Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie

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PREMIÈRE PARTIE : THÉORIE DES ENSEMBLES
I. CALCUL PROPOSITIONNEL
1. La disjonction et la conjonction des propositions
2. La négation
3. L'implication
Exercices
II. ALGÈBRE DES ENSEMBLES. OPÉRATIONS FINIES
1. Opérations sur les ensembles
2. Relation avec le calcul propositionnel
3. L'inclusion
4. Espace. Complémentaire d'un ensemble
5. L'axiomatique de l'algèbre des ensembles
6. L'algèbre de Boole
Exercices
III. FONCTIONS PROPOSITIONNELLES. PRODUITS CARTÉSIENS
1. L'opération {x:φ(x)}
2. Les quantificateurs
3. Couples ordonnés
4. Produit cartésien
5. Fonctions propositionnelles de deux variables
6. Produit cartésien de n ensembles. Fonctions propositionnelles de n variables
7. Idéaux et filtres
8. Remarques sur les axiomes
Exercices
IV. LA NOTION DE FONCTION. LES OPÉRATIONS INFINIES
1. La notion de fonction
2. Opérations généralisées
3. La fonction F_x = {y:φ(x,y)}
4. Images et images réciproques déterminées par une fonction
5. Les opérations S(R) et P(R)
6. Familles d'ensembles additives et multiplicatives
7. Familles boréliennes
8. Produit cartésien généralisé
Exercices
V. LA NOTION DE PUISSANCE D'UN ENSEMBLE. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES
1. Fonctions biunivoques
2. Ensembles équipotents
3. Ensembles dénombrables
Exercices
VI. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES CARDINAUX. LES NOMBRES a ET c
1. Addition et multiplication
2. Exponentiation
3. Inégalités entre nombres cardinaux
4. Propriétés du nombre C
Exercices
VII. RELATIONS D'ORDRE
1. Définitions
2. Similitude. Types d'ordre
3. Ordre dense
4. Ordre continu
5. Systèmes inverses. Limites inverses
Exercices
VIII. LE BON ORDRE
1. Le bon ordre
2. Théorème sur l'induction transfinie
3. Théorème sur la comparaison des nombres ordinaux
4. Ensembles de nombres ordinaux
5. Le nombre Ω
6. L'arithmétique des nombres ordinaux
7. Théorème sur la possibilité de bien ordonner un ensemble quelconque
Exercices
DEUXIÈME PARTIE : TOPOLOGIE
IX. ESPACES MÉTRIQUES. ESPACES EUCLIDIENS
1. Espaces métriques
2. Diamètre d'un ensemble. Espaces bornés. Applications bornées
3. Le cube de Hilbert
4. Convergence d'une suite de points
5. Propriétés de la limite
6. Limite dans le produit cartésien
7. Convergence uniforme
Exercices
X. ESPACES TOPOLOGIQUES
]. Définition. Axiomes de la fermeture
2. Rapports avec les espaces métriques
3. Propriétés algébriques de la fermeture
4. Ensembles fermés. Ensembles ouverts
5. Opérations sur les ensembles fermés et les ensembles ouverts
6. Points intérieurs
7. Définition de l'espace topologique à partir de la notion d'ensemble d'ouvert
8. Base et sous-base de l'espace
9. Topologie relativisée aux sous-ensembles d'un espace topologique
10. Comparaison de topologies
Exercices
XI. DIVERSES FAMILLES D'ENSEMBLES. L'ENSEMBLE DÉRIVÉ
1. Ensembles boréliens
2. Ensembles denses. Ensembles frontières
3. Espace T₁, Espaces T₂
4. Points d'accumulation. Points isolés
5. Ensemble dérivé
6. Ensembles denses en soi
Exercices
XII. APPLICATIONS CONTINUES
1. Continuité
2. Cas des espaces métriques
3. Distance d'un point à un ensemble. Extension des fonctions continues
4. Espaces normaux. Généralisation du théorème de Tietze
5. Espaces complètement réguliers
6. Homéomorphismes
7. Exemples d'homéomorphisme
Exercices
XIII. PRODUITS CARTÉSIENS
1. Produit cartésien de deux espaces topologiques
2. Applications continues
3. Invariants de la multiplication cartésienne
4. Diagonale. Graphe d'une fonction
5. Produits cartésiens généralisés
6. X^T comme espace topologique. Le cube I^T
7. Produits cartésiens d'espaces métriques
Exercices
XIV. ESPACES À BASE DÉNOMBRABLE
1. Propriétés générales
2. Espaces séparables
3. Problèmes de puissance
4. Plongement dans le cube de Hilbert
5. Points de condensation. Le théorème de Cantor-Bendixson
Exercices
XV. ESPACES MÉTRIQUES COMPLETS
1. Espaces métriques complets
2. Le théorème de Cantor
3. Le théorème de Baire
4. Extension d'un espace métrique à un espace complet
Exercices
XVI. ESPACES COMPACTS
1. Définition
2. Propriétés fondamentales
3. Produits cartésiens. Théorème de Tychonoff
4. Compactification (de Cech-Stone) des espaces complètement réguliers
5. Espaces compacts métriques
6. Topologie de convergence uniforme de Y^X
7. Topologie compacte ouverte
8. Discontinu de Cantor
9. Applications continues du discontinu de Cantor
Exercices
XVII. CONNEXITÉ
1. Définition. Ensembles séparés
2. Propriétés des espaces connexes
3. Composantes
4. Produits cartésiens d'espaces connexes
5. Les continus
6. Propriétés des continus
Exercices
XVIII. CONNEXITÉ LOCALE
Définitions et exemples
1. Propriétés des espaces localement connexes
2. Arcs. Connexité par arcs
3. Continus localement connexes
Exercices
XIX. NOTION DE DIMENSION
1. Ensembles de dimension 0
2. Propriétés des ensembles de dimension 0
3. Espaces à n dimensions
4. Propriétés des espaces à n dimensions
Exercices
XX. LES SIMPLEXES ET LEURS PROPRIÉTÉS
1. Les simplexes
2. La subdivision simpliciale
3. Dimension d'un simplexe
4. Le théorème du point fixe
Exercices
XXI. COMPLEXES. CHAîNES. HOMOLOGIES
1. Groupes abéliens
2. Simplexes orientés. Chaînes
3. Le bord d'une chaîne. Cycles
4. Groupes d'homologie
5. Nombres de Betti
6. Groupes de cohomologies
Exercices
XXII. COUPURES DU PLAN
1. Propriétés auxiliaires des lignes polygonales
2. Coupures
3. Fonctions complexes qui ne s'annulent nulle part. Existence du logarithme
4. Théorèmes auxiliaires
5. Corollaires des théorèmes auxiliaires
6. Théorèmes sur les coupures du plan
7. Théorèmes de Janiszewski
8. Théorème de Jordan
Exercices
LISTE DES SYMBOLES IMPORTANTS
INDEX