Основы теории поверхностей в тензорном изложении

Титульный лист......Page 1
Выходные данные......Page 2
Посвящение......Page 3
Опечатки (исправлены)......Page 4
Предисловие......Page 5
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 11
1. Изоморфизмы и автоморфизмы в геометрии......Page 19
2. Отображение пространства самого в себя или преобразование пространства......Page 21
3. Изометрическое преобразование пространства......Page 22
4. Обозначение суммирования по Эйнштейну......Page 23
5. Изометрия евклидова пространства как ортогональное преобразование......Page 25
1. Афинное преобразование пространства......Page 27
2. Основные свойства афинных преобразований......Page 29
3. Группа афинных преобразований......Page 30
4. Афинные преобразования векторов. Афиноры......Page 32
5. Основные свойства линейной вектор-функции......Page 34
6. Алгебра афиноров......Page 36
8. Неизменяемые направления афинора......Page 38
9. Неизменяемые направления симметрического афинора......Page 39
11. Инварианты геометрических образов по отношению к афинору или афинному преобразованию......Page 41
12. Инварианты афинора......Page 42
13. Уравнения Гамильтона - Кэли......Page 44
1. Действие афинного преобразования на триэдр......Page 45
2. Версор......Page 47
3. Неизменяемое направление версора......Page 48
4. Движения......Page 49
5. Отражения......Page 50
1. Афинные преобразования и движения в плоскости......Page 51
3. Симметрические афиноры в $E_2$......Page 53
4. Определение симметрического афинора по его главным направлениям и собственным значениям......Page 54
6. Инварианты афинора и уравнение Гамильтона - Кэли в плоскости......Page 55
2. Система диференциальных уравнений триэдра......Page 56
3. Диференцирование и интегрирование афинора......Page 57
1. Проективные преобразования пространства......Page 58
2. Коллинеации в евклидовой плоскости. Уравнения Шефферса......Page 59
3. Уравнения Шварца......Page 60
4. Интегрирование диференциальных уравнений Шефферса......Page 61
5. Группа проективных преобразований плоскости......Page 63
6. Проективные преобразования пространства......Page 65
7. Группа автоморфизмов множества всех векторов......Page 66
1. Преобразования подобия и инверсии......Page 67
2. Пентасферические координаты в $E_3$......Page 68
3. Сферические преобразования пространства и лоренцовы преобразования координат......Page 69
4. Уравнения сферического преобразования в исходных пентасферических координатах......Page 71
5. Разложение сферического преобразования......Page 72
6. Конформность сферического преобразования......Page 74
1. Кривая; касательная к ней; касательный и тангенциальный вектор......Page 76
2. Главный нормальный вектор. Кривизна кривой в заданной её точке......Page 78
3. Бинормальный вектор; основной триэдр кривой......Page 80
4. Кручение кривой в данной её точке. Формулы Френе - Серре......Page 81
5. Вектор Пуассона - Дарбу. Вторая форма уравнений Френе - Серре......Page 84
6. Вхождение кривой в основной триэдр......Page 85
1. Интегрирование уравнений Френе - Серре......Page 87
2. Афинор основного триэдра......Page 89
3. Винтовые линии......Page 91
4. Разложение радиуса-вектора точки кривой по степеням лонгального параметра......Page 93
5. Соприкасающаяся сфера в данной точке кривой......Page 94
6. Сферические кривые. Натуральные уравнения сферической кривой......Page 95
1. Различные способы аналитического выражения поверхности......Page 97
2. Условие независимости параметров......Page 98
3. Поверхность: обыкновенные и особые её точки......Page 99
4. Криволинейные координаты на поверхности......Page 100
5. Чебышевская, получебышевская сеть и лонгальные координаты......Page 102
7. Кривые на поверхности; векторы, принадлежащие поверхности, и нормальные к ней......Page 103
8. Географические и эквидистантные координаты на сфере......Page 104
9. Стереографические координаты на сфере......Page 106
10. Бельтрамиевы координаты на сфере......Page 109
1. Криволинейные координаты в $E_3$......Page 111
2. Стереографические координаты в пространстве......Page 112
3. Эллиптические координаты в пространстве......Page 113
4. Эллиптические координаты на центральной поверхности 2-го порядка......Page 116
