Geometrie

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Tabelle, Liste
D. Differentialgeometrie.
1. 2. Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Kurven und Flächen. Von H. v. MANGOLDT in Aachen (jetzt in Danzig). (Abgeschlossen im Mai 1902.)
Einleitung.
1. Vorbemerkungen
2. Zusammengehörige Annahmen und Bezeichnungen
3. Gewöhnliche und singuläre Punkte
I. Die einzelne Linie oder Fläche. Grundbegriffe.
4. Tangente, Normale, Tangentenebene usw
5. Formeln für Tangenten, Normalen und Tangentenebenen
6. Aufgaben und Konstruktionen
7. Fußpunktlinien und -flächen
8. Asymptoten
9. Berührung nter Ordnung
10. Ermittelung der Bogenlänge einer Linie (Rektifikation)
11. Algebraisch rektifizierbare Linien
12. Minimalkurven
13. Lösung der Gleichung dx2 + dy2 Â? ds2 und ähnlicher Gleichungen ohne Anwendung von Integralzeichen
14. Krümmung ebener Linien
15. Natürliche Gleichung einer ebenen Linie
16. Evoluten und Evolventen
17. Konstruktionen von Krümmungsmittelpunkten
18. Deviation
19. Gestalt einer Linie oder Fläche in der Nähe eines singulären Punktes
20. Traktorien
II. Scharen von Linien und Flächen.
21. Einhüllende von Linien- und Flächenscharen
22. Brennlinien
23. Trajektorien. Orthogonale Linien- und Flächenscharen
24. Isotherme Linien- und Flächenscharen
III. Inhaltsberechnungen.
26. Inhaltsberechnung ebener Flächenstücke (Quadratur)
26. Inhaltsberechnung gekrümmter Flächenstücke (Komplanation)
27. Inhaltsberechnung in der nichteuklidischen Geometrie
28. Rauminhaltsberechnung (Kubatur)
IV. Die Linien im Baume.
29. Schmiegungsebene, Krümmungskreis, Haupt- und Binormale einer gewundenen Linie . .
30. Windung, Schmiegungskugel und Schmiegungsschraubenlinie einer gewundenen Linie
31. Formeln und Lehrsätze aus der Lehre von den gewundenen Linien
32. Differentialinvarianten und natürliche Gleichungen einer Linie im Räume
33. Filar- und Plan-Evolventen und -Evoluten
V. Anfangsgründe der Flächentlieorie.
34. Fundamentalgrößen der Flächentheorie
35. Satze von Meusnier und Euler, Hauptkrümmungen
36. Krümmungsmaß einer Fläche
37. Konjugierte Tangenten und Indikatrix
38. Geometrische Bedeutung der Ableitungen dritter Ordnung der Koordinaten in der Flächentheorie
3. Die auf einer Fläche gezogenen Kurven. Von R. v. LILIENTHAL in Münster i. W. (Abgeschlossen im August 1902.)
I. Methoden von Euler und Monge. Krümmungslinien, Haupttangentenkurven, konjugierte Linien.
1. Methode von Euler
2. Methode von Menge
3. Konjugierte Tangenten und Linien
4. Allgemeine Parameter
II. Weitere Methoden.
5. Geradlinige Strahlensysteme
6. Krümmungstheorie der Raumkurven
7. Sphärische Abbildung
8. Binäre Differentialformen. Difterentialparameter
9. Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung
10. Kinematische Gesichtspunkte
III. Geodätische Krümmung.
11. Historisches
12. Definitionen und Ausdrücke für die geodätische Krümmung
13. Sätze über geodätische Krümmung
IV. Geodätische Linien.
14. Geodätische und kürzeste Linien
15. Eigenschaften geodätischer Linien
16. Reduzierte Länge eines geodätischen Kurvenbogens
17. Verschiebbarkeit geodätischer Dreiecke
18. Integration der Gleichung der geodätischen Linien
V. Isotherme Linien.
19. Geometrische und physikalische Entstehungsart
20. Eigenschaften isothermer Scharen
VI. Parameter!inien. Fundamentalgleichungen.
21. Parameter- und Koordinatenlinien
22. Methode von Gauß
23. Methode von Codazzi
24. Methode von Darboux
25. Willkürliche Koordinatenlinien
26. Methode von R. Lipschitz
27. Methode von A. Ribaucour
VII. Die allgemeine Flächenkurve.
28. Methode von Laguerre. Geodätische Torsion
29. Ableitungen nach Bogenlängen
30. Methode von A. Enneper
31. Weitere Begriffe
