аксиома прямой)......Page 51
§ 7. Замена единицы длины......Page 56
ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ......Page 62
§ 1. Введение......Page 63
§ 2. Прямые и плоскости; чертежи......Page 64
Аксиома 5......Page 65
Аксиома 6......Page 67
Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей)......Page 68
§ 4. Выпуклые множества......Page 71
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости)......Page 72
Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства)......Page 74
§ 5. Семь кёнигсбергских мостов......Page 76
Леонард Эйлер......Page 78
ГЛАВА 4. УГЛЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ......Page 82
§ 1. Основные понятия......Page 83
§ 2. Несколько замечаний об углах......Page 88
§ 3. Угловая мера......Page 89
Аксиома 11 (аксиома измерения углов)......Page 90
Аксиома 13 (аксиома сложения углов)......Page 91
Аксиома 14 (аксиома пополнения)......Page 92
§ 4. Прямые углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы......Page 96
Джордж Дэвид Биркгоф......Page 103
§ 5. Запись теоремы в форме «предположение - заключение»......Page 105
§ 6. Запись простых доказательств......Page 106
ГЛАВА 5. КОНГРУЭНТНОСТЬ......Page 116
§ 1. Идея конгруэнтности......Page 117
§ 2. Конгруэнтность треугольников......Page 124
§ 3. Аксиомы конгруэнтности треугольников......Page 131
Аксиома 17 (ССС-аксиома)......Page 132
§ 4. Доказательство постарайтесь придумать сами!......Page 134
§ 5. Биссектрисы углов......Page 146
§ 6. Равнобедренные и равносторонние треугольники......Page 148
§ 7. Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для передачи информации......Page 153
§ 8. Четырехугольники, квадраты и прямоугольники......Page 159
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА......Page 170
§ 2. Доказательства от противного......Page 171
§ 3. Теоремы о прямых и плоскостях......Page 174
§ 4. Перпендикуляры......Page 179
§ 5. Введение в доказательствах вспомогательных точек и прямых. Употребление слова «пусть»......Page 187
§ 6. Как обойтись без УСУ-аксиомы......Page 193
§ 7. Как обойтись без ССС-аксиомы......Page 194
§ 8. Отношение «между» и разбиение......Page 196
ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА......Page 202
§ 1. Разумные гипотезы......Page 203
§ 2. Неравенства между числами, отрезками и углами......Page 205
§ 3. Теорема о внешнем угле......Page 207
§ 4. Теоремы о конгруэнтности, основанные на теореме о внешнем угле......Page 212
§ 5. Неравенства, связывающие элементы треугольника......Page 216
§ 6. Взаимно обратные теоремы......Page 219
§ 7. Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника......Page 221
§ 8. Теорема о шарнире и обратная теорема......Page 224
§ 9. Высоты треугольников......Page 227
ГПАВА 8. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ......Page 234
§ 1. Определение перпендикулярности прямых и плоскостей......Page 235
§ 2. Лемма......Page 237
§ 3. Основная теорема о перпендикулярах......Page 238
§ 4. Существование и единственность......Page 241
§ 5. Перпендикулярные прямые и плоскости (сводка результатов)......Page 245
ГЛАВА 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ......Page 252
§ 1. Условия, гарантирующие параллельность......Page 253
§ 2. Соответственные углы......Page 260
Аксиома 18 (аксиома параллельности)......Page 262
§ 4. Треугольники......Page 266
§ 5. Плоские четырехугольники......Page 269
§ 6. Ромб, прямоугольник и квадрат......Page 275
§ 7. Несколько теорем о прямоугольных треугольниках......Page 278
§ 8. Секущие ко многим параллельным прямым......Page 281
§ 9. Как Эратосфен измерил Землю......Page 285
Эратосфен......Page 287
ГЛАВА 10. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ......Page 294
§ 1. Основные факты о параллельных прямых и плоскостях......Page 295
