Algebre Agregation, Licence 3e annee, Master

Table des matières......Page 4
AVANT-PROPOS......Page 10
1.1 Notations et vocabulaire......Page 12
1.2 Relations d'équivalence......Page 13
1.3 Relations d'ordre......Page 15
1.4 Homomorphismes d'ensembles ordonnés......Page 16
1.5 Majorants et minorants......Page 17
1.6 Ensembles inductifs et bien ordonnés......Page 18
2.1 Ensemble des entiers naturels......Page 20
2.2 Équipotence, ensembles finis......Page 22
2.3 Addition des entiers naturels......Page 26
2.4 Multiplication des entiers naturels......Page 28
2.5 Nombres premiers......Page 30
2.6 Analyse combinatoire......Page 31
2.7 Ensembles dénombrables......Page 32
3.1 Lois de composition internes......Page 36
3.2 Homomorphismes et quotients......Page 39
3.3 Lois de composition externes......Page 40
3.4 Structures algébriques......Page 41
3.5 Symétrisation d'un semi-groupe......Page 42
3.6 Anneau des entiers rationnels......Page 43
6.1 Structure d'anneau......Page 88
6.2 Sous-anneaux, idéaux, quotients......Page 90
6.3 Caractéristique......Page 92
6.4 Sommes et produits d'idéaux......Page 93
6.5 Corps......Page 95
6.6 Localisation......Page 96
6.7 Corps des nombres rationnels......Page 98
6.8 Corps premiers......Page 99
6.9 Matrices......Page 100
7.1 Structure de Module......Page 104
7.2 Sous-modules et quotients......Page 107
7.3 Sommes de modules......Page 109
7.4 Projecteurs......Page 111
7.5 Structure d'algèbre......Page 112
7.6 Familles libres, bases......Page 113
7.7 Dualité......Page 116
7.8 Matrices, trace......Page 120
7.9 Matrices et applications linéaires......Page 121
7.10 Anneaux et modules noethériens......Page 124
4.1 Généralités......Page 46
4.2 Sous-groupes......Page 47
4.3 Quotients......Page 49
4.4 Suites exactes, produits semi-directs......Page 52
4.5 Groupes résolubles......Page 53
4.6 pgcd, ppcm......Page 54
4.7 Quotients du groupe des entiers......Page 57
4.8 Quelques résultats classiques......Page 59
4.9 Sommes de groupes abéliens......Page 60
4.10 Groupes abéliens libres......Page 63
4.11 Groupes abéliens de type fini......Page 66
5.1 Orbites, transpositions, cycles......Page 70
5.2 Signature d'une permutation......Page 73
5.3 Opération d'un groupe sur un ensemble......Page 75
5.4 Applications aux groupes......Page 78
5.5 Simplicité du groupe alterné......Page 80
5.6 Résolubilité du groupe symétrique......Page 81
5.7 Automorphismes intérieurs......Page 82
5.8 Sous-groupes de Sylow......Page 85
8.1 Indépendance linéaire......Page 126
8.2 Dimension finie......Page 128
8.3 Cas général......Page 131
8.4 Rang......Page 132
8.5 Dualité......Page 134
8.6 Matrices et applications linéaires......Page 139
8.7 Changements de bases......Page 140
8.8 Espaces vectoriels sur un corps fini......Page 143
8.9 Applications linéaires......Page 144
9.1 Notations et rappels......Page 148
9.2 Application exponentielle......Page 149
9.3 Dual d'un groupe abélien fini......Page 153
10.1 Définition des polynômes......Page 156
10.2 Degré......Page 158
10.3 Valuation......Page 159
10.4 Divisions......Page 160
10.5 Idéaux, diviseurs, multiples......Page 161
10.6 Polynômes irréductibles......Page 165
10.7 Substitutions......Page 167
10.8 Zéros des polynômes......Page 168
10.9 Dérivations, formule de Taylor......Page 172
10.10 Corps algébriquement clos......Page 174
10.11 Polynômes réels......Page 175
10.12 Relations entre coefficients et racines......Page 176
10.13 Polynômes d'endomorphismes......Page 179
10.14 Endomorphismes semi-simples......Page 182
11.1 Applications multilinéaires......Page 184
11.2 Premières propriétés des déterminants......Page 186
11.3 Déterminant d'un endomorphisme......Page 188
11.4 Déterminant d'une matrice carrée......Page 190
11.5 Calcul des déterminants......Page 191
11.6 Exemples de déterminants......Page 194
11.7 Application au rang......Page 196
11.8 Calculs de dimensions......Page 197
11.9 Polynôme caractéristique......Page 199
12.1 Vecteurs propres, valeurs propres......Page 204
12.2 Diagonalisation......Page 206