5. Координация пространства, нормально связанная с координацией поверхности......Page 119
1. Контравариантные компоненты вектора......Page 120
2. Преобразование контраиариантных компонент вектора при преобразовании координат......Page 121
3. Символика Схоутена и Стройка......Page 122
5. Другие выражения ковариантных и контравариантных компонент вектора......Page 124
6. Ковариантные и контравариантные векторы......Page 127
7. Преобразование контравариантных компонент вектора в ковариантные и обратно. Beртор......Page 128
8. Дискриминант вертора......Page 129
9. Векторы на поверхности......Page 130
10. Сводка результатов, относящихся к координации точек и векторов на поверхности......Page 132
1. Экстенсивы......Page 134
2. Тензоры......Page 135
4. Смешанные тензоры......Page 137
5. Конструирование тензора......Page 138
6. Тензор Кронекера......Page 139
8. Изомеры. Симметрические и кососимметрические тензоры......Page 140
2. Свёртывание тензора......Page 143
3. Свёртывание двух тензоров......Page 145
4. Обращение основной теоремы о свёртывании тензоров......Page 146
5. Тензоры 2-ой валентности......Page 147
6. Верторы......Page 148
8. Различные типы компонент тензора......Page 149
9. Смещение индексов в компонентах экстенсива......Page 150
10. Перенесение диференциального множителя......Page 151
11. Тензоры некоторой группы преобразований......Page 152
2. Инварианты двух тензоров......Page 153
3. Скалярное произведение двух векторов......Page 154
5. Диференциальные инварианты скалярных функций......Page 155
6. Диференциалы......Page 156
7. Относительные инварианты......Page 157
8. Преобразование дискриминанта тензора 2-й валентности к новым переменным......Page 158
9. Абсолютные инварианты, получаемые из относительных......Page 159
10. Инвариантные диференциальные формы......Page 160
1. Бивекторы......Page 161
2. Дискриминантный тензор......Page 162
З. Кососимметрические тензоры высшей валентности в бинарной области......Page 163
5. Двойные бивекторы......Page 164
6. Дублированный бивектор......Page 166
7. Выражение определителя и его миноров с помощью дискриминантного тензора......Page 167
1. Метрическая диференциальная форма пространства и поверхности......Page 170
2. Метрическая форма сферы в стереографических координатах......Page 172
4. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в эллиптических координатах......Page 173
5. Метрическая форма центральной поверхности 2-го порядка в лиувиллевых координатах. Поверхности Лиувилля......Page 174
6. Метрика в пространстве......Page 175
7. Метрика на поверхности......Page 176
8. Поверхности, имеющие общую метрическую форму......Page 180
2. Приведение квадратичной диференциальной формы к ортогональному виду......Page 181
3. Приведение квадратичной бинарной формы к каноническому виду......Page 183
2. Необходимое условие возможности иммерсии $f_2$ в $E_2$......Page 185
3. Достаточность установленного условия......Page 186
5. Нормальная система диференциальных уравнений в частных производных......Page 187
6. Вторая задача иммерсии......Page 188
7. Отображение, деформация и изгибание поверхностей......Page 191
8. Наложение (развёртывание) одной поверхности на другую......Page 193
1. Метрическая форма пространства $E_3$ в координатах, нормально связанных с координацией поверхности......Page 195
2. Три основные формы поверхности......Page 196
3. Два тождества......Page 198
4. Геометрическое истолкование второй и третьей основных форм......Page 199
5. Основные формы плоскости и сферы......Page 200
6. Инварианты диференциальиых форм поверхности......Page 201
7. Первый и второй инварианты всякого тензора......Page 203
8. Формулы Beйнгартена......Page 204
9. Зависимость между тремя основными формами......Page 205
1. Основной триэдр кривой на поверхности......Page 206
2. Деривационные уравнения......Page 207
3. Три кривизны кривой на поверхности. Геодезические линии поверхности......Page 208
4. Поверхностные полосы......Page 210
5. Вектор Родрига......Page 211
6. Кривизны $\tilde{\sigma}$ и $\tilde{\tau}$ поверхности в данном направлении......Page 212
7. Другие выражения инвариантов $\tilde{\sigma}$ и $\tilde{\tau}$......Page 213
8. Четвёртая основная форма поверхности......Page 214
9. Развитие формул Вейнгартена......Page 215
