Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres

Table des matières
Avant-propos
Notations
TOME I : MÉTHODES ÉLEMENTAIRES
Chapitre 0. QUELQUES OUTILS D’ANALYSE REELLE
0.1 La sommation d’Abel
0.2 La formule sommatoire d’Euler–Maclaurin
Exercices
Chapitre 1. LES NOMBRES PREMIERS
1.1 Introduction
1.2 Les estimations de Tchébychev
1.3 Valuation p-adique de n!
1.4 Le premier théorème de Mertens
1.5 Deux nouvelles formules asymptotiques
1.6 La formule de Mertens
1.7 Un autre théorème de Tchébychev
Notes
Exercices
Chapitre 2. FONCTIONS ARITHMÉTIQUES
2.1 Définitions
2.2 Exemples
2.3 Séries de Dirichlet formelles
2.4 L’anneau des fonctions arithmétiques
2.5 Les formules d’inversion de Möbius
2.6 La fonction de von Mangoldt
2.7 La fonction indicatrice d’Euler
Notes
Exercices
Chapitre 3. ORDRES MOYENS
3.1 Introduction
3.2 Le problème de Dirichlet et le principe de l’hyperbole
3.3 La fonction somme des diviseurs
3.4 La fonction indicatrice d’Euler
3.5 Les fonctions ω et Ω
3.6 Fonction de Möbius et fonctions de Tchébychev
3.7 Entiers sans facteur carre
3.8 Moyenne d’une fonction multiplicative a valeurs dans [0,1]
Notes
Exercices
Chapitre 4. MÉTHODES DE CRIBLE
4.1 Le crible d’Eratosthène
4.2 Le crible combinatoire de Brun
4.3 Application aux nombres premiers jumeaux
4.4 Le grand crible—forme analytique
4.5 Le grand crible—forme arithmétique
4.6 Applications du grand crible
4.7 Le crible de Selberg
4.8 Sommes de deux carres dans un intervalle
Notes
Exercices
Chapitre 5. ORDRES EXTRÉMAUX
5.1 Introduction et définitions
5.2 La fonction τ(n)
5.3 Les fonctions ω(n) et Ω(n)
5.4 La fonction d’Euler φ(n)
5.5 Les fonctions σ_κ(n), κ > 0
Notes
Exercices
Chapitre 6. LA MÉTHODE DE VAN DER CORPUT
6.1 Introduction et rappels
6.2 Intégrales trigonométriques
6.3 Sommes trigonométriques
6.4 Application au théorème de Voronoï
6.5 Équirépartition modulo 1
Notes
Exercices
Chapitre 7. APPROXIMATION DIOPHANTIENNE
7.1 De Dirichlet a Roth
7.2 Meilleures approximations, fractions continues
7.3 Propriétés du développement en fraction continue
7.4 Développement en fraction continue des irrationnels quadratiques
Notes
Exercices
TOME II : MÉTHODES D’ANALYSE COMPLEXE
Chapitre 0. LA FONCTION GAMMA D’EULER
0.1 Définitions
0.2 Formule du produit de Weierstrass
0.3 Fonction Bêta
0.4 Formule de Stirling complexe
0.5 La formule de Hankel
Exercices
Chapitre 1. FONCTIONS GÉNERATRICES : SÉRIES DE DIRICHLET
1.1 Séries de Dirichlet convergentes
1.2 Séries de Dirichlet des fonctions multiplicatives
1.3 Propriétés analytiques fondamentales des séries de Dirichlet
1.4 Abscisse de convergence et valeur moyenne
1.5 Une application arithmétique : le noyau d’un entier
1.6 Ordre de grandeur dans les bandes verticales
Notes
Exercices
Chapitre 2. FORMULES DE SOMMATION
2.1 Formules de Perron
2.2 Applications : deux théorèmes de convergence
2.3 Formule de la valeur moyenne
Notes
Exercices
Chapitre 3. LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
3.1 Introduction
3.2 Prolongement analytique
3.3 Équation fonctionnelle
3.4 Approximations et majorations dans la bande critique
