Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números

Sumário

1 Propriedades aditivas dos números primos 7
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Problemas clássicos sobre propriedades aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 A Conjectura dos primos gêmeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 A conjectura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Primeiros Resultados sobre Progressões Aritméticas e Números Primos . . . . . . . . . 9
1.3 Progressões Aritméticas em Certos subconjuntos de Z . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 O teorema de Van der Waerden . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Conjuntos Com Densidade Positiva e 0 Teorema de Szemerédi . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 O teorema dos Números Primos e Progressões Aritméticas formadas por Primos . . . . . . . . 12
1.3.4 A conjectura de ErdÕs-Turán . . . . . . . . . . 13
1.4 Prova do Teorema dos Números Primos . . . . . . . . 13
1.4.1 A função de Von Mangoldt . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 A função Zeta de Riemann. . . . . . . . . . . . 15
1.4.3 Prova Analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 O Teorema de Van der Waerden . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Prova Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Prova Vía Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . 21
1.6 O Teorema de Furstenberg e suas aplicações . . . . . . 22
1.6.1 Breve Introdução à Teoría Ergódica . . . . . . 22
1.6.2 O teorema de Furstenberg . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Prova do teorema de Szemerédi . . . . . . . . . 27
1.7 O Teorema de Szemerédi quantitativo . . . . . . . . . 28
1.8 Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.1 A função de Von Mangoldt e Reformulações de algumas Conjecturas . . . . . . . . . . . . 32
1.8.2 Constelações de Primos e Progressões Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.3 Buracos no Conjunto dos números primos . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8.4 O tamanho do número N_0(k,õ) . . . . . . . . . 34
1.9 Apêndice ao Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.1 Prova do Teorema de Dirichlet no Caso a = 1 e b qualquer . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Prova da proposição 1.4.2 . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Prova do teorema 1.4.2 . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.4 Prova do teorema 1.5.3 . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.5 O exemplo de F. Behrend . . . . . . . . . . . . 46

2 Teorema de Green-Tao-Szemerédi . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Estratégia da prova do teorema de Green e Tao . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Prova do teorema de Green e Tao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2 Alguns comentários . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Prova do teorema de Roth . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Demonstração do teorema de Green-Tao-Szemerédi . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.1 Normas de Gowers . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.2 Anti-Uniformidade . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.3 Sigma-Álgebras geradas por funções anti-uniformes básicas . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.4 O argumento de incremento na energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.5 Fim da prova do teorema de Green-Tao-Szemerédi . . . . . . . . . . . . . . . 88

3 Construção da Medida Pseudo-Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.1 A Medida Pseudo-Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 Condição de formas lineares para AR . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Correlações de ordem superior de AR . . . . . . . . . . 106
3.4 Prova do Lema 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 Apêndice ao Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . 119

Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . 123