32. Polkurve einer Plächenkurve und Kurven der normalen Segmente
VIII. Krümmungsmaße.
33. Das Gaußsche Krümmungsmaß und ihm verwandte Krümmungsmaße
34. Das Casoratische Krümmungsmaß und ihm verwandte Krümmungsmaße
IX. Weitere Sätze über Krümmungslinien, Haupttangentenkurren, konjugierte Linien«
35. Krümmungslinien
36. Haupttangentenkurven
37. Konjugierte Linien
X. Weitere besondere Kuryen.
38. Geodätische Kreise
39. Kurven, deren Schmiegungskugeln die Fläche berühren
40. Äquidistante Kurvenscharen
41. Meridian- und Parallel kurven
42. Isotherm-konjugierte Systeme
4. Besondere transzendente Kurven. Von G. SCHEFFERS in Darmstadt (jetzt in Charlottenburg). (Abgeschlossen im Juni 1903.)
1. Einleitung
I. Rollkurven.
2. Allgemeines
3. Trochoiden, ihre Scheitel- und Wendepunkte
4. Verschiedene Arten der Erzeugung von Trochoiden
5. Einteilung der Trochoiden, Epi- und Hypocykloiden
6. Gemeine Cykloiden, Kreisevolventen und archimedische Spiralen
7. Rektifikation der Epi- und Hypocykloiden
8. Natürliche Gleichung der Cykloiden, cykloidale Kurven
9. Mit den Cykloiden zusammenhängende Kurven, insbesondere Rhodoneen
10. Rollkurven mit geradliniger Polbahn
11. Kurven von Delaunay und Sturm
12. Para- und Hypercykloiden
II. W-Kurven.
13. Definition der W-Kurven
14. Zwei Arten von transzendenten ebenen W-Kurven
15. Sätze über allgemeine W-Kurven der ersten Art
16. Logarithmische Spiralen
17. Orthogonale Trajektorien konzentrischer ähnlicher und ähnlich gelegener Ellipsen oder Hyperbeln
18. Dreieckspotentialkurven und adiabatische Kurven
19. Sätze über W-Kurven der zweiten Art
20. W-Kurven im Räume, gemeine Schraubenlinien
III. Sinusspiralen und ihre Verallgemeinerungen.
21. Sinusspiralen
22. Abbildung der Geraden der Ebene als Sinusspiralen
23. Einige Eigenschaften der Sinusspiralen
24. Rektifikation der Sinusspiralen
25. Triangulär- und tetraedral-symmetrische Kurven
26. Cesärosche, insbesondere Ribaucoursche Kurven
27. Kettenlinien und Traktrizen
IV. Transzendente Raumkurven.
28. Charakteristische Eigenschaft der Bertrandschen Kurven
29. Endliche Gleichungen der Bertrandschen Kurven
30. Die Bertrandschen Kurven in der Flächentheorie
31. Kurven konstanter Krümmung, Kurven konstanter Torsion und allgemeine Schraubenlinien
32. Eigenschaften der allgemeinen Schraubenlinien
33. Verallgemeinerungen der Bertrandschen Kurven
34. Loxodromen
35. Minimalkurven und Kurven der tetraedralen Komplexe
36. Gemeinsame Eigenschaften einiger Kurvenfamilien
V. Sonstiges.
37. Aufzählung einiger nicht-besprochenen transzendenten Kurven
38. Einteilung der ebenen transzendenten Kurven
39. Register der erwähnten Kurven
5. Besondere Flächen. Von R. v. LILIENTHAL in Münster i. W. (Abgeschlossen im August 1903.)
I. Geradlinige Flächen.
1. Erklärungen
2. Nichtabwickelbare Linienflächen
3. Abwickelbare Linienflächen
II. Weitere kinematisch definierbare Flächen.
4. Zyklische Flächen
5. Schraubenflächen
6. Translationsflächen
7. Spiralflächen
III. Krümmungsmittelpunktsflächen.
8. Erklärungen
9. Die eine Schale der Krümmungsmittelpunktsfläche artet in eine Kurve aus
10. Beide Schalen der Krümmungsmittelpunktsfläche arten in Kurven aus. Dupinsche Zykliden
11. Die allgemeine Krümmungsmittelpunktsfläche
12. Bestimmung einer Fläche, für welche eine Schale oder beide Schalen der Krümmungsmittelpunktsfläche vorgeschrieben sind
IV. Flächen mit ebenen oder sphärischen Krümmungslinien.
13. Die Mongeschen Gesimsflächen
14. Untersuchungen von Bonnet, Serret, Enneper, Rouquet
15. Untersuchungen von Dini, Darboux
16. Untersuchungen von Brioschi, Dini, Dobriner, Blutel, Darboux
V. Weingartensche Flächen.
17. Die beiden Weingartenschen Sätze
18. Weitere Sätze
Vl. Minimalflächen.