1. Афинор поверхности......Page 216
2. Афинор Бурали - Форти и главные направления в данной точке поверхности......Page 217
3. Уравнение Гамильтона - Кэли......Page 218
4. Эйлерова разность......Page 220
5. Основной афинор, отнесенный к главным направлениям поверхности......Page 221
7. Формула Менье......Page 224
1. Сопряжённые направления в данной точке поверхности......Page 226
2. Асимптотические направления в данной точке поверхности......Page 227
3. Другой геометрический признак асимптотических направлений......Page 230
4. Второй афинор поверхности......Page 231
5. Уравнение Гамильтона - Кэли для второго афинора......Page 232
1. Асимптотические линии поверхности......Page 233
2. Основные свойства асимптотических линий......Page 234
3. Линии кривизны поверхности......Page 235
4. Теорема Дюпена......Page 236
1. Структура 4-го основного тензора......Page 237
3. Четвертый основной тензор поверхности как якобиан первых двух тензоров......Page 239
1. Воздействие на основные формы поверхности преобразований подобия......Page 242
2. Воздействие на основные формы поверхности конформного преобразования пространства......Page 243
1. Поверхность, приведённая в нормальное сопряжение с одной из своих касательных плоскостей......Page 246
2. Порядок взаимного касания двух поверхностей......Page 248
3. Соприкасающиеся поверхности......Page 249
4. Приведение поверхностей в соприкосновение......Page 250
6. Инвариантность омбилических точек поверхности при конформном преобразовании пространства......Page 251
1. Поверхность вращения......Page 252
2. Метрическая форма поверхности вращения......Page 253
3. Катеноид......Page 256
4. Вторая и третья основные формы поверхности вращения......Page 257
5. Кривизна катеноида......Page 258
6. Тор......Page 259
7. Омбилические точки поверхности вращения......Page 260
8. Асимптотические линии поверхности вращения......Page 261
9. Поверхности, имеющие больше одной оси вращения......Page 262
10. Группа автоморфизмов совокупности поверхностей вращения......Page 263
2. Изменение направляющей......Page 264
3. Касательная плоскость и нормаль линейчатой поверхности......Page 265
4. Стрикционная линия линейчатой поверхности......Page 267
5. Первая основная форма и особые точки линейчатой поверхности......Page 269
6. Параметр распределения......Page 270
1. Торс......Page 272
2. Классификация торсов......Page 273
3. Особые точки торса......Page 274
4. Ребро возврата торса......Page 275
5. Торс как огибающая движущейся плоскости......Page 276
6. Линейчатые поверхности, образуемые рёбрами основного триэдра пространственной кривой......Page 279
7. Торсы, огибающие грани основного триэдра кривой......Page 280
8. Поверхности, развёртывающиеся на плоскость......Page 281
9. Поверхность нормалей и линии кривизны поверхности......Page 283
11. Линейчатая поверхность вращения......Page 284
12. Средняя кривизна торса......Page 285
13. Группа автоморфизмов линейчатых поверхностей......Page 286
1. Линейчатая поверхность с направляющей плоскостью......Page 287
2. Коноид......Page 289
3. Геликоид......Page 291
4. Основные формы геликоида......Page 292
5. Асимптотические линии и линии кривизны геликоида......Page 293
6. Теорема Каталана......Page 294
7. Обобщение понятия о винтовой поверхности......Page 295
1. Преобразование С. Ли......Page 296
2. Поверхность переноса......Page 297
3. Основные формы поверхности переноса......Page 298
4. Построение поверхностей переноса, указанное С. Ли......Page 299
6. Обобщение понятия о поверхности переноса......Page 301
1. Семейство параллельных поверхностей......Page 302
3. Эволюта поверхности......Page 303
4. Эволюта поверхности вращения......Page 304
5. Соотношения между кривизнами параллельных поверхностей в соответствующих точках......Page 305
6. Эволюта параллельных поверхностей......Page 306
7. Средняя поверхность эволюты......Page 307
8. Связь между четвёртыми основными тензорами на параллельных поверхностях......Page 308
9. Векторы главных направлений поверхности......Page 310
10. Эволюта как огибающая главных плоскостей поверхности......Page 312
11. Поверхности Монжа......Page 313
12. Построение монжевых поверхностей......Page 314
13. Каналовые, трубчатые поверхности; циклиды......Page 315
