Dieses handliche Lehrbuch stellt akzentuiert diejenigen Inhalte aus Analysis und Linearer Algebra sowie grundlegende mathematische Fähigkeiten und Fertigkeiten dar, die für ein Studium der Mathematik bereits in den ersten beiden Semestern unverzichtbar und für andere Mathematik-nahe Studiengänge in Umfang und Tiefe dennoch vertretbar und realistisch zu bewältigen sind.
Dafür werden einige Themen, die in herkömmlichen, separaten Lehrveranstaltungszyklen zu Analysis und Linearer Algebra weitgehend kanonisch sind, hier bewusst ausgelassen – diese können je nach Bedarf anderweitig vertieft werden.
Insbesondere Studierende der Informatik, der Physik oder auch des Lehramts lernen Mathematik hier nicht als Ansammlung anwendungsbereiter Ergebnisse, sondern als wohlkonstruiertes Gebäude aus Abstraktion, axiomatischen Strukturen, Sätzen und Beweisen kennen.
Passende Übungsaufgaben werden jeweils am Ende der jeweiligen Kapitel angeboten; wenige optionale ergänzende Abschnitte sind als solche gekennzeichnet.
Author(s): Lutz Angermann, Bernd Mulansky
Edition: 2
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Commentary: Publisher PDF
Pages: 281
City: Berlin
Tags: Analysis; Lineare Algebra; Mathematische Grundlagen; Mathematische Folgen und Reihen; Mathematische Funktionen; Differentialrechnung; Integralrechnung; Vektorräume; Lineare Abbildungen; Matrizen; Lineare Gleichungssysteme; Mathematik-Grundausbildung; Analysis; Linear Algebra; Sequences; Series; Mathematical Functions; Differential Calculus; Integral Calculus; Vector Spaces; Matrices
Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur ersten Auflage
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Aussagen und Aussagenlogik
1.2 Mengen
1.3 Relationen
1.4 Abbildungen
1.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion
1.6 Unendliche Produkte*
1.7 Aufgaben
2 Elemente der Algebra
2.1 Algebraische Operationen
2.2 Homomorphismen
2.3 Gruppen, Ringe, Körper
2.4 Geordnete Körper
2.5 Vollständige geordnete Körper – die reellen Zahlen
2.6 Der Körper der komplexen Zahlen
2.7 Existenz und Eindeutigkeit von mathbbR *
2.8 Aufgaben
3 Folgen
3.1 Grundbegriffe – Beschränktheit und Konvergenz
3.2 Monotonie
3.3 Teilfolgen
3.4 Cauchy-Folgen
3.5 Aufgaben
4 Reihen
4.1 Grundlagen
4.2 Konvergenzkriterien
4.3 Reihen komplexer Zahlen
4.4 Aufgaben
5 Funktionen
5.1 Grenzwerte
5.2 Stetigkeit
5.3 Eigenschaften stetiger reeller Funktionen
5.4 Die Exponentialfunktion und verwandte Funktionen
5.5 Asymptotischer Vergleich von Funktionen*
5.6 Aufgaben
6 Differentialrechnung
6.1 Differenzierbarkeit und Ableitung
6.2 Ableitungsregeln
6.3 Der Mittelwertsatz für differenzierbare reelle Funktionen
6.4 Regeln von Bernoulli–de L'Hospital*
6.5 Aufgaben
7 Vektorräume
7.1 Einige Beispiele
7.2 K-Vektorräume
7.3 Rechenregeln in Vektorräumen
7.4 Untervektorräume
7.5 Lineare Hüllen und Erzeugendensysteme
7.6 Summen von Untervektorräumen
7.7 Aufgaben
8 Basis und Dimension
8.1 Lineare Unabhängigkeit
8.2 Basis eines K-Vektorraumes
8.3 Charakterisierung einer Basis und Dimension eines Vektorraumes
8.4 Dimension eines Untervektorraumes und Dimensionssatz
8.5 Lineare Abbildungen
8.6 Isomorphismen von K-Vektorräumen
8.7 Dimensionsformel
8.8 Quotientenvektorräume*
8.9 Aufgaben
9 Lineare Abbildungen und Matrizen
9.1 Matrizen
9.2 Matrizen und lineare Abbildungen
9.3 Rang und Inverse
9.4 Aufgaben
10 Lineare Gleichungssysteme
10.1 Lösungstheorie
10.2 Das Gauß-Verfahren
10.2.1 Elementare Operationen und Matrizen
10.2.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren
10.3 Aufgaben
11 Integration
11.1 Integral von Treppenfunktionen
11.2 Integration von Regelfunktionen
11.3 Der Mittelwertsatz der reellen Integralrechnung (MWSI)
11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
11.5 Integrationstechniken
11.5.1 Integration durch Substitution
11.5.2 Partielle Integration
11.5.3 Integration rationaler Funktionen
11.6 Aufgaben
12 Differentialrechnung multivariater Funktionen
12.1 Multivariate Funktionen
12.2 Differenzierbarkeit
12.3 Richtungsableitungen und partielle Differenzierbarkeit
12.4 Rechenregeln
12.5 Extremstellen
12.6 Bivariate reelle Differentiation und univariate komplexe Differentiation*
12.7 Aufgaben
Literatur
Stichwortverzeichnis
