Analysis

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Tabelle, Liste
C. Nachträge (Fortsetzung).
7. Neuere Untersuchungen über Differenzengleichungen. Von N. E. NÖRLUND in Kopenhagen. (Abgeschlossen im April 1922.)
I. Lineare Gleichungen.
1. Ein Satz von Poincaré
2. Fakultätenreihen
3. Interpolationsreihen
4. Integration von Differenzengleichungen durch Fakultätenreihen
5. Untersuchungen von Birkhoff
6. Andere Darstellungen der Lösungen
7. Ein Satz von Holder über die Gammafunktion
II. Nichtlineare Gleichungen.
8. Untersuchungen von Picard
9. Verhalten der Lösungen für große Werte von x
III. Das Summationsproblem.
10. Einfache Summen
11. Mehrfache Summen
IV. Spezielle Differenzengleichungen.
12. Gleichungen, die sich durch hypergeometrische Funktionen oder Gammafunktionen auflösen lassen
13. Die Laplacesche Differenzengleichung
8. Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie. Von H. BOHR in Kopenhagen und H. CRAMÉR in Stockholm. (Abgeschlossen im Mai 1922.)
Erster Teil.
I. Allgemeine Theorie der Dirichletschen Reihen.
1. Definition einer Dirichletschen Reihe
2. Die drei Konvergenzabszissen
3. Der Eindeutigkeitssatz
4. Die Koeffizientendarstellungsformel
5. Beziehung zwischen der Reihe auf der Konvergenzgeraden und der Funktion bei Annäherung an die Konvergenzgerade
6. Das Konvergenzproblem
7. Anwendung der Theorie der diophantischen Approximationen
8. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine Dirichletsche Reihe
9. Der Mittelwertsatz
10. Über die Nullstellen einer Dirichletschen Reihe
11. Zusammenhang verschiedener Dirichletscher Reihen
12. Multiplikation; Dirichletscher Reihen
13. Summabilität Dirichletscher Reihen
II. Die Riemannsche Zetafunktion.
14. Die Zetafunktion und ihre Funktionalgleichung
15. Die Riemann-Hadamardsche Produktentwicklung
16. Die Riemann-v. Mangoldtsche Formel für die Anzahl der Nullstellen
17. Über die Werte von ...(s) auf einer vertikalen Geraden ... = ... (>...-)
18. Über die Größenordnung der Zetafunktion auf vertikalen Geraden
19. Näheres über die Null stellen im kritischen Streifen
20. Folgerungen aus der Riemannschen Vermutung
21. Verallgemeinerte Zetafunktionen
Zweiter Teil.
22. Einleitung. Bezeichnungen
III. Die Verteilung der Primzahlen.
23. Der Primzahlsatz. Ältere Vermutungen und Beweisversuche
24. Die Beweise von Hadamard und de la Vallée Poussin
25. Die Beweismethoden von Landau
26. Andere Beweise
27. Die Restabschätzung
28. Die Riemannsche Primzahlformel
29. Theorie der L-Funktionen
30. Die Verteilung der Primzahlen einer arithmetischen Reihe
31. Andere Primzahlprobleme
IV. Weitere zahlen theoretische Funktionen.
32. Die Funktionen ...(ni), ...(n) und ...(n)
33. Zusammenhangssätze
34. Teilerprobleme
35. Eilipsoidprobleme
36. Allgemeinere Gitterpunktprobleme
37. Verteilung von Zahlen, deren Primfaktoren vorgeschriebenen Bedingungen genügen
38. Neuere Methoden der additiven Zahlentheorie
39. Diophantische Approximationen
V. Algebraische Zahlen und Formen.
40. Quadratische Formen und Körper
41. Die Zetafunktionen von Dedekind und Hecke
42. Die Verteilung der Ideale und der Primideale
9. Neuere Untersuchungen über Funktionen reeller Veränderlichen. Nach den unter der Leitung von E. BOREL in Paris redigierten französischen Referaten bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg.
9 a. Die Punktmengen. Nach dem französischen Artikel von L. ZORETTI in Caen bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg.
Allgemeines.
1. Einleitung
2. Die Anwendungen der Mengenlehre
Grundlegende Eigenschaften der Punktmengen.