12.3 Trigonalisation......Page 208
12.4 Endomorphismes nilpotents......Page 211
12.6 Invariants de similitude......Page 213
13.1 Algèbre d'un monoïde......Page 218
13.2 Définition des polynômes......Page 220
13.3 Degrés......Page 222
13.4 Valuation......Page 223
13.5 Substitutions......Page 224
13.6 Dérivations......Page 225
13.7 Fonctions polynomiales......Page 227
13.9 Polynômes symétriques......Page 228
13.10 Structure des polynômes symétriques......Page 229
13.11 Sommes de puissances......Page 231
13.12 Résultant et discriminant......Page 233
14.1 Généralités......Page 236
14.2 Anneaux factoriels......Page 239
14.3 Anneaux principaux......Page 242
14.5 Entiers de Gauss......Page 243
14.6 Polynômes et anneaux factoriels......Page 245
14.7 Localisation......Page 248
14.8 Facteurs invariants......Page 250
14.9 Diviseurs élémentaires......Page 255
14.10 Quelques remarques......Page 256
15.1 Généralités......Page 258
15.2 Substitutions......Page 259
15.3 Dérivations......Page 262
15.4 Décomposition en éléments simples......Page 264
15.5 Partie polaire, résidus......Page 267
15.6 Un calcul d'intégrales......Page 269
15.7 Théorème des résidus......Page 271
15.8 Autres applications......Page 273
15.9 Fractions rationnelles symétriques......Page 274
16.1 Sous-espaces affines......Page 276
16.2 Systèmes et équations linéaires......Page 277
16.3 Systèmes de Cramer......Page 279
16.4 Cas général......Page 281
16.5 Deux applications......Page 284
16.6 Opérations élémentaires......Page 286
16.7 Applications aux matrices inversibles......Page 289
16.8 Applications au calcul du rang......Page 291
16.9 Applications aux systèmes linéaires......Page 292
17.1 Extensions et adjonctions......Page 296
17.2 Extensions algébriques......Page 297
17.3 Corps de rupture et de décomposition......Page 298
17.4 Clôture algébrique......Page 300
17.5 Racines de l'unité......Page 302
17.6 Corps finis......Page 305
17.7 Extensions quadratiques et involutions......Page 306
17.8 Quelques calculs......Page 308
18.1 Rappels......Page 310
18.2 Espaces normes de dimension finie......Page 312
18.3 Rayon spectral......Page 315
18.4 Exponentielle d'endomorphismes......Page 316
18.5 Résultats de densité......Page 318
18.6 Applications des polynômes symétriques......Page 319
18.7 Classes de conjugaison......Page 321
19.1 Notations......Page 324
19.2 Généralités......Page 325
19.3 Dilatations et transvections......Page 326
19.4 Quelques isomorphismes......Page 328
19.5 Commutateurs......Page 329
19.6 Simplicité......Page 330
20.1 Ordres de certaines matrices......Page 334
20.2 Fonctions d'Euler et de Môbius......Page 338
20.3 Loi de réciprocité quadratique......Page 339
20.4 Unités......Page 342
20.6 Progression arithmétique......Page 344
21.1 Applications semi-linéaires......Page 346
21.2 Formes sesquilinéaires......Page 347
21.3 Formes hermitiennes......Page 350
21.4 Adjoint d'un endomorphisme......Page 352
21.5 Isotropie......Page 353
21.6 Formes équivalentes......Page 358
21.7 Groupe unitaire......Page 362
21.8 Groupe unitaire complexe......Page 365
22.1 Formes quadratiques......Page 368
22.2 La dimension 2......Page 371
22.3 Générateurs......Page 374
22.4 Centres......Page 375
22.5 Commutateurs......Page 377
22.6 Groupe orthogonal euclidien......Page 379
23.1 Généralités......Page 386
23.2 Quaternions et groupes orthogonaux......Page 389
24.1 Généralités......Page 392
24.2 Déterminants de Gram......Page 395
24.3 Endomorphismes hermitiens......Page 397
24.4 Endomorphismes hermitiens positifs......Page 399
24.5 Endomorphismes normaux......Page 401
24.6 Décomposition polaire......Page 402
24.7 Topologie......Page 405
25.1 Généralités......Page 410
25.2 Endomorphismes symétriques......Page 411
25.3 Similitudes......Page 413
25.4 Endomorphismes normaux......Page 415
25.5 Orientation......Page 417
25.6 Produit mixte, produit vectoriel......Page 418
25.7 Produit vectoriel en dimension 3......Page 420
25.8 Topologie......Page 422
BIBLIOGRAPHIE......Page 424
INDEX......Page 426