19. Historisches. Sätze von Meusnier. Integral von Monge
20. Die von Scherk, Catalan, Enneper gefundenen Minimalflächen
21. Analytische Darstellungen der Minimalflächen von Weingarten, Enneper, Weierstraß, Riemann, Peterson, Beltrami
22. Bestimmung eines Minimalflächenstücks bei gegebener Begrenzung
23. Die einer Minimalfläche assoziierten Minimalflächen
24. Methode von Darboux
25. Bestimmung einer Minimalfläche durch einen analytischen Streifen
26. Weitere besondere Minimalflächen
27. Methode von Lie
28. Die Goursatsche Transformation der Minimalkurven
29. Einer Abwickelbaren eingeschriebene Minimalflächen
30. Methode von Ribaucour
31. Sätze von Schwarz, Weingarten, Dini
VII. Flächen konstanter Krümmung.
32. Untersuchungen von Minding, Dini, Enneper, Beltrami, Hubert
33. Die Rotationsflächen konstanter Krümmung und Linienelemente der pseudosphärischen Flächen
34. Die geodätischen Linien auf den Flächen konstanter Krümmung
35. Transformationen und Haupttangentenkurven der Flächen konstanter Krümmung
VIII. Weitere besondere Flächen.
36. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Hauptkrümmungshalbmesser
37. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Krümmungslinien
38. Flächen mit besonderen Eigenschaften der Haupttangentenkurven und konjugierten Linien
39. Flächen mit besonderen Eigenschaften der geodätischen Linien und geodätischen Kreise
40. Imaginäre Flächen
6. Abbildung und Abwickelung zweier Flächen aufeinander. Von A. Voss in Würzburg (jetzt in München). (Abgeschlossen im August 1903.)
A. Einleitung.
1. Vorbemerkungen
2. Allgemeine Übersicht über die Probleme der Abbildung und Abwickelung (Isometrie und Biegung) der Flächen
B. Die Abbildung der Flächen.
3. Die konforme oder winkeltreue Abbildung
4. Besondere konforme Abbildungen
5. Vorteilhafteste konforme Abbildung
6. Konforme Abbildung bei Räumen von mehr Dimensionen
7. Die äquivalente oder flächen treue Abbildung
8. Die Kartenkonstruktionen
9. Die geodätische Abbildung
10. Die projektive Abbildung
11. Die sphärische Abbildung
12. Andere Abbildungen
13. Die Strahlensysteme
14. Abbildungen allgemeineren Charakters
C. Die Isometrie der Flächen.
a) Allgemeine Probleme.
15. Das Mindingsche Problem
16. In sich isometrische Flächen
17. Kongruenz zweier Flächen
18. Das Boursche Problem
19. Allgemeine Sätze über die isometrische Zuordnung zweier Flächen
b) Spezielle Probleme.
1. Isometrische Untergruppen.
20. Untergruppen, bedingte Biegungen
21. Die Developpabelen
22. Die Isometrie und Biegung der Regelflächen
23. Die Biegung der Rotationsflächen
24. Isometrie mit Erhaltung der Krümmungslinien resp. Hauptkrümmungsradien
25. Isometrie mit Erhaltung konjugierter Systeme
26. Die Translationsflächen
27. Die Minimalflächen
2. Die Flächen konstanter von Null verschiedener Krümmung.
28. Die Flächen konstanten Krümmungsmaßes
29. Die Flächen konstanter negativer Krümmung
30. Die Flächen konstanter positiver Krümmung
3. Untersuchung vollständiger isometrischer Gruppen.
31. Vollständige Systeme isometrischer Flächen
D. Die infinitesimale Isometrie.
32. Infinitesimale Deformation und Isometrie der Flächen
33. Das Problem der sphärischen Abbildung
34. Isometrische Flächenpaare
E. Geometrische und mechanische Modelle znr Lehre von der Abbildung und Abwickelung der Flächen.
35. Geometrische und mechanische Modelle
7. Berühruhungstransformationen. Von HEINRICH LIEBMANN in München (jetzt in Heidelberg). (Abgeschlossen im Oktober 1914.)