3. Lineare Mengen. Definitionen
4. Die Ableitungen einer Punktmenge
5. Der Cantor-Bendixsonsche Satz
6. Nicht abgeschlossene Mengen
7. Mächtigkeit der Punktmengen
8. Die abgeschlossenen und die offenen Mengen
9. Der Boreische Überdeckungssatz und seine Verallgemeinerungen
9 a. Die Mengen erster und zweiter Kategorie
9b. Die Boreischen Mengen
Die Struktur der abgeschlossenen Mengen.
10. Einteilung der abgeschlossenen Mengen
10 a. Die Struktur der allgemeinsten abgeschlossenen Mengen
11. Flächenhafte Kontinua
12. Linienhalte Kontinua
13. Die Begrenzung eines ebenen Gebietes .
13 a. Die Begrenzung eines w-dimensionalen Gebietes
14. Punkthafte Mengen
15. Mengen, die von einem Parameter abhängen
Korrespondenzen zwischen Bereichen von m und n Dimensionen.
16. Die Mächtigkeit des n-dimensionalen Kontinuums. Peano-Kurven
17. Die Invarianz der Dimensionszahl bei umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen
17 a. Die übrigen Invarianten der umkehrbar eindeutigen und stetigen Transformationen
17 b. Sonstige Untersuchungen über umkehrbar eindeutige und stetige Transformationen
Der Inhalt der Punktmengen.
18. Die Cantorsche Inhaltsdefinition
19. Der Jordansche Inhalt
20. Das Bprelsche und das Lebesguesche Maß
20 a Spezielle Sätze über Inhalt und Maß
20 b. Caratheodorys Meßbarkeitstheorie
20 c. Das m-dimensionale Maß im w-dimensionalen Raum
Anwendungen der Mengenlehre.
21. Anwendungen auf die allgemeine Funktionenlehre
22. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen reeller Veränderlichen
23. Anwendungen auf die Theorie der Funktionen komplexer Veränderlichen
24. Anwendungen auf die Analysis situs
Verallgemeinerungen.
25. Die Geradenmengen
26. Die Funktionalrechnung. Allgemeine Bäume
26 a. Raum von unendlich vielen Dimensionen, Funktionenraum und andere spezielle Räume
9 b. Integration und Differentiation. Nach dem französischen Artikel, von P. MONTEL in Paris bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg.
Bestimmtes Integral der beschränkten Funktionen einer Veränderlichen.
27. Das Integral nach Cauchy
28. Das Riemannsche Integral
29. Das obere und untere Integral nach Darboux
30. Das Lebesguesche Integral
31. Geometrische Definition des Integrals
Bestimmtes Integral nicht beschränkter Funktionen.
32. Uneigentliche Integrale
33. Das Lebesguesche Integral für nicht beschränkte Funktionen
34. Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals
35. Andere Verallgemeinerungen des Integralbegriffs
35 a. Integraldefinitionen von W. H. Young, J. Pierpont und F. Riesz
35 b. Das Boreische Integral
35 c. Das Denjoysche Integral
35 d. Das Stieltjessche Integral
35 e. Die Hellingerschen Integrale
35 f. Das Perronsche Integral
Integration von Reihen.
36. Integrierbarkeit der Grenzfunktionen
37. Gliedweise Integrierbarkeit
Ableitungen und primitive Funktionen.
38. Eigenschaften der vier Derivierten
39. Eigenschaften der Ableitungen
40. Existenz der Ableitungen
40 a. Beziehungen zwischen den vier Derivierten
41. Integrierbarkeit der Ableitungen und der vier Derivierten
42. Bestimmung einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitung oder einer ihrer vier Derivierten
43. Wirkliche Aufsuchung der primitiven Funktionen einer gegebenen Derivierten oder einer gegebenen Ableitung
44. Funktionen, die unbestimmte Integrale sind
44 a. Allgemeinere Auffassung des unbestimmten Integrals
44 b. Die approximativen Ableitungen
Integrale und Ableitungen der Funktionen mehrerer Veränderlichen.
45. Meßbare Funktionen. Summierbare Funktionen. Mehrfache Lebesguesche Integrale
46. Partielle Ableitungen und totales Differential
47. Die unbestimmten Integrale und ihre Differentiation
48. Integration partieller Differentialgleichungen
9 c. Funktionenfolgen. Nach dem französischen Artikel von M. FRÉCHET in Poitiers (jetzt in Straßburg) bearbeitet von A. ROSENTHAL in Heidelberg. (Abgeschlossen im Juli 1923.)
