Reelle Funtionen

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Vorbemerkungen
I. Kapitel. Grundbegriffe der allgemeinen Mengenlehre
§1. Menge, Relation
1. Aussagen
2. Aussagenfunktionen
3. Mengen
4. Relationen
5. Eindeutige Relationen. Funktionen
6. Komplexe, Folgen
§2. Verknüpfungen von Mengen
1. Summe, Durchschnitt, Differenz
2. Auswahl, Produkt
3. Potenz
§3. Mengensysteme, Mengenfolgen
1. Abgeschlossene Mengensysteme
2. Ringe
3. Körper
4. σ-Systeme, δ-Systeme
5. σ-Ringe, δ-Ringe
6. σ-Körper, δ-Körper
7. Limesbildung
8. λ-Systeme
§4. Die Mächtigkeiten
1. Gleichheitsrelationen
2. Aquivalenz, Mächtigkeit
3. Rechnen mit Mächtigkeiten
§5. Beispiele von Mächtigkeiten
1. Abzählbare Mengen
2. Die Mächtigkeit des Kontinuums
3. Die Mächtigkeit 2^N
§6. Geordnete Mengen
1. Ordnende Relationen
2. Ähnliche Abbildungen, Ordnungstypen
3. Addition von Ordnungstypen
4. Der Ordnungstypus η
5. Der Ordnungstypus λ
§7. Die wohlgeordneten Mengen
1. Wohlgeordnete Mengen
2. Abschnitte
3. Ordinalzahlen
4. Transfinite Induktion
§8. Die Vergleichung der Mächtigkeiten
1. Der Wohlordnungssatz
2. Vergleichung von Mächtigkeiten
3. Zahlklassen, Anfangszahlen die Alephs
4. Die Zahlklasse Z₀
II. Kapitel. Punktmengen
§9. Topologische und metrische Räume
1. Topologische Räume
2. Metrische Ràume
3. Beispiele metrischer Räume
4. Entfernung eines Punktes von einer Menge
5. Entfernung zweier Mengen
6. Durchmesser. Beschrânkte Mengen
7. ρ-Netze
§10. Offene, abgeschlossene Mengen
1. Offene Mengen
2. Abgeschlossene Mengen
3. Innere Punkte. Offener Kern
4. Häufungspunkte
5. Abgeschlossene Hülle
6. Rand, Begrenzung
7. Die G_δ und F_σ-Mengen
8. Offen, abgeschlossen als Relativbegriffe
9. Relative G_δ und F_σ
§11. Dichte, nirgends dichte Mengen
1. Dichte Mengen
2. Nirgends dichte Mengen
3. Dicht, nirgends dicht als Relativbegriffe
§12. Isolierte, separierte, insichdichte Mengen
1. Absolute Eigenschaften
2. Isolierte Punkte
3. Isolierte Mengen
4. Insichdichte Mengen
5. Perfekte Mengen
6. Separierte Mengen
7. Insichdichter Kern
8. Kohärenzen, Adhärenzen
9. Ableitungen
§13. Separable Mengen
1. Separable Mengen
2. Mächtigkeitssatze
3. Oberdeckungssatz
4. Verdichtungspunkte
5. Verdichteter, unverdichteter Teil
§14. Regulare und normale Räume
1. Abgesonderte Mengen
2. Regulâre, normale Räume
3. Metrisierung
§15. Kompakte Mengen
1. Kompakte Mengen
2. In sich kompakte Mengen
3. Durchschnittsatz
4. Halbkompakte Mengen
5. Überdeckungssatze
§16. Zusammenhàngende Mengen
1. Zusammenhängende Mengen
2. ρ-Ketten
3. Komponenten
4. Kontinua
5. Gebiete
6. Nulldimensionale Mengen
§17. Mengenfolgen, Punktfolgen
1. Mengenfolgen
2. Haufungspunkte von Punktfolgen
3. Grenzpunkte von Punktfolgen
§18. Vollständige Mengen
1. Cauchysche Folgen
2. Vollständige Mengen
3. Kompakte Mengen in vollständigen Râumen
4. Vervo1lständigung eines Raumes
5. Absolut abgeschlossene Mengen
6. Durchschnittsätze
7. Dyadische Schemata