§ 2. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости^......Page 301
§ 3. Проекции......Page 308
Николай Иванович Лобачевский......Page 316
ГЛАВА 11. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИХ ПЛОЩАДИ......Page 318
§ 1. Многоугольные области......Page 319
Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности)......Page 321
Аксиома 22 (аксиома единицы площади)......Page 322
§ 2. Площади треугольников и четырехугольников......Page 326
§ 3. Теорема Пифагора......Page 334
Пифагор......Page 335
§ 4. Треугольники специального вида......Page 339
ГЛАВА 12. ПОДОБИЕ......Page 348
§ 1. Идея подобия. Пропорциональность......Page 349
§ 2. Подобие треугольников......Page 354
§ 3. Основная теорема о пропорциональности и обратная теорема......Page 357
§ 4. Основные теоремы о подобии......Page 362
§ 5. Подобие прямоугольных треугольников......Page 373
§ 6. Площади подобных треугольников......Page 376
§ 7. Тригонометрические отношения......Page 379
§ 8. Тригонометрические расчеты. Применение таблиц......Page 383
§ 9. Формулы, связывающие тригонометрические отношения......Page 387
ГЛАВА 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ......Page 394
§ 2. Система координат на плоскости......Page 395
Рене Декарт......Page 400
§ 3. Как изобразить систему координат на бумаге в клетку......Page 401
§ 4. Подъем (невертикальной) прямой......Page 406
§ 5. Параллельные и перпендикулярные прямые......Page 412
§ 6. Формула расстояний......Page 415
§ 7. Формула середины. Деление отрезка в данном отношении......Page 419
§ 8. Применение метода координат для доказательства теорем......Page 424
§ 9. Условие и его график......Page 428
§ 10. Уравнение прямой......Page 431
ГЛАВА 14. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ......Page 440
§ 1. Основные определения......Page 441
§ 2. Касательные к окружности......Page 445
§ 3. Касательные плоскости к сфере......Page 453
§ 4. Дуги окружностей......Page 458
§ 5. Вписанные углы и высекаемые дуги......Page 462
§ 6. Конгруэнтные дуги......Page 468
§ 7. Секущие и касательные отрезки. Степень точки относительно окружности......Page 473
§ 8. Окружность на координатной плоскости......Page 481
ГЛАВА 15. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПОСТРОЕНИЯ......Page 492
§ 1. Необходимые и достаточные, условия......Page 493
§ 2. Роль необходимых и достаточных условий в аналитической геометрии......Page 497
§ 3. Теоремы о конкуррентности......Page 499
§ 4. Биссектрисы углов треугольника......Page 503
§ 5. Теорема о конкуррентности медиан......Page 505
§ 6. Построения с помощью циркуля и линейки......Page 508
§ 7. Простейшие построения......Page 510
§ 8. Простейшие построения (продолжение)......Page 513
§ 9. Вписанные и описанные окружности......Page 518
§ 10. Неразрешимость некоторых классических задач на построение......Page 520
ГЛАВА 16. ПЛОЩАДЬ КРУГА И СЕКТОРА......Page 528
§ 1. Многоугольники......Page 529
§ 2. Правильные многоугольники......Page 534
§ 3. Длина окружности. Число п......Page 536
§ 4. Площадь круга......Page 540
§ 5. Длина дуги и площадь сектора......Page 543
ГЛАВА 17. ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ......Page 550
§ 1. Призмы......Page 551
§ 2. Пирамиды......Page 558
§ 3. Объемы призм и пирамид. Принцип Кавальери......Page 563
Аксиома 23 (аксиома единицы объема)......Page 564
Аксиома 24 (принцип Кавальери)......Page 565
Архимед......Page 571
§ 4. Цилиндры и конусы......Page 572
§ 5. Объем шара и площадь его поверхности......Page 578
Дополнения......Page 585
Список аксиом......Page 593
И.М.Яглом. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга Моиза-Даунса......Page 595
Литература......Page 609
Указатель символов......Page 614
Предметный указатель......Page 616
Именной указатель......Page 622
Обложка......Page 625