Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie

Le equazioni differenziali sono un argomento fondamentale non solo della matematica, ma anche della fisica, dell’ingegneria e, in generale, di tutte le scienze. Questo volume intende fornire allo studente una panoramica di alcune tra le più interessanti e suggestive questioni relative alle equazioni differenziali ordinarie trattate da un punto di vista geometrico, aprendo uno sguardo verso l’analisi funzionale. Oltre ai risultati classici sulle equazioni lineari, molto spazio è dato ai problemi nonlineari che spesso non sono oggetto dei corsi istituzionali. L'esposizione è tenuta a un livello semplice in modo che il libro possa essere accessibile a studenti dell’ultimo anno della laurea triennale e della laurea magistrale, offrendo anche spunti per ulteriori approfondimenti. Table of Contents Cover Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie ISBN 9788847023932 eISBN 9788823949 Prefazione Notazioni Indice 1 Il problema di Cauchy 1.1 Introduzione 1.2 Esistenza e unicità locale per (PC) 1.3 Dipendenza dai dati iniziali 1.4 Esistenza e unicità globale per (PC) 1.5 Il teorema di esistenza di Peano 1.6 Complementi 1.6.1 Equazioni lineari 1.6.2 Equazioni esatte 1.6.3 L'equazione di Clairaut 1.6.4 Analisi qualitativa 1.6.5 Un teorema di confronto 1.7 Appendice. Dimostrazione del Principio delle Contrazioni di Banach 1.8 Esercizi 2 Sistemi ed equazioni di ordine superiore 2.1 Sistemi ed equazioni di ordine n 2.1.1 Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti nel piano 2.2 Sistemi ed equazioni lineari di ordine n 2.2.1 Equazioni lineari non omogenee 2.2.2 Equazioni a coefficienti costanti 2.2.3 Sistemi a coefficienti costanti 2.3 Complementi 2.4 Esercizi 3 Analisi qualitativa per equazioni autonome del secondo ordine 3.1 Analisi nel piano delle fasi 3.2 L'oscillatore armonico nonlineare 3.3 L'equazione di Van der Pol 3.4 Onde solitarie 3.5 Un risultato di perturbazione 3.6 Esercizi 4 Problemi al contorno per equazioni del secondo ordine 4.1 Autovalori 4.2 Propriet`a degli autovalori e delle autofunzioni 4.3 La funzione di Green 4.4 Esistenza di soluzioni per problemi al contorno nonlineari 4.4.1 Sopra e sotto soluzioni 4.4.2 Autovalori nonlineari 4.5 Esercizi 5 Stabilità (cenni) 5.1 Definizioni 5.1.1 Stabilità nel caso di sistemi lineari nel piano 5.2 Stabilità di sistemi conservativi 5.3 Il metodo di Lyapunov 5.4 Stabilità per linearizzazione 5.5 Esercizi 6 Le equazioni di Eulero-Lagrange 6.1 I funzionali del Calcolo delle Variazioni 6.2 L'equazione di Eulero-Lagrange 6.2.1 Casi particolari dell'equazione di Eulero-Lagrange 6.2.2 Estensioni 6.3 Problemi vincolati 6.4 Condizioni del secondo ordine 6.4.1 Condizioni su.cienti 6.4.2 Regolarit`a 6.5 Metodi diretti (cenni) 7 Alcuni problemi del Calcolo delle Variazioni 7.1 La brachistocrona 7.2 Il principio di Fermat 7.3 Il solido di rotazione di minima resistenza in un .uido 7.4 La catenaria e la super.cie di rotazione di area minima 7.5 Il problema isoperimetrico (cenni) 7.5.1 La diseguaglianza isoperimetrica Bibliografia Indice analitico