Книга содержит изложение необходимых элементов функционального анализа и тех его направлений, которые непосредственно примыкают к задачам вычислительной математики и ее приложений. В книге изложены элементы теорий вариационных уравнений, обобщенных решений и пространств Соболева, экстремальные задачи теории приближений, теория численного интегрирования, вариационные методы, методы композиции, итерационные, в частности чебышевские методы, явные устойчивые разностные схемы для решения жестких систем уравнений. Для студентов и аспирантов вузов, специализирующихся в области вычислительной или прикладной математики, преподавателей, инженеров-расчетчиков, интересующихся приложениями функционального анализа.
Author(s): Лебедев В.И.
Publisher: ФИЗМАТЛИТ
Year: 2000
Language: Russian
Commentary: 25754+OCR
Pages: 281
Метрические пространства......Page 3
Компактные множества в метрических пространствах......Page 16
Постановка основных экстремальных задач теории приближений. Основные характеристики наилучших приближений......Page 22
Принцип сжатых отображений......Page 29
Линейные пространства......Page 38
Нормированные, банаховы пространства......Page 43
Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства......Page 52
Задачи о наилучшем приближении. Ортогональные разложения и ряды Фурье в гильбертовом пространстве......Page 60
Некоторые экстремальные задачи в нормированном и гильбертовом пространствах......Page 69
Многочлены Чебышева и их свойства. Многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля......Page 75
Некоторые экстремальные многочлены......Page 84
Линейные операторы в банаховых пространствах......Page 105
Пространства линейных операторов......Page 109
Обратные операторы. Линейные операторные уравнения.......Page 112
Спектр и спектральный радиус оператора. Условия сходимости ряда Неймана. Теорема о возмущениях. Мера обусловленности оператора. Оценка ошибки решения возмущенного уравнения......Page 116
Принцип равномерной ограниченности......Page 126
Линейные функционалы и сопряженное пространство......Page 133
Теорема Рисса. Теорема Хана-Банаха. Задача об оптимизации квадратурных формул. Принцип двойственности......Page 140
Сопряженные, самосопряженные, симметричные операторы......Page 147
Собственные значения и собственные элементы самосопряженных и симметричных операторов......Page 155
Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным или симметризуемым оператором и обобщенные решения операторных уравнений......Page 160
Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов......Page 165
Компактные (вполне непрерывные) операторы в гильбертовом пространстве......Page 170
Пространства Соболева. Теоремы вложения......Page 177
Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма. Операторы Дирихле и Неймана. Формула Грина..Эквивалентные операторные уравнения......Page 186
Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка......Page 199
Операторы Пуанкаре-Стеклова и их свойства......Page 203
Уравнения метода композиции......Page 211
Общая теория итерационных методов......Page 219
О существовании сходящихся итерационных методов и их оптимизации......Page 224
Чебышевские одношаговые (двучленные) итерационные методы......Page 231
Чебышевский двухшаговый (трехчленный) итерационный метод......Page 245
Чебышевские итерационные методы для уравнений с симметризуемыми операторами......Page 248
Блочный чебышевский метод, итерационный метод решения уравнений метода композиции......Page 251
Методы спуска......Page 257
Дифференцирование и интегрирование нелинейных операторов. Метод Ньютона......Page 262
Частичная проблема собственных значений......Page 265
Метод последовательного приближения обратного оператора......Page 270
Устойчивость и оптимизация явных разностных схем для решения жестких дифференциальных уравнений......Page 272
