Cinq minutes de mathématiques

Couverture......Page 1
Page de titre......Page 2
Préface......Page 4
Préface à la deuxième édition......Page 5
La rubrique « Cinq minutes de mathématiques » du journal « Die Welt »......Page 6
Introduction......Page 8
1. On ne peut tromper le hasard......Page 11
Et pourquoi justement 13983816 ?......Page 12
Un tas de cartes long de 4,37 kilomètres......Page 13
2. Mathématiques enchanteresses : les nombres......Page 15
Les variantes avancées : 10001, 100001......Page 16
3. Quel est l'âge du capitaine ?......Page 18
Le facteur vent et autres cas similaires......Page 19
4. Des nombres premiers de taille vertigineuse......Page 21
La machine des nombres premiers......Page 22
5. Perte plus perte égale bénéfice : le jeu de hasard paradoxal du physicien Juan Parrondo......Page 24
Paradoxe !......Page 25
6. Les grands nombres défient la raison......Page 27
Croissance exponentielle I : le cataclysme rizier......Page 28
Croissance exponentielle II : combien de fois peut-on plier une feuille ?......Page 29
7. La clé de décryptage se trouve dans le bottin......Page 32
Les clés aléatoires sont sûres......Page 33
Cryptographie : une science secrète......Page 34
8. Du barbier de village qui se rase lui-même......Page 36
La théorie des ensembles en école maternelle......Page 37
Sherlock Holmes est confus......Page 38
9. S'arrêter au meilleur moment......Page 40
« ... je gagne presque toujours »......Page 41
10. Les singes peuvent-ils écrire de la grande littérature?......Page 43
De combien de temps aura besoin le singe ?......Page 44
11. Le paradoxe de l'anniversaire......Page 46
Comment calcule-t-on ces probabilités......Page 47
Jeter un dé six fois et obtenir six résultats différents......Page 50
12. L'horreur du vide......Page 51
L'ensemble vide se comporte comme le zéro......Page 52
13. Entre suffisance et nécessité : les tourments de la logique mathématique......Page 54
Trapèze ou pas trapèze......Page 55
Est-ce que les chiens raisonnent logiquement ?......Page 56
14. Faut-il changer d'avis ? Le problème des chèvres et de la Ferrari......Page 57
Probabilités......Page 58
Probabilité conditionnelle......Page 59
Le théorème de Bayes......Page 61
La même stratégie dans le problème des chèvres et de la Ferrari: variante standard......Page 63
Le problème des chèvres et de la Ferrari : la vérité vraie......Page 65
15. Dans l'hôtel d'Hilbert il y a toujours une chambre de libre......Page 67
... mais la nuit ne sera pas tranquille......Page 68
16. Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! La fascination du nombre pi......Page 70
Pi dans la Bible......Page 71
Pi : quelques approximations......Page 72
17. Comment le hasard devient quantité calculable......Page 73
La disparition du hasard : quelques calculs......Page 74
18. Récompense d'un million de dollars : quelle est la distribution des nombres premiers ?......Page 77
Le théorème des nombres premiers......Page 78
19. Le gateau a cinq dimensions......Page 80
Une avancée dans la quatrième dimension......Page 81
20. École de commerce de filles......Page 84
On aime bien économiser (ne serait-ce que de parenthèses)......Page 85
Gorge rouge et rouge-gorge......Page 86
21. Fly me to the moon......Page 88
Mathématiques « en stock »......Page 89
22. Aménagement des restes......Page 91
Six fois six font un......Page 92
23. Strictement confidentiel !......Page 94
Notions fondamen tales......Page 95
Faits......Page 96
Le procédé RSA......Page 97
24. Mathématiques enchanteresses : ordre dans le chaos......Page 100
Une variante du tour......Page 102
25. Comment aborder un génie?......Page 104
L'heptadécagone......Page 106
Comment effrayer un maître d'école......Page 107
26. Demi-tons et racines douzièmes......Page 109
Pythagoréen versus tempéré......Page 110
27. On est toujours dans la mauvaise file......Page 113
Files d'attente......Page 114
28. Le zéro, un nombre sous-estimé à tort......Page 116
Comment trouver la grande inconnue ?......Page 117
29. Combinez !......Page 119
Les quatre problèmes fondamentaux de la combinatoire......Page 120
30. Auto-apprentissage d'un génie : le mathématicien indien Ramanujan......Page 125