1. Обзор уже рассмотренных минимальных поверхностей......Page 316
2. Вариационные свойства минимальных поверхностей......Page 317
3. Выражение площади части минимальной поверхности, ограниченной жордановой кривой......Page 319
4. Интегральный признак минимальной поверхности......Page 320
5. Диференциальиое уравнение минимальной поверхности. Задача Плато......Page 321
6. Элементы, определяющие минимальную поверхность......Page 322
8. Асимптотические линии минимальной поверхности......Page 323
10. Автоморфизмы множества минимальных поверхностей......Page 325
2. Диференциальные уравнения постоянного векторного поля в пространстве $E_3$......Page 328
3. Христофели первого и второго рода; их выражения в компонентах основного тензора......Page 329
4. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора в пространстве. Условия их интегрируемости......Page 330
5. Бесконечно малое смещение вектора......Page 332
6. Параллельное перенесение в плоскости......Page 333
1. Экстенсивы различных типов; девиация......Page 334
2. Преобразование христофелей......Page 335
3. Геометрический объект......Page 336
4. Вспомогательные теоремы......Page 337
5. Тензор Римана - Христофеля......Page 338
6. Задача Ламе - Христофеля......Page 340
7. Ковариантные компоненты риманова тензора......Page 342
1. Христофели в бинарной области......Page 343
2. Христофелев экстенсив сферы......Page 345
4. Риманов тензор поверхности......Page 346
6. Формулы Бианки......Page 348
8. Формула Фосса - Вейля......Page 349
9. Другие выражения гауссовой кривизны поверхности через компоненты его метрического тенвора......Page 350
1. Инвариантный признак постоянного векторного поля в $E_3$ и в $E_2$......Page 351
2. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности)......Page 352
3. Другое выражение условий, характеризующих постоянное векторное поле в $E_3$ или в $E_2$......Page 355
4. Ковариантная производная вектора (тензора первой валентности), заданного своими контравариантными компонентами......Page 356
6. Производная вектора в пространстве $E_3$ или на плоскости $E_2$, взятая в данном направлении......Page 357
1. Ковариантная производная тензора 2-й валентности......Page 358
2. Ковариантная производная метрического и дискриминантного тензоров......Page 361
3. Ковариантная производная смешанного тензора 2-й валентности......Page 362
4. Тождество Риччи......Page 363
5. Ковариантные производные тензора любой валентности......Page 365
2. Тензоры с векторными компонентами......Page 366
3. Перемножение тензоров с векторными компонентами......Page 368
4. Дискриминантный тензор......Page 369
6. Ковариантная производная тензора с векторными компонентами......Page 370
7. Градиент векторного поля и связанные с ним соотношения......Page 372
8. Деривационные формулы Гаусса......Page 373
1. Определение параллельного перенесения вектора по поверхности в бесконечно близкую точку......Page 375
2. Параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой......Page 376
3. Отклонение вектора от репера при бесконечно малом перенесении......Page 377
4. Параллельное перенесение по поверхности цилиндра......Page 378
5. Параллельное перенесение по поверхности конуса......Page 379
6. Абсолютный параллелизм......Page 380
7. Параллельное перенесение на тангенциальном торсе......Page 381
8. Параллельное перенесение вектора по сфере......Page 382
1. Приращения, которые получают компоненты вектора при параллельном его перенесении по поверхности в бесконечно близкую точку......Page 383
2. Диференциальные уравнения, определяющие параллельное перенесение вектора по поверхности вдоль заданной на ней кривой......Page 384
4. Абсолютный или неабсолютный параллелизм векторов на поверхности......Page 386
5. Диференциальные уравнения параллельного перенесения вектора, заданного ковариантными компонентами......Page 387
6. Инварианты параллельного перенесения......Page 388
1. Развитие основных формул параллельного перенесения......Page 389
2. Приращение компонент вектора при обходе бесконечно малого контура......Page 391
3. Отклонение вектора при обходе бесконечно малого контура......Page 393
4. Основная теорема Леви - Чивита......Page 394
