Mathematiques Exercices incontournables (MP)

Table des Matières......Page 4
Exercice 1.2 : Configuration géométrique......Page 10
Exercice 1.3 : Utilisation d'une base non canonique de Rn [X]......Page 12
Exercice 1.4 : Dés pipés et polynômes......Page 13
Exercice 1.6 : Groupe engendré par deux éléments......Page 14
Exercice 1.7 : Radical d'un idéal......Page 15
Exercice 1.8 : Anneau Z[√2]......Page 17
Exercice 1.9 : Une congruence......Page 19
Exercice 1.10 : Calculs dans Z/ nZ......Page 20
Exercice 1.11 : Lemme chinois et application......Page 22
Exercice 1.12 : Nombres de Fermat......Page 23
Exercice 1.14 : Système de générateurs du groupe orthogonal......Page 24
Exercice 2.1 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes......Page 28
Exercice 2.2 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de fonctions......Page 32
Exercice 2.3 : Étude d'un endomorphisme d'un espace d'endomorphismes......Page 35
Exercice 2.4 : Diagonalisation......Page 38
Exercice 2.5 : Réduction......Page 42
Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3......Page 45
Exercice 2.7 : Trigonalisation......Page 49
Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres......Page 53
Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée......Page 55
Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle......Page 57
Exercice 2.11 : Formes linéaires et base antéduale......Page 60
Exercice 2.12 : Formes linéaires et hyperplans......Page 63
Exercice 2.13 : Théorème de Cayley-Hamilton......Page 67
Exercice 2.14 : Décomposition de Dunford......Page 73
Exercice 3.1 : Noyaux, images et adjoint......Page 82
Exercice 3.2 : Exemple de matrice définie positive......Page 84
Exercice 3.3 : Construction de matrices positives......Page 86
Exercice 3.4 : Endormorphisme normal......Page 87
Exercice 3.5 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice symétrique......Page 90
Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice définie positive......Page 93
Exercice 3.7 : Décomposition polaire......Page 95
Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur les déterminants......Page 96
Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules......Page 100
Exercice 4.3 : Comparaison de normes......Page 101
Exercice 4.4 : Normes équivalentes......Page 103
Exercice 4.5 : Partie dense dans un ensemble de matrices......Page 105
Exercice 4.6 : Partie dense dans un ensemble de polynômes......Page 106
Exercice 4.8 : Application linéaire non continue......Page 107
Exercice 4.9 : Fonction uniformément continue......Page 108
Exercice 4.10 : Applications linéaires non continues......Page 109
Exercice 4.11 : Norme subordonnée......Page 111
Exercice 4.12 : Compacité du groupe des matrices orthogonales......Page 112
Exercice 4.14 : Somme d'un compact et d'un fermé......Page 113
Exercice 4.15 : Suites de Cauchy......Page 114
Exercice 4.16 : Espaces complets......Page 116
Exercice 5.1 : Nature de séries......Page 118
Exercice 5.2 : Nature de séries II......Page 123
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries......Page 129
Exercice 5.4 : Formule de Stirling......Page 134
Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs......Page 137
Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique......Page 140
Exercice 5.7 : Un critère de convergence......Page 142
Exercice 5.8 : Convergence et monotonie......Page 146
Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries......Page 149
Exercice 5.10 : Convergence de série et intégrabilité......Page 158
Exercice 5.11 : Transformation d'Abel......Page 166
Exercice 5.12 : Produits infinis......Page 170
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I......Page 174
Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II......Page 176
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions......Page 178
Exercice 6.4 : Fonction de Riemann......Page 181
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions......Page 187
Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions......Page 190
Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme......Page 195
Exercice 7.1 : Un calcul d'intégrale I......Page 202