Ramanujan, aurait-il des meilleures chances aujourd'hui ?......Page 126
31. Je déteste les mathématiques car......Page 128
Les réfractaires aux mathématiques sur le déclin ?......Page 129
32. Le voyageur de commerce : un Ulysse des temps modernes......Page 132
Le problème P = NP......Page 133
Un exemple......Page 134
33. La quadrature du cercle......Page 135
Constructions à la règle et au compas......Page 136
Constructions à la règle et au compas uniquement......Page 139
La cubature de la sphère......Page 140
34. Le pas vers l'infini......Page 142
Mais comment trouver les formules ?......Page 143
Une autre preuve par récurrence......Page 145
35. Des mathématiques dans votre lecteur de disque compact......Page 146
Le théorème d' échantillonnage......Page 147
36. Logarithmes, une espèce en voie de disparition......Page 149
Un calcul typique......Page 150
37. Mathématiques louables......Page 152
S'enrichir par les mathématiques. Un non-spécialiste a-t-il la moindre chance ?......Page 153
38. Mais pourquoi diantre faut-il des axiomes ?......Page 155
Le programme d'Hilbert......Page 156
Les axiomes sont les « lois » des mathématiques......Page 157
39. Une preuve par ordinateur ?......Page 158
Les ordinateurs peuvent-ils être créatifs?......Page 159
40. Loto : les petits gains......Page 161
Les petits gains : calculs......Page 162
Le numéro supplémentaire......Page 163
41. Penser en concentré : l'intérêt des formules......Page 164
L'algèbre s'émancipe de la géométrie......Page 165
42. Croissance sans fin......Page 167
La fonction exponentielle......Page 168
43. Comment calculent les quanta ?......Page 171
Que sont les qubits ?......Page 172
44. Des extrêmes !......Page 175
Un problème d'extremum typique......Page 176
45. Infiniment petit ?......Page 178
L'epsilontique......Page 179
L'analyse non standard......Page 180
46. Considérations mathématiques au poste de commandement des sapeurs-pompiers......Page 181
Bagarre au théâtre !......Page 182
47. La première preuve mathématique a déjà 2500 ans......Page 184
Demi-cercles et angles droits......Page 186
48. La transcendance mathématique n'a rien de mystique......Page 188
Nombres naturels......Page 189
Nombres irrationnels......Page 190
Nombres transcendants......Page 191
49. Peut-on écrire tout nombre pair comme somme de deux premiers ?......Page 193
Les confirmations « expérimentales »......Page 194
Une « preuve » de la conjecture de Goldbach......Page 195
50. De l'incapacité d'inverser correctement les probabilités conditionnelles......Page 197
Le test de rougeole......Page 198
Une visualisation géométrique......Page 199
51. Milliardaire ou billonaire......Page 201
Deux zéros de plus ou de moins, quelle différence ?......Page 202
52. Mathématiques et jeu d'échecs......Page 204
Comment devrais-je apprendre les mathématiques ?......Page 205
53. « La nature est un livre écrit dans le langage des mathématiques »......Page 207
Le mathématicien en tant que traducteur......Page 208
Pas besoin de trigonométrie sphérique quand il s'agit du jardin familial......Page 209
54. Un prêtre du dix-septième siècle ouvre la chasse aux grands nombres premiers......Page 210
Les records de nombres premiers......Page 211
Tests de primalité......Page 212
55. La plus belle formule de tous les temps a été découverte au dix-huitième siècle à Berlin......Page 214
La preuve de la plus belle formule entre toutes......Page 215
56. Le premier nombre vraiment compliqué......Page 217
Pourquoi V2 n'est-il pas représentable sous forme de fraction p/q ?......Page 218
57. P = NP : la chance n'est peut-être pas indispensable en mathématiques......Page 221
Qu'est-ce que les classes de problèmes P et NP ?......Page 222
58. Meilleurs voeux pour votre anniversaire......Page 224
Comment convertir les nombres ?......Page 225
59. L'aiguille de Buffon......Page 227
La formule de la probabilité de toucher la ligne......Page 228
60. Du chaud au froid : le refroidissement contrôlé résout des problèmes d'optimisation......Page 231
Le voyageur de commerce......Page 232
61. Qui n'a pas payé ?......Page 235
De pigeons et de tiroirs......Page 236
62. De quoi est vraiment capable la statistique ?......Page 238