5. Распространение формулы Леви - Чивита на конечный контур......Page 395
1. Диференцирование вектора по поверхности......Page 397
2. Вектор кривизны и геодезическая кривизна кривой на поверхности......Page 399
3. Отклонение вектора при параллельном его перенесении по поверхности......Page 401
4. Вычисление геодезической кривизны......Page 402
6. Интегрирование уравнении Френе - Серре на поверхности......Page 404
7. Геодезическая кривизна параметрических линий......Page 405
8. Теорема Оссиана Бонне......Page 407
9. Вычисление геодезической кривизны некоторых простейших кривых на поверхности......Page 409
10. Полная кривизна замкнутой односвязной поверхности......Page 410
1. Непосредственное разыскание геодезических линий поверхности......Page 412
2. Диференциальные уравнения геодезических линий......Page 413
3. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий......Page 415
4. Интегрирование диференциальных уравнений геодезических линий на сфере......Page 419
5. Единое диференциальное уравнение второго порядка геодезических линий......Page 421
6. Вариационное определение геодезических линий. Эйлеров вектор......Page 422
7. Кратчайшие линии поверхности......Page 424
8. Определение геодезических линий поверхности средствами, внешними относительно поверхности......Page 426
1. Уравнения Лагранжа......Page 427
2. Уравнения Уиттекера......Page 428
3. Движение материальной точки по удерживающей гладкой поверхности при отсутствии внешних сил......Page 429
4. Принцип Гамильтона......Page 430
1. Геодезические координаты......Page 431
2. Геодезические координаты в данной точке поверхности......Page 434
3. Нормальные координаты на поверхности......Page 436
4. Преобразование любых координат в нормальные......Page 437
5. Преобразование одних нормальных координат в другие......Page 438
6. Геодезические линии через две точки поверхности......Page 439
7. Нормальные координаты на плоскости и на сфере......Page 440
8. Основные соотношения в нормальной координации......Page 441
9. Римановы координаты на поверхности......Page 442
2. Геодезическая окружность......Page 445
3. Полярные координаты на поверхности......Page 446
5. Метрическая форма в римановых координатах......Page 447
6. Геодезическая, как кратчайшая линия между двумя точками на поверхности......Page 448
7. Параллельные и декартовы координаты на поверхности......Page 449
1. Уравнение Гаусса......Page 451
2. Уравнение Клеро......Page 452
3. Геодезические линии на поверхностях вращения......Page 454
4. Геодезические линии на круглом конусе......Page 456
5. Геодезические линии на однополостном гиперболоиде вращения......Page 457
6. Геодезические линии на эллипсоиде вращения......Page 461
7. Геодезические линии на торе......Page 463
1. Первый диференциальный инвариант Бельтрами......Page 466
2. Выражение метрической формы поверхности через диференциальные инварианты координат; геометрический смысл первого диференциального инварианта......Page 468
З. Бельтрамиев диференциальный инвариант вектора......Page 469
4. Второй бельтрамиев инвариант скалярной функции......Page 470
5. Выражение геодезической кривизны кривой в бельтрамиевых инвариантах......Page 471
6. Изотермические функции поверхности......Page 472
7. Изотермическая сеть......Page 474
8. Изотермическая сеть поверхности, развёртывающейся на поверхность вращения......Page 475
9. Метрическая форма поверхности, отнесённой к изотермической координатной сети; изотермические координаты......Page 476
10. Приведение метрической формы поверхности к изотермическому виду......Page 477
11. Дивергенция вектора......Page 479
1. Уравнения геодезических линий на поверхностях Лиувилля......Page 480
2. Применение к поверхностям вращения......Page 482
3. Уравнение геодезических линий на трёхосном эллипсоиде......Page 483
4. Типы геодезических линий на эллипсоиде......Page 484
5. Геодезические линии на эллипсоиде, проходящие через его круговые (омбилические) точки......Page 486
6. Выражение элемента длины на эллипсоиде в некоторых специальных случаях......Page 487
7. Геодезические эллипсы и гиперболы на эллипсоиде......Page 489
Содержание второй части......Page 492
Литература......Page 498
Именной указатель......Page 506
Предметный указатель......Page 507
Обложка......Page 513