Ответы на вопросы по математическому анализу для технических специальностей
Множества. Операции над множествами.
Рациональные числа
Множество действительных чисел. Упорядочение действительных чисел.
Ограниченные множества. Точные грани.
Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности
Основные свойства сходящихся последовательностей
Предельный переход в неравенствах
Арифметические действия с пределами
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.
Монотонные последовательности
Число е
Лемма о вложенных отрезках
Лемма о существовании точных граней у ограниченного множества.
Лемма о сечении во множестве действительных чисел.
Подпоследовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
Критерий Коши существования предела последовательности.
Предельные точки последовательности
Понятие функции. Способы ее задания. Классификация.
Предел функции в точке и на бесконечности.
Свойства функций, имеющих предел
Критерий Коши существования предела функции
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
Свойства непрерывных функций
Односторонние пределы.
Первая теорема Вейерштрасса
Вторая теорема Вейерштрасса.
Теорема о прохождении через ноль непрерывной функции.
Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
Обратная функция
Непрерывность и монотонность основных элементарных функций
Первый замечательный предел limx→0sinx/x=1
Второй замечательный предел limx→∞1-1x/x=e
Производная функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.
Основные правила дифференцирования
Дифференциал функции. Его геометрический и физический смысл.
Производная сложной функции.
Производная обратной функции
Производная логарифмической, степенной, обратных тригонометрических функций.
Производная степенно-показательной функции. Логарифмическое дифферинцирование
Производные высших порядков и основные правила их вычисления. Формула Лейбница.
Дифференциалы высших порядков
Параметрически заданные функции. Производная первого и второго порядка параметрически заданных функций.
Возрастание и убывание функции в точке.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума дифференцируемой функции)
Теорема Ролля о среднем
Теорема Коши. Теорема Лагранжа.
Условия экстремума функции
Формула Тейлора.
Выпуклые и вогнутые функции. Достаточное условие выпуклости
Перегиб функции. Необходимое и достаточное условие перегиба.
Правило Лопиталя – Бернулли
