Réduction des endomorphismes : Tableaux de Young, Cône nilpotent, Représentations des algèbres de Lie semi-simples

    La réduite de Jordan et les tableaux de Young constituent le thème principal du présent ouvrage. La maîtrise de la réduction s’acquiert par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu’à la géométrie des classes de similitude. Ainsi l’apparente complexité du cas nilpotent s’estompe-t-elle lorsque l’on se ramène à la combinatoire élémentaire des tableaux de Young. Le chemin est alors libre vers l’apprentissage des représentations de l’algèbre de Lie des matrices d’ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples. Les liens subtils entre la réduction de Jordan et les sl₂-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre la structure des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres de Lie sont étudiées et apparaissent alors comme un développement naturel de la réduction simultanée.     Rached MNEIMNÉ est ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud et agrégé de mathématiques. Il est actuellement maître de conférences à l’Université Paris 7, Denis-Diderot, et membre de l’équipe « Théorie des groupes, représentations et applications » qui dépend de l’institut de mathématiques de Jussieu (UMR 7586). Il a publié en 1986, chez Hermann, avec Frédéric Testard, une Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, et en 1997 un ouvrage sur les Actions de groupes, chez Cassini, qui constitue le chapitre zéro de ses Éléments de géométrie. Public concerné : Licence, Master – Agrégation Mathematics Subject Classification (1991): – 13A50 Invariant theory – 14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients) – 15-XX Linear and multilinear algebra; matrix theory – 17B10 Representation, algebraic theory (weights) Sommaire : 1. Introduction 2. Manipulations premières sur la relation de similitude     2.1. Similitude et rang     2.2. Similitude et PG-équivalence     2.3. Similitude et congruence     2.4. Fonctions polynomiales invariantes     2.5. Commutant d’une matrice et matrices de changement de base 3. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal     3.1. Généralités     3.2. Valeur, vecteur et sous-espace propres     3.3. Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres     3.4. Matrices diagonalisables     3.5. Le polynôme caractéristique     3.6. Théorème de Cayley-Hamilton     3.7. Théorème spectral et autre point de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton     3.8. Le théorème spectral – Deux démonstrations     3.9. Discriminant du polynôme caractéristique 4. La partition de M(n, ℂ) en classes de similitude     4.1. La partition donnée par l’égalité des polynômes caractéristiques     4.2. Description des classes de similitude d’une même classe modulo P 5. La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young     5.1. Une suite qui s’essouffle     5.2. Tableaux de Young     5.3. Tableau de Young associé à une valeur propre     5.4. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice nilpotente     5.5. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice quelconque 6. Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent     6.1. Matrices nilpotentes     6.2. Filtration et gradué associés à un endomorphisme nilpotent     6.3. Le cône nilpotent. L’exemple des matrices d’ordre 8     6.4. Cône nilpotent et classes de similitude dans M(2, ℝ) 7. La réduction de Jordan pour elle-même     7.1. Pratique et preuve     7.2. Arrangements possibles d’une base de Jordan     7.3. Degrés de liberté dans le choix d’une base de jordanisation. Les sl₂-triplets     7.4. Réduction de Jordan effective de ad(J_n) 8. Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe δ     8.1. Une première classe     8.2. Une seconde classe 9. Application. Racines carrées de matrices 10. Application au calcul de la dimension du commutant 11. Application. Connexité et centralisateur 12. Matrices régulières 13. Réduction simultanée     13.1. Cas de deux matrices     13.2. Théorèmes d’Engel et de Lie     13.3. Théorème de Kolchin     13.4. Diagonalisation simultanée     13.5. Poids et sous-espace poids     13.6. La représentation irréductible de sl(2, ℂ) de dimension n     13.7. Conjugaison des p-Sylow 14. Un autre point de vue sur la réduction de Jordan. La version K[X]-modules     14.1. Théorème de Jordan et modules injectifs     14.2. Modules simples et modules indécomposables     14.3. La suite exacte longue de Frobenius     14.4. Modules injectifs et dimension infinie     14.5. Qui est le plus fort ?     14.6. Si l’on n’est pas encore convaincu     14.7. Retour sur le commutant. Application au bicommutant     14.8. Les facteurs invariants et la forme normale de Smith 15. Matrices de Hessenberg     15.1. Généralités     15.2. Calcul du déterminant 16. Le cas réel     16.1. Généralités     16.2. De certaines matrices régulières     16.3. Jordanisation réelle     16.4. Graphe d’une armoire à polynôme caractéristique réel et dans M(8, ℂ)     16.5. L’armoire complexe     16.6. La sous-armoire réelle     16.7. Connexité et classes de similitude réelles     16.8. Racines carrées et logarithmes dans le cas réel 17. Similitude et congruence. Les matrices symétriques réelles     17.1. Généralités     17.2. Action du groupe unitaire     17.3. Matrices normales. Premières propriétés     17.4. Matrices normales. Autres caractérisations     17.5. Cas n = 2     17.6. Théorème de Specht     17.7. Matrices symétriques et antisymétriques réelles     17.8. Hausdorffien d’un opérateur     17.9. Théorème de Horn     17.10. Théorème de Liapounov     17.11. Matrices unitairement équivalentes 18. Quelques exemples récapitulatifs     18.1. Une diagonalisation explicite     18.2. Une jordanisation effective     18.3. Autre exemple     18.4. Les ressorts de Trubowitz 19. Laissés de côté 20. Exercices 21. Algèbres de Lie de dimension finie     21.1. Introduction     21.2. Vers la définition abstraite d’une sous-algèbre de Cartan     21.3. Les sous-algèbres de Cartan se ressemblent toutes dans le cas complexe     21.4. Algèbres de Lie semi-simples. Algèbres de Lie résolubles     21.5. Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie semi-simples     21.6. Orbites semi-simples et orbites génériques à la lumière du choix d’une sous-algèbre de Cartan     21.7. Plus loin avec le système de racines R(g, h)     21.8. Petit appendice. Au sujet des systèmes de racines 22. Les représentations irréductibles de dimension finie des algèbres de Lie semi-simples complexes     22.1. Par ailleurs     22.2. Multiplicités des poids     22.3. Chambres de Weyl     22.4. Récapitulons     22.5. Retour sur les vecteurs primitifs     22.6. Faisons maintenant le point     22.7. La variété des sous-algèbres de Borel     22.8. Modules de Verma     22.9. Représentations irréductibles fondamentales     22.10. Représentations irréductibles et isomorphismes de Chevalley, Harish-Chandra et Duflo     22.11. Idéaux primitifs 23. Dernières considérations sur les orbites. Le cône nilpotent 24. Appendice. Poincaré-Birkhoff-Witt     24.1. Introduction     24.2. La démonstration du théorème de P.B.W.     24.3. Retour sur l’algèbre graduée Gr(U(g))     24.4. Quelques considérations sur U(sl(2, ℂ))     24.5. Exercices 25. Examens 26. Postface 27. Bibliographie