Книга представляет собой учебное пособие по топологии и дифференциальной геометрии для студентов математических специальностей университетов.
Author(s): Гликлих Ю.Е.
Edition: 5
Publisher: Изд-во ВГУ
Year: 2010
Language: Russian
Pages: 99
ВВЕДЕНИЕ 5
1 Топологические пространства 6
1.1 Предварительные соображения . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Определение топологического пространства . . . . . . 8
1.3 Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Непрерывные отображения и задачи топологии . . . . 13
1.5 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Многообразия 26
2.1 Определение поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Многообразия. Внутренняя и внешняя геометрия . . 28
2.3 Примеры многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Дифференцируемые функции на многообразии . . . . 35
3 НАЧАЛА ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 37
3.1 Три классических способа задания поверхности . . . 37
3.1.1 Неявное задание . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Явное задание (в виде графика) . . . . . . . . 38
3.1.3 Параметрическое задание . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Гладкие и регулярные поверхности . . . . . . . . . . . 40
3.3 Понятия касания и соприкосновения. Касательная пло-
скость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Два специальных типа поверхностей . . . . . . . . . . 46
3.4.1 Линейчатые поверхности . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . 47
4 МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 49
4.1 Длина кривой. Натуральный параметр . . . . . . . . 49
4.2 Первая фундаментальная форма поверхности . . . . 51
4.3 Длина кривой и угол между кривыми на поверхности 54
4.4 Площадь участка поверхности . . . . . . . . . . . . . 55
5 КРИВИЗНЫ 57
5.1 Кривизна кривой. Репер Френе . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Формулы Френе. Кручение кривой . . . . . . . . . . . 58
5.3 Ориентируемые поверхности . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Нормальная и геодезическая кривизны на поверхности 64
5.5 Вторая квадратичная форма . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6 Индикатриса Дюпена. Главные кривизны . . . . . . . 68
5.7 Соприкасающийся параболоид . . . . . . . . . . . . . 70
5.8 Вычисление кривизн поверхности . . . . . . . . . . . 72
5.9 Деривационные формулы Гаусса . . . . . . . . . . . . 73
6 ГЕОМЕТРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ 77
6.1 Ковариантная производная и ее свойства . . . . . . . 77
6.2 Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4 Пример: Геометрия двумерной сферы . . . . . . . . . 86
6.5 Вариационные свойства геодезических . . . . . . . . . 89
6.6 Возможные обобщения на многообразия . . . . . . . . 93
6.7 Пример: Элементы планиметрии Лобачевского . . . . 95
ЛИТЕРАТУРА 99