Faut-il changer de fournisseur ?......Page 239
63. De chevaux et de marchés financiers : l'arbitrage......Page 241
L'arbitrage en tant que « loi de la nature »......Page 242
64. Éviter le risque : les options......Page 244
Put ou call ?......Page 245
65. Les mathématiques, sont-elles adaptées à notre monde ?......Page 247
Le dédoublement de l'orange......Page 248
66. Des mathématiques à écouter......Page 250
Une « black box »......Page 251
La formule de Fourier en tant que « recette de cuisine » des ondes périodiques......Page 252
67. Le hasard compositeur......Page 255
Du Mozart composé par ordinateur ?......Page 256
759499667 166482 possibilités ?......Page 257
68. Est-ce qu'un dé peut avoir mauvaise conscience ?......Page 258
Notre perception déficiente du hasard......Page 259
69. La glace à la fraise peut être mortelle !......Page 261
Riche ou pauvre ?......Page 262
70. La prospérité pour tous......Page 264
Un étrange déplacement de dettes......Page 265
71. S'il vous plaît, pas de risques !......Page 267
Une couverture de risques pour 1 000 actions......Page 268
72. Le prix Nobel de mathématiques......Page 270
Abel et l'équation de cinquième degré......Page 271
73. Le hasard calculateur : la méthode de Monte-Carlo......Page 274
Mesure de l'aire d'une parabole à l'aide de Monte-Carlo......Page 275
74. La logique « floue »......Page 278
Commande floue......Page 279
75. Des messages secrets dans la Bible......Page 281
Lcs pythagoriciens, premicrs numérologues......Page 283
La « loi des petits nombres »......Page 284
76. Comment mesurer la complexité des noeuds?......Page 285
Les invariants de noeud......Page 287
77. Quel est le bagage en mathématiques dont nous avons besoin ?......Page 289
Trouvailles......Page 291
78. Grand, plus grand, le plus grand......Page 292
Il existe autant de fractions que des nombres naturels......Page 293
79. C'est probablement vrai......Page 295
Casser les codes secrets avec une probabilité élevée......Page 296
80. Est-ce que le monde est « courbe » ?......Page 298
Un triangle avcc une somme d'angles de 270 degrés......Page 299
81. Existe-t-il des normes officielles pour les mathématiques ?......Page 301
Pourquoi 1 n'est-il pas nombre premier ?......Page 302
82. Le papillon surmené......Page 305
Linéarité versus non-linéarité......Page 306
83. Fortune garantie !......Page 308
Le bâton sur l'autoroute......Page 309
84. Ne faites pas confiance aux plus de 30 ans......Page 311
85. L'égalité en mathématiques......Page 313
86. Invariants magiques......Page 315
L'arrière-plan : la distance modulo le nombre de cartes est un invariant......Page 316
Dessinons sur une surface de dessin extensible......Page 317
87. Les mathématiques au cinéma......Page 318
88. Un huit couché : l'infini......Page 320
Comment calcule-t-on avec 1'« 00 » ?......Page 321
89. Plus de marge dans les livres !......Page 323
La « descente infinie »......Page 324
90. Les mathématiques rendent les organes visibles......Page 326
Problèmes inverses......Page 327
91. Un cerveau dans l'ordinateur......Page 329
Le perceptron......Page 330
92. Cogito, ergo sum......Page 333
« Traduction » du théorème de Pythagore......Page 334
93. Le monde serait-il troué ?......Page 337
94. Les nombres complexes ne sont pas aussi compliqués que leur nom le suggère......Page 340
Désarrois......Page 341
Nombres complexes: l'essentiel......Page 342
95. L'artiste Maurits Cornelis Escher et l'infini......Page 344
Des motifs escheriens à faire soi-même......Page 345
96. On trouve plus souvent des nombres qui commencent par « 1 » que par « 2 »......Page 348
Une expérience sur Google......Page 349
97. La mairie de Leipzig et le tournesol......Page 351
Fractions continues......Page 352
Un casse-tête......Page 354
L'icosaèdre de Pacioli......Page 355
La solution du casse-tête......Page 356
98. Information codée de manière optimale......Page 357
Codes correcteurs d'erreurs......Page 358
99. Quatre couleurs suffisent toujours......Page 361
Cartes géographiques et graphes......Page 362
Comment organiser la traversée......Page 364
100. Devenir milliardaire grâce aux mathématiques......Page 366
Index......Page 370