Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im Detail vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik – die Gruppen, Ringe und Körper – eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das Problem der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt.
Dieses Buch ist der erste von zwei Bänden zur Linearen Algebra. Der Zugang der beiden Bände ist einerseits eher klassisch: Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als 260 umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium.
Author(s): Stefan Waldmann
Edition: 2
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2021
Language: German
Pages: 460
Tags: Algebra; Linear Algebra;
Vorwort
Vorwort zur zweiten Auflage
Symbolverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Elementare Geometrie im Anschauungsraum R3
Vektoren im Anschauungsraum
Geraden und Ebenen
Abstände und Winkel
Das Kreuzprodukt
Übungen
Intermezzo
Von Gruppen, Ringen und Körpern
Algebraische Strukturen und Morphismen
Invertierbarkeit und Gruppen
Ringe und Polynome
Körper und die komplexen Zahlen
Nochmals Polynome
Übungen
Lineare Gleichungssysteme und Vektorräume
Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus
Vektorräume
Untervektorräume
Lineare Unabhängigkeit und Basen
Direkte Summen und Produkte
Übungen
Lineare Abbildungen und Matrizen
Definition und erste Beispiele
Eigenschaften von linearen Abbildungen
Klassifikation von Vektorräumen
Basisdarstellung und Matrizen
Spezielle Matrizen und Normalformen
Dualraum
Übungen
Determinanten und Eigenwerte
Die symmetrische Gruppe Sn
Existenz und Eindeutigkeit der Determinante
Eigenschaften der Determinante
Eigenwerte und Diagonalisierung
Das charakteristische Polynom
Das Minimalpolynom und der Spektralsatz
Die Jordan-Normalform
Übungen
Euklidische und unitäre Vektorräume
Innere Produkte
Skalarprodukte
Norm und Orthogonalität
Orthonormalbasen
Isometrien und Klassifikation
Selbstadjungierte und normale Abbildungen
Der Spektralsatz für normale Abbildungen
Positivität
Die Polarzerlegung und ihre Varianten
Die Operatornorm und die Approximationszahlen
Übungen
Grundbegriffe der Logik
Aussagen und Junktoren
Beweisstrategien
Quantoren
Vollständige Induktion
Übungen
Mengen und Abbildungen
Der Begriff der Menge
Operationen mit Mengen
Relationen
Abbildungen
Verkettungen von Abbildungen
Mächtigkeit von Mengen
Übungen
Literaturverzeichnis
Sachverzeichnis