I. Grundlagen.
1. Vorbemerkung
2. Ableitungen aus den Differentialgleichungen für die charakteristischen Streifen. Die Klammerrelationen
3. Die Berührungstransformationen bei Jacobi. Aequationes directrices
4. Kritik der Untersuchungen von Jacobi. Allgemeine Elementvereine
5. Beweis der Klammerrelationen mit Hilfe der bilinearen Kovariante
6. Die Untersuchungen von Schering
7. Die Berührungstransformationen als Umhüllungstransformationen
8. Die charakteristischen Streifen
9. Die infinitesimalen Berührungstransformationen
10. Neuere Untersuchungen über endliche Berührungstransformationen
II. Spezielle Berührungstransformationen und sich anschließende Fragen.
11. Fußpunkttransformation, Apsidaltransformation usw
12. Die Liesche Geraden-Kugeltransformation
13. Die orientierten Berührungstransformationen
14. Weitere Berührungstransformationen
15. Die Elemente höherer Ordnung
16. Bäcklundsche Transformationen und Bäcklundscher Satz
III. Engels Methode für die Inyariantentheorie der Differentialgleichungen.
17. Aufgaben und Methode
18. Mongesche und Pfaffsche Gleichungen als Schnittbedingungen
19. Ordnung von Kurvenscharen
20. Systeme Pfaffscher Gleichungen
21. Flächen scharen im R3, die in Kurvenscharen überführbar sind
22. Zwischenformen von partiellen Differentialgleichungen
8. Geometrische Theorie der Differentialgleichungen. Von HEINRICH LIEBMANN in München (jetzt in Heidelberg). (Abgeschlossen im Oktober 1914.)
1. Vorbemerkung
2. Die topographischen Kurven
3. Die singulären Punkte von Xy' - Y =0
3 a. Asymptotische Darstellung von Integralen
4. Differentialgleichungen erster Ordnung höheren Grades
5. Anzahlbeziehungen für die Singularitäten
6. Die Grenzzyklen (nach Poincaré)
7. Theorie der singulären Lösungen von f(x, y, y') = 0
8. Das Bertrandsche Problem
9. Scharen von L-Kurven und G-Flächen
10. Die Untersuchungen von Hadamard. Geodätische Felder.
11. L-Linien auf Ovaloiden (nach Poincaré)
12. Geodätische Linien auf Polyederflächen
9. Dreifach orthogonale Flächensysteme. Von E. SALKOWSKI in Hannover. (Abgeschlossen im April 1920.)
Einleitung.
1. Geschichtlicher Überblick
I. Der Dupinsche Satz und die Laméschen Gleichungen.
2 Der Dupinsche Satz
3. Die Laméschen Gleichungen
4. Die Inversion
5. Die Paralleltransformation
6. Die dreifach konjugierten Systeme
II. Die Differentialgleichung dritter Ordnung.
7. Die Bonnetsehe Methode
8. Die Darbouxsche Gleichung
III. Besondere dreifach orthogonale Systeme.
9. Die Bouquetsche Partikularlösung
10. Ebenen und Kugeln
11. Flächen zweiter Ordnung
12. Die Zyklidensysteme
13. Lamésche Scharen von Rotationsflächen
14. Isothermflächen
IV. Die zyklischen Systeme Eibaucours.
15. Die normalen Kreiskongruenzen
16. Die zyklischen Linienkongruenzen
17. Kugelkongruenzen
18. Flächen, die das sphärische Bild der Krümmungslinien gemeinsam haben
19. Die normalen Kreiskongruenzen und die Theorie der Biegung
20. Besondere Kreiskongruenzen
21. Die zyklischen Systeme
V. Die Bianchischen Systeme.
22. Die Bianchischen Systeme
23. Die Weingartenschen Systeme
23. Die Bäcklundsche Transformation
24. Die Bianchischen Systeme und die Theorie der Biegung
Vl. Kinematische Fragestellungen.
26. Die Lameschen Scharen, die aus kongruenten Flächen bestehen
27. Die E-Systeme
28. Die Guichardschen Systeme
VII. Hilfsmittel der mehrdimensionalen Geometrie.
29. Die n-fach orthogonalen Systeme im Rn
30. Die Guichardsche Theorie der Netze und Kongruenzen
31. Die Guichardsche Theorie der dreifachen Flächensysteme
10. Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie. Differentialinvarianten. Von R. WEITZENBÖCK in Graz (jetzt in Amsterdam). (Abgeschlossen im März 1921.)
Erster Teil
a) Neuere Arbeiten der algebraischen Invariantentheorie.
