Travaux de Gabber sur L’uniformisation Locale et la Cohomologie Étale des Schémas Quasi-Excellents

Introduction
Remerciements
Leitfaden
Exposé I. Anneaux excellents
1. Introduction
2. Définitions
3. Exemples immédiats.
4. L'exemple de base : les anneaux locaux noethériens complets.
5. Permanence par localisation et extension de type fini
6. Comparaison avec ÉGA IV : le cas des anneaux universellement japonais
7. Comparaison avec ÉGA IV : le cas des anneaux excellents
8. Hensélisation et anneaux excellents
9. Complétion formelle et anneaux excellents
10. Approximation d'Artin et anneaux excellents
11. Exemples de méchants anneaux noethériens
Exposé II. Topologies adaptées à l'uniformisation locale
1. Morphismes maximalement dominants et la catégorie alt/ S
2. Topologies : définitions
3. Formes standard
4. Applications
Exposé III. Approximation
1. Introduction
2. Modèles et approximations à la Artin-Popescu
3. Approximations et topologie des altérations
4. Gradués supérieurs et approximations de complexes
5. Modèles et a-isomorphismes
6. Réduction au cas local noethérien complet
Exposé IV. Le théorème de Cohen-Gabber
1. p-bases et différentielles (rappels)
2. Les théorèmes de Cohen-Gabber en caractéristique >0
3. Autour du théorème de Epp
4. Le théorème de Cohen-Gabber en caractéristique mixte
Exposé V. Algébrisation partielle
1. Préparatifs (rappels)
2. Algébrisation partielle en égale caractéristique
3. Algébrisation partielle première à en caractéristique mixte
Exposé VI. Log régularité, actions très modérées
1. Log régularité
2. Revêtements Kummer étales
3. Actions très modérées
4. Points fixes
Exposé VII. Démonstration du théorèmed'uniformisation locale (faible)
1. Énoncé
2. Réductions : rappel des résultats antérieurs
3. Fibration en courbes et application d'un théorème de A. J. de Jong
4. Résolution des singularités
Exposé VIII. Gabber's modification theorem (absolute case)
1. Statement of the main theorem
2. Functorial resolutions
3. Resolution of log regular log schemes
4. Proof of Theorem 1.1 – preliminary steps
5. Proof of Theorem 1.1 – Abelian inertia
Exposé IX. Uniformisation locale première à
1. Rappel de l'énoncé et premières réductions
2. Log régularité, fin de la démonstration
Exposé X. Gabber's modification theorem (log smooth case)
1. The main theorem
2. Prime to variants of de Jong's alteration theorems
3. Resolvability, log smoothness, and weak semistable reduction
Exposé XI. Produits orientés
1. Construction des produits orientés
2. Tubes et changement de base
3. Produits fibrés
4. Topos évanescents et co-évanescents
Exposé XIIA. Descente cohomologique orientée
1. Acyclicité orientée des morphismes propres
2. Descente cohomologique orientée
Exposé XIIB. On hyper base change
1. A descent formalism
2. Variants and counterexamples
3. Appendix: Proper base change for stacks on topological spaces
Exposé XIII. Le théorème de finitude
1. Introduction
2. Constructibilité via l'uniformisation locale faible
3. Constructibilité et annulation via l'uniformisation locale première à
4. Coefficients -adiques
Exposé XIV. Fonctions de dimension
1. Universelle caténarité des schémas henséliens
2. Spécialisations immédiates et fonctions de dimension
Exposé XV. Théorème de Lefschetz affine
1. Énoncé du théorème et premières réductions
2. Pureté, combinatoire des branches et descente
3. Uniformisation et approximation des données
Exposé XVI. Classes de Chern, morphismes de Gysin,pureté absolue
1. Classes de Chern
2. Morphismes de Gysin
3. Théorème de pureté
4. Conventions de signes
Exposé XVII. Dualité
1. Le morphisme de transition en codimension 1
2. Complexes dualisants putatifs et potentiels
3. Morphismes de transition généraux et classe de cohomologie en degré maximal
4. Compléments sur les complexes dualisants potentiels
5. Existence et unicité des complexes dualisants potentiels
6. Le théorème de dualité locale
7. Anneaux de coefficients généraux
8. Produits tensoriels de complexes non bornés
9. Complexes inversibles
10. Coefficients universels
11. Modules ind-unipotents
12. Le morphisme de bidualité
Exposé XVIIIA. Cohomological dimension: First results
1. Bound in the strictly local case and applications
2. Proof of the main result
Exposé XVIIIB. Dimension cohomologique :raffinements et compléments
1. Préliminaires
2. Construction de Nagata en dimension 2, application cohomologique
3. Séries formelles de Gabber, application cohomologique
4. Dimension cohomologique : majoration d'une « fibre de Milnor générique »
5. Majoration : amélioration
6. Dimension cohomologique d'un ouvert du spectre épointé : minoration
Exposé XIX. Un contre-exemple
1. Introduction
2. La construction
3. Noethérianité de A
4. Étude des points doubles
5. D est localement mais pas globalement un diviseur à croisements normaux
Exposé XX. Rigidité
1. Introduction
2. Lemme de rigidité
3. Rigidité de la ramification
4. Théorème de rigidité de la ramification I : forme faible
5. Rigidité de la ramification II : forme forte
6. Appendice 1 : sorites champêtres
7. Appendice 2: théorème de changement de base propre d'Artin-Grothendieck pour les champs ind-finis sur des schémas non noethériens
8. Appendice 3: sorites sur les gerbes
Exposé XXI. Le théorème de finitudepour les coefficients non abéliens
1. Introduction
2. Image directe de faisceaux d'ensembles constructibles
3. Image directe dérivée de faisceaux de groupes constructibles
4. Cas de codimension 2 sans hypothèse sur la torsion
5. Revêtements principaux d'une surface strictement locale épointée
Appendice A. Facsimilé : Orsay
Appendice B. Facsimilé : Princeton
Bibliographie
Sigles
Index