Exercice 7.2 : Un calcul d'intégrale II......Page 205
Exercice 7.3 : Changement de variable......Page 209
Exercice 7.4 : Calcul d'une intégrale à paramètre......Page 210
Exercice 7.5 : Fonction Ґ d'Euler......Page 215
Exercice 7.6 : Convergence de l'intégrale de Dirichlet......Page 218
Exercice 7.7 : Transformée de Laplace du sinus cardinal......Page 224
Exercice 7.8 : Calcul de l'intégrale de Dirichlet......Page 225
Exercice 7.9 : Une formule d'Euler......Page 231
Exercice 7.10 : Intégrale de Gauss......Page 240
Exercice 7.11 : Théorème de d'Alembert-Gauss......Page 245
8 Séries de Fourier......Page 252
Exercice 8.1 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier I......Page 254
Exercice 8.2 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier II......Page 257
Exercice 8.3 : Calcul de séries numériques à l'aide de séries de Fourier III......Page 260
Exercice 8.4 : Relation de récurrence sur les coefficients de Fourier......Page 265
Exercice 8.5 : Expression d'une intégrale sous forme de série......Page 268
Exercice 8.6 : Inégalité de Wirtinger......Page 270
Exercice 9.1 : Calculs de sommes de séries numériques......Page 280
Exercice 9.2 : Calculs de rayons de convergence avec la règle de d'Alembert......Page 281
Exercice 9.3 : Calculs de rayons de convergence avec la définition......Page 282
Exercice 9.4 : Domaine de convergence......Page 284
Exercice 9.5 : Convergence et calcul de la somme......Page 285
Exercice 9.6 : Développement d'une fonction en série entière......Page 286
Exercice 9.7 : Avec une suite récurrente linéaire......Page 288
Exercice 9.8 : Convergence radiale......Page 289
Exercice 9.9 : Dénombrement......Page 291
Exercice 9.10 : Détermination d'une somme......Page 293
Exercice 9.11 : Conditions de continuité......Page 294
Exercice 9.12 : Un équivalent de la somme......Page 297
Exercice 9.13 : Limite du quotient de deux sommes......Page 298
Exercice 9.14 : Calcul de la somme d'une série numérique......Page 299
Exercice 10.1 : Variation de la constante ou des constantes ?......Page 302
Exercice 10.2 : Utilisation d'une solution « évidente »......Page 304
Exercice 10.3 : Utilisation d'un changement de variable......Page 306
Exercice 10.4 : Utilisation de séries entières (cas régulier)......Page 307
Exercice 10.5 : Utilisation de séries entières (cas singulier)......Page 309
Exercice 10.6 : Système différentiel d'ordre 2......Page 312
Exercice 10.7 : Système différentiel d'ordre 3 (A trigonalisable)......Page 316
Exercice 10.8 : Utilisation du Wronskien......Page 319
Exercice 10.9 : Équation différentielle autonome......Page 321
Exercice 11.1 : Continuité d'une fonction......Page 324
Exercice 11.2 : À propos du théorème de Schwarz......Page 325
Exercice 11.3 : Différentiabilité d'une fonction......Page 326
Exercice 11.4 : Une équation aux dérivées partielles......Page 327
Exercice 11.5 : Équation des cordes vibrantes......Page 328
Exercice 11.6 : Dérivée directionnelle......Page 330
Exercice 11.7 : Étude d'une suite......Page 331
Exercice 11.8 : Recherche d'extremums......Page 333
Exercice 11.9 : Extremums sur un compact......Page 335
Exercice 11.10 : Extremums sur un compact d'une fonction de n variables......Page 336
Exercice 11.11 : Majoration......Page 337
Exercice 11.12 : D'un extremum local à un extremum global......Page 338
Exercice 11.13 : Détermination d'un facteur intégrant d'une forme différentielle......Page 341
Exercice 11.14 : Calcul d'une intégrale curviligne......Page 343
Exercice 12.1 : Droites tangentes et normales......Page 346
Exercice 12.2 : Plans tangents à une surface......Page 347
Exercice 12.3 : Intersection d'un cône et d'un plan......Page 349
Exercice 12.4 : Équation d'un cylindre......Page 350
Exercice 12.5 : Étude d'une quadrique......Page 352
Exercice 12.6 : Variations sur les normes usuelles du plan......Page 354
Exercice 12.7 : Surface engendrée par rotation......Page 357
Exercice 12.8 : Quadrique dépendant d'un paramètre......Page 359
Exercice 12.9 : Détermination d'un cône......Page 360
Exercice 12.10 : Intersection d'une quadrique avec un plan et projection......Page 362
Index......Page 366