A. Invarianten der allgemeinen projektiven Gruppe.
1. Einleitung
2. Binäre Formen. Allgemeines
3. Binäre Formen. Spezielles
4. Allgemeine Formen
5. Ternäre Formen. Allgemeines
6. Ternäre Formen. Spezielles
7. Spezielle n-äre Formen, n > 3
8. n-är. Spezielles
9. Differentialgleichungen für Komitanten
10. Vollständige Systeme
11. Symbolische Methoden. Fundamentalsätze
12. Der Matrizenkalkül
13. Die Komplexsymbolik
14. Vergleich der Methoden
B. Invarianten projektiver Untergruppen.
15. Allgemeines
16. Seminvarianten. Schiebungsinvarianten
17. Drehungsinvarianten (orthogonale Invarianten)
18. Binäranalyse
19. Vektor- und Tensoralgebra
20. Bewegungsinvarianten
21. Affine Invarianten
22. Weitere Gruppen
Zweiter Teil
b) Differentialinvarianten.
A. Einleitung.
1. Historisches
2. Transformationen und deren Objekte
3. Der Invariantenbegriff
B. Differentialinvarianten spezieller Transformationsgruppen.
4. Erweiterung einer Gruppe
5. Differentialinvarianten einer Gruppe
6. Vollständige Invariantensysteme mter Ordnung
7. Differentialinvarianten unendlicher Gruppen
8. Geometrische Differentialinvarianten
9. Differentialinvarianten bei Differentialgleichungen
C. Theorie der Differentialformen.
10. Differentialformen, Tensoren
11. Kogredienz und Kontragredienz
12. Tensoralgebra
13. Tensor an alysis
14. Lineare Differentialformen
15. Infinitesimale Transformationen
16. Systeme von linearen Differentialformen
17. Differentialinvarianten willkürlicher Funktionen
18. Quadratische Differentialformen
19. Kovariante Ableitungen
20. Normalkoordinaten
21. Der Krümmungstensor
22. Reduktionssatz, Äquivalenz
23. Vollständige Systeme
24. Pascalsche Ausdrücke
25. Differentialparameter
26. Formale Methoden
27. Spezielle Differentialformen
28. Formale Variationsrechnung und Differentialinvarianten
Corrigenda.
11. Differentialinvarianten in der Geometrie. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen. Von L. BERWALD in Prag. (Abgeschlossen im Oktober 1923.)
1. Vorbemerkungen
A. Differentialinvarianten in der Geometrie der wichtigsten endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen.
I. Allgemeines.
2. Einordnung der Differentialgeometrie in die gruppentheoretische Auffassung der Geometrie. Geometrische Differentialinvarianten
3. Äquivalenzprobleme
II. Metrische Differentialgeometrie.
4. Metrische Differentialgeometrie der Kurven
5. Metrische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen
III. Nichteuklidische Differentialgeometrie.
6. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Kurven
7. Nichteuklidische Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen
IV. Affine Differentialgeometrie.
8. Affine Differentialgeometrie der Kurven
9. Affine Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen
V. Projektive Differentialgeometrie.
10. Projektive Differentialgeometrie der Kurven
11. Die Methode von Wilczynski in der projektiven Differentialgeometrie der Flächen, Geradenkongruenzen und Kurvennetze
12. Die Methode von Fubini in der projektiven Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten von zwei und mehr Dimensionen
VI. Differentialgeometrie weiterer Transformationsgruppen.
13. Konforme Differentialgeometrie
14. Sonstige Gruppen
B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen.
I. Einleitung.
15. Vorbemerkung
16. Geschichtlicher Überblick
16 a. Anwendung direkter Methoden
II. Allgemeine Theorie der einzelnen Riemannschen Mannigfaltigkeit.
17. Begriff einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
18. Geodätische und krumme Linien. Parallelismus in einer Vn
19. Der Krümmungstensor und die aus ihm abgeleiteten Größen
20. Die Orthogonalsy steme von Kurvenkongruenzen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
III. m-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten (1 < m < n), die in einer n-dimensionalen enthalten sind.
21. Die Grundgleichungen für eine Vm in Vnn
22. Krümmungseigenschaften einer Vn - 1 in Vn
23. Krümmungseigenschaften einer Vm (l < m < n Â? 1) in Vn
24. Klasse einer Vm
25. n-fache Orthogonalsysteme in einer Vn
IV. Besondere Riemannsche Mannigfaltigkeiten.
26. Mannigfaltigkeiten mit besonderen inneren Eigenschaften ohne Rücksicht auf eine umgebende Mannigfaltigkeit
27. Mannigfaltigkeiten besonderen Verhaltens gegen eine umgebende Mannigfaltigkeit
V. Neuere Grundlegung der Infinitesimalgeometrie
28. Aufbau der reinen Infinitesimalgeometrie nach Weyl
29. Gruppentheoretische Auffassung der Raummetrik
30. Einordnung der projektiven und konformen Auffassung
31. Weitere Untersuchungen
Register zu Band III, 3. Teil