8. Dyadisch dar stellbare Mengen
9. Dyadische Diskontinua
10. Beschränkte Mengen in vollständigen Räumen
§19. Youngsche Mengen
1. Absolute G_δ
2. Machtigkeitssätze
3. Perfekte Mengen in Youngschen Räumen
4. Mengen erster und zweiter Kategorie
5. Von erster und zweiter Kategorie in einem Punkte
6. In sich von erster (zweiter) Kategorie
7. Residualmengen
8. Residual in einem Punkte
9. Offen bis auf eine Menge erster Kategorie
§20. Produkträuume
1. Produktraum
2. Produktmengen
3. Intervalle im R_n
4. Schichten
III. Kapitel. Der Begriff der Stetigkeit
§21. Halbstetige Abbildungen
1. Unterhalb stetige Abbildungen
2. Oberhalb stetige Abbildungen
3. In sich kompakte Abbildungen
4. Zusammenhängende Abbildungen
5. Charakterisierung durch Urbildmengen
6. Inverse Abbildung
7. Zusammensetzung
§22. Stetige Abbildungen
1. Stetige Abbildungen
2. Gleichmâssige Stetigkeit
3. Teilabbildungen
4. Erweiterung einer Abbildung
§23. Eindeutige stetige Abbildungen
1. Eindeutige stetige Abbildungen
2. Urbildmengen
3. Eindeutige stetige Abbildungen in sich kompakter Mengen
4. Erweiterung
5. Eindeutige stetige Abbildungen lokal-zusammenhängender Mengen
6. Projektion
§24. Homöomorphe Abbildungen
1. Homöomorphe Abbildungen
2. Beispiele
3. Erweiterung einer Homöomorphie
4. Youngsche Mengen
§25. Stetige Funktionen
1. Die unendlichen Zahlen +∞, -∞
2. Die Schrinkungstransformation
3. Der Raum ^-R₁
4. Reelle Funktionen
5. Grenzwert
6. Stetigkeit in einem Punkte
7. Stetige Funktionen
8. Urbildmengen
§26. Unstetige Funktionen
1. Die Hülle einer Funktion
2. Die Schrankenfunktionen
3. Die Schwankung
4. Verteilung der Unstetigkeitspunkte
5. Punktweise unstetige Funktionen
§27. Vernachlässigung von Teilmengen
1. Die redüzierte Hül1e einer Funktion
2. Die redüzierten Schrankenfunktionen
3. Die redüzierte Schwankung
4. Vernaohlässigung von Tei1mengen
5. Teilfunktionen
6. Einseitige Hüllen
7. Einseitige Schrankenfunktionen
§28. Konvergente Funktionenfolgen
1. Uniforme, einfach-gleichmässige, völlig uniforme Konvergenz
2. Quasigleichmässige Konvergenz
3. Gleichmässige Konvergenz in einem Punkte
4. Gleichmässige Konvergenz
5. Der Ungleichmässigkeitsgrad
6. Verteilung der ung1eichmässiger Konvergenz
7. Punktweise ungleichmässige Konvergenz
8. Konvergente Fo1gen stetiger Funktionen
9. Stetige Konvergenz
10. Der Wertebereich einer Fo1ge stetiger Funktionen
§29. Funktionenmengen
1. Grenzschwankung
2. Gleiohgradige Stetigkeit
3. Der normale Kern
4. Kompakte Funktionenmengen
IV. Kapitel. Bore1sche Mengen und Bairesche Funktionen
§30. Die Urbildmengen einer Funktion
1. Urbildmengen
2. Urbildmengen und Funktionensysteme
3. Autarke Funktionensysteme
4. Völlig autarke Funktionensysteme
5. Symmetrische Funktionensysteme
§31. Erweiterung von Mengen- und Funktionenaystemen
1. Die Mengensysteme M¹ und M₁
2. Die Funktionensysteme S¹ und S₁
3. Das Funktionensystem S¹₁
4. Daa Funktionensystem S*
5. Das Mengensystem M¹₁