3.5 Première localisation des zéros
3.6 Lemmes d’analyse complexe
3.7 Répartition globale des zéros
3.8 Développement en produit de Hadamard
3.9 Régions sans zéros
3.10 Majorations de ζ'/ζ , 1/ζ et log ζ
Notes
Exercices
Chapitre 4. LE THÉORÈME DES NOMBRES PREMIERS ET L’HYPOTHÈSE DE RIEMANN
4.1 Le théorème des nombres premiers
4.2 Hypothèses minimales
4.3 L’hypothèse de Riemann
4.4 Formule explicite pour ψ(x)
Notes
Exercices
Chapitre 5. LA MÉTHODE DE SELBERG–DELANGE
5.1 Puissances complexes de ζ(s)
5.2 Le résultat principal
5.3 Démonstration du Théorème 5.2
5.4 Une variante du théorème principal
Notes
Exercices
Chapitre 6. DEUX APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES
6.1 Entiers ayant k facteurs premiers
6.2 Répartition des diviseurs en moyenne : loi de l'arcsinus
Notes
Exercices
Chapitre 7. THÉORÈMES TAUBÉRIENS
7.1 Introduction. Dualité théorèmes abéliens/taubériens
7.2 Le théorème de Tauber
7.3 Les théorèmes de Hardy–Littlewood et Karamata
7.4 Le terme d’erreur dans le théorème de Karamata
7.5 Le théorème d’Ikehara
7.6 L’inégalité de Berry–Esseen
7.7 L’holomorphie comme condition taubérienne
7.8 Théorèmes taubériens arithmétiques
Notes
Exercices
Chapitre 8. NOMBRES PREMIERS EN PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES
8.1 Introduction. Caractères de Dirichlet
8.2 Séries L. Le théorème de la progression arithmétique
8.3 Minoration de |L(s,χ)| pour σ ≥ 1. Preuve du Théorème 8.16
8.4 L’équation fonctionnelle des fonctions L(s,χ)
8.5 Formule du produit de Hadamard et régions sans zéro
8.6 Formules explicites pour ψ(x;χ)
8.7 Le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques
Notes
Exercices
TOME III : MÉTHODES PROBABILISTES
Chapitre 1. DENSITÉS
1.1 Définitions. Densité naturelle
1.2 La densité logarithmique
1.3 La densité analytique
1.4 La théorie probabiliste des nombres
Notes
Exercices
Chapitre 2. LOI DE RÉPARTITION D’UNE FONCTION ARITHMÉTIQUE
2.1 Définition—fonctions de répartition
2.2 Fonctions caractéristiques
Notes
Exercices
Chapitre 3. ORDRE NORMAL
3.1 Définition
3.2 L’inégalité de Turán–Kubilius
3.3 Forme duale de l’inégalité de Turán–Kubilius
3.4 Le théorème de Hardy–Ramanujan et autres applications
3.5 Majorations effectives de sommes de fonctions multiplicatives
3.6 Structure normale de la suite des facteurs premiers d’un entier
Notes
Exercices
Chapitre 4. FONCTIONS ADDITIVES ET MULTIPLICATIVES
4.1 Le théorème d’Erdős–Wintner
4.2 Le théorème de Delange
4.3 Le théorème de Halász
4.4 Le théorème d’Erdős–Kac
Notes
Exercices
Chapitre 5. ENTIERS FRIABLES. LA MÉTHODE DU COL
5.1 Introduction. La méthode de Rankin
5.2 La méthode géométrique
5.3 Équations fonctionnelles
5.4 La fonction de Dickman
5.5 Approximations de Ψ(x,y) par la méthode du col
5.6 La fonction de Jacobsthal et le théorème de Rankin
Notes
Exercices
Chapitre 6. ENTIERS SANS PETIT FACTEUR PREMIER
6.1 Introduction
6.2 Équations fonctionnelles
6.3 La fonction de Buchstab
6.4 Approximations de Φ(x,y) par la méthode du col
6.5 Le modèle de Kubilius
Notes
Exercices
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