Cet ouvrage présente les techniques de base et les théorèmes fondamentaux pour un cours de second cycle. L'accent est mis sur les profondes connexions reliant les domaines traditionnellement disjoints de l'analyse: sont ainsi réunies l'analyse réelle et l'analyse complexe. Le livre aborde également quelques-unes des idées qui fondent l'analyse fonctionnelle. Cette troisième édition contient un nouveau chapitre consacré à la différentiation, et il permet au lecteur de se familiariser avec les fonctions maximales. Les notions d'équicontinuité et de convergence sont présentées avec plus de précision, ainsi que le comportement à la frontière des applications conformes étudiées par le moyen du théorème de Lindelof sur les valeurs asymptotiques des fonctions holomorphes bornées dans un disque.
Author(s): Rudin
Publisher: Dunod
Year: 1998
Language: French
Pages: 471
TABLE DES MATIÈRES......Page 6
préface......Page 12
avertissement......Page 14
prologue. -- La fonction exponentielle......Page 16
chapitre premier. -- Théorie abstraite de l'intégration......Page 20
Notations de la théorie des ensembles et terminologie......Page 21
Notion de mesurabilité......Page 22
Fonctions étagées......Page 29
Propriétés élémentaires des mesures......Page 30
Arithmétique dans [0,oo]......Page 32
Intégration de fonctions positives......Page 33
Intégration de fonctions complexes......Page 37
Rôle des ensembles de mesure nulle......Page 40
Exercices......Page 44
Notes historiques et textes choisis......Page 46
Espaces vectoriels......Page 58
Préliminaires topologiques......Page 60
Théorème de représentation de Riesz......Page 65
Propriétés de régularité des mesures de Borel......Page 71
Mesure de Lebesgue......Page 73
Propriétés de continuité des fonctions mesurables......Page 78
Exercices......Page 80
Notes historiques et textes choisis......Page 84
Fonctions convexes et inégalités......Page 92
Espaces Lp......Page 95
Approximation par des fonctions continues......Page 99
Exercices......Page 100
Notes historiques et textes choisis......Page 105
Produits scalaires et formes linéaires......Page 114
Systèmes orthonormaux......Page 119
Séries trigonométriques......Page 124
Exercices......Page 128
Notes historiques et textes choisis......Page 131
Espaces de Banach......Page 140
Conséquences du théorème de Baire......Page 141
Séries de Fourier de fonctions continues......Page 145
Coefficients de Fourier des fonctions de L1......Page 147
Le théorème de Hahn-Banach......Page 148
Une approche abstraite de l'intégrale de Poisson......Page 151
Exercices......Page 154
Notes historiques et textes choisis......Page 158
Variation totale......Page 164
Absolue continuité......Page 167
Conséquences du théorème de Radon-Nikodym......Page 171
Formes linéaires bornées sur Lp......Page 173
Théorème de représentation de Rîesz......Page 175
Exercices......Page 178
Notes historiques......Page 180
Dérivées des mesures......Page 184
Théorème fondamental du calcul......Page 192
Applications différentiables......Page 197
Exercices......Page 202
Notes historiques et textes choisis......Page 206
Mesurabilité sur les produits cartésiens......Page 214
Mesure produit......Page 216
Théorème de Fubini......Page 217
Complétion d'une mesure produit......Page 220
Convolution......Page 222
Fonctions de répartition......Page 224
Exercices......Page 226
Notes historiques et textes choisis......Page 230
Propriétés formelles......Page 234
Le théorème d'inversion......Page 236
Le théorème de Plancherel......Page 240
L'algèbre de Banach L1......Page 244
Exercices......Page 247
Notes historiques et textes choisis......Page 250
Différentiation complexe......Page 256
Intégration sur des chemins......Page 260
Le théorème local de Cauchy......Page 263
La représentation en série entière......Page 266
Le théorème de l'image ouverte......Page 271
Le théorème global de Cauchy......Page 274
Le calcul des résidus......Page 280
Exercices......Page 283
Notes historiques......Page 287
Les équations de Cauchy-Riemann......Page 290
L'intégrale de Poisson......Page 291
La propriété de la moyenne......Page 295
Le comportement à la frontière des intégrales de Poisson......Page 296
Théorèmes de représentation......Page 301
Exercices......Page 305
Notes historiques et textes choisis......Page 309
Lemme de Schwarz......Page 312
La méthode de Phragmen-Lindelôf......Page 314
Un théorème d'interpolation......Page 318
Une réciproque du théorème du maximum......Page 320
Exercices......Page 321
Notes historiques......Page 323
Préparation......Page 325
Le théorème de Runge......Page 328
Le théorème de Mittag-Leffler......Page 330
Domaines simplement connexes......Page 331
Exercices......Page 333
Notes historiques et textes choisis......Page 335
Conservation des angles......Page 341
Homographies......Page 342
Familles normales......Page 344
Le théorème de l'application conforme de Riemann......Page 345
La classe S......Page 347
Continuité à la frontière......Page 350
Image conforme d'une couronne......Page 352
Exercices......Page 353
Notes historiques et textes choisis......Page 359
Produits infinis......Page 363
Le théorème de factorisation de Weierstrass......Page 366
Un théorème d'interpolation......Page 369
Formule de Jensen......Page 371
Produits de Blaschke......Page 373
Le théorème de Muntz-Szasz......Page 376
Exercices......Page 378
Notes historiques......Page 382
Points réguliers et points singuliers......Page 384
Prolongement le long d'une courbe......Page 387
Le théorème de monodromie......Page 390
Construction d'une fonction modulaire......Page 391
Le théorème de Picard......Page 394
Exercices......Page 395
Notes historiques......Page 398
Fonctions sous-harmoniques......Page 400
Les espaces Hp et N......Page 402
Théorème de F. et M. Riesz......Page 405
Théorèmes de factorisation......Page 406
L'opérateur de déplacement......Page 410
Fonctions conjuguées......Page 413
Exercices......Page 415
Notes historiques......Page 418
Introduction......Page 419
Les éléments inversibles......Page 420
Idéaux et homomorphismes......Page 424
Applications......Page 426
Exercices......Page 430
Notes historiques......Page 432
Introduction......Page 433
Deux théorèmes de Paley et Wiener......Page 434
Classes quasi-analytiques......Page 437
Le théorème de Denjoy-Carleman......Page 440
Exercices......Page 443
Notes historiques......Page 445
Quelques lemmes......Page 446
Théorème de Mergelyan......Page 449
Exercices......Page 452
Notes historiques......Page 453
ANNEXE. -- Théorème de maximalité de Hausdorff......Page 454
BIBLIOGRAPHIE......Page 456
LISTE DES SYMBOLES PARTICULIERS......Page 461
INDEX......Page 462