6. Das Mengensystem M*
§32. Einschiebungs- und Erweiterungssätze
1. Einschiebungssatz für Mengen
2. Einschiebungssatz für Funktionen
3. Erweiterungssätze für Mengen
4. Erweiterungsâtze für Funktionen
5. Treppenfunktionen
§33. Die Borelschen Mengen
1. Die Borelschen Mengen über M
2. Ambige Borelsche Mengen
3. Einschiebung, Erweiterung
4. Die Borelschen Mengen eines metrischen Raumes
5. Absolut Borelsche Mengen
6. Abbildung Borelscher Mengen
7. Borelsche Mengen in Produkträumen
8. Universalmengen
9. Existenzsâtze
§34. Die Baireschen Funktionen
1. Die Baireschen Funktionen über S
2. Ambige Bairesche Funktionen
3. Bairesche Funktionen und Borelsche Mengen
4. Einschiebung und Erweiterung
§35. Die Baireschen Funktionen eines metrischen Raumes
1. Die Baireschen Funktionen eines metrischen Raumes
2. Die Baireschen Funktionen und Borelschen Mengen eines metrischen Raumes
3. Einschiebung und Erweiterung
4. Zusammensetzung
5. Stetigkeitseigenschaften der Baireschen Funktionen
6. Näherungseigenschaften
7. Verhalten in einem Punkte
8. Existenzsatz
9. Die eine Funktion darstellende Menge
§36. Halbstetige Funktionen
L Halbstetigkeit in einem Punkte
2. Halbstetige Funktionen
3. Beispiele halbstetiger Funktionen
4. Bairesche Funktionen und balbstetige Funktionen
§37. Funktionen erster, zweiter und dritter Klasse
1. Funktionen erster Klasse
2. Funktionen erster K1asse und halbstetige Funktionen
3. Funktionen zweiter Klasse
4. Funktionen dritter Klasse
§38. Folgen Bairescher Funktionen
1. Konvergente Folgen Bairescher Funktionen
2. Kompakte Mengen von C^\ksi_\ksiFunktionen
3. Folgen Borelscber Mengen
4. Supremum und Infimum einer Folge Bairescher Funktionen
6. Limes auperior und inferior einer Folge Bairescher Funktionen
6. Konvergenz- und Divergenzmenge
7. Unvollstandige Grenzfunktionen
§39. Funktionen in Produktraumen
1. Hilfsbetrachtungen
2. Partiell stetige Funktionen
3. Stetigkeitspunkte partiell stetiger Funktionen
V. Kapitel. Die analytiscben Mengen
§40. Analytische Mengen
1. Suslinsche Schemata
2. Die analytischen Mengen über M
3. Die analytischen Mengen eines metrischen Raumes
4. Absolut analytische Mengen
5. Abbildungssätze
6. Projektion
7. Analytische Mengen in Produkträumen
8. Universalmengen
9. Existenzsatz
§41. Eigenschaften analytischer Mengen
1. Die Bairesche Eigenschaft
2. Perfekte Teile analytischer Mengen
3. Die Wertmenge einer Funktion
4. Mehrfache Punkte einer Abbildung
§42. Analytische und Borelsche Mengen
1. Trennbarkeit
2. Disjunkte Suslinsche Schemata
3. Abbildungssätze
4. Halbschlichte Abbildungen
5. Borelsche Mengen, deren Schichten abzahlbar sind
6. Minimalpunkte
§43. Implizite Funktionen
1. Umkehrfunktionen
2. Die eine Funktion darstellende Menge
3. Implizite Funktionen
§44. Lusinsche Siebe
1. Abzäh1bare Siebe
2. Analytische Siebe
3. Spezielle Borelsche Siebe
4. Die Konstituenten
Nachträge und Erginzungen
Sachregister
Verzeichnis der verwendeten Symbole