Reihen und Folgen von Funktionen einer Veränderlichen.
49. Gleichmäßig konvergente Reihen von stetigen Funktionen
49 a. Die Verteilung der Stellen gleichmäßiger und ungleichmäßiger Konvergenz
49 b. Gleichgradig stetige Funktionenmengen
50. Der Weierstraßsche Satz
51. Interpolation. Beste Approximation
52. Quasi-gleichmäßige Konvergenz
53. Grenzfunktionen stetiger Funktionen
54. Die Baireschen Funktionenklassen
54 a. Klassifikation der Boreischen Mengen und ihre Beziehungen zu den Baireschen Funktionen
55. Die analytisch darstellbaren Funktionen
56. Konvergenzcharakter von Folgen meßbarer Funktionen
57. Konvergenz im Mittel
57 a. Allgemeine Beziehungen zwischen meßbaren Funktionen und Baireschen Klassen
Reihen und Folgen von Funktionen mehrerer Veränderlichen.
58. Funktionen mehrerer Veränderlichen
10. Neuere Untersuchungen über trigonometrische Reihen. Von E. HILB in Würzburg und M. RIESZ in Stockholm. (Abgeschlossen am 24. Juli 1922.)
1. Festsetzungen und Bezeichnungen
2. Geschichtlicher Überblick
I. Fouriersche Reihen.
3. Fourierkoeffizienten
4. Konvergenz der Fourierschen Reihe
5. Die konjugierte Reihe
6. Gleichmäßige Konvergenz und absolute Konvergenz
7. Verschiedene Konvergenz- und Divergenzerscheinungen
8. Summationsverfahren
9. Die Besselsche Ungleichung und der Parsevalsche Satz
10. Der Riesz-Fischersche Satz und verwandte Sätze
11. Operationen mit Fourierreihen
II. Allgemeine trigonometrische Reihen.
12. Die Arbeit Riemanns
13. Weiterentwicklung im Anschluß an Riemann
14. Konvergenz- und Divergenzerscheinungen bei allgemeinen trigonometrischen Reihen
III. Anhang.
15. Mehrfache Fourierreihen und trigonometrische Reihen
16. Der Grad der Annäherungen
11. Allgemeine Reihenentwicklungen. Von E. HILB in Würzburg und O. SZÁSZ in Frankfurt. (Abgeschlossen im Juli 1922.)
Erster Teil. Entwicklungen bei reellen unabhängigen Veränderlichen.
I. Allgemeine Sätze über Entwicklungen nach orthogonalen, polaren und biorthogonalen Funktionensystemen.
1. Auftreten orthogonaler und biorthogonaler Funktionensysteme
2. Sätze über die Fourierkoeffizienten
3. Abgeschlossenheit eines orthogonalen Funktionensystems. Entsprechende Sätze für biorthogonale Systeme
4. Aufstellung notwendiger und hinreichender Bedingungen für die Möglichkeit der Reihenentwicklungen von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften. Singuläre Integrale
5. Integraldarstellungen
II. Entwicklungen nach den Eigenfunktionen linearer Differentialgleichungen.
6. Auftreten der Reihenentwicklungen in der mathematischen Physik
7. Randwertaufgaben
8. Die Greensche Funktion bei gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen sich selbst adjungierter Probleme
9. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen partieller Differentialgleichungen vom elliptischen Typus
10. Angenäherte Darstellung der Integrale linearer Differentialgleichungen für große Parameterwerte
11. Entwicklungstheoreme nach den Eigenfunktionen nicht selbstadjun-gierter Probleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen
12. Historischer Überblick
13. Darstellungen bei Auftreten singulärer Stellen der Differentialgleichungen
Zweiter Teil. Entwicklungen bei komplexen unabhängigen Veränderlichen.
Einleitung
1. Der Konvergenzbereich der Faktoriellenreihen
2. Gleichmäßige Konvergenz
3. Absolute Konvergenz
4. Summabilität der Faktoriellenreihen
6. Beziehungen zu Dirichletschen Reihen
6. Darstellbarkeitsbedingungen
7. Entwicklungen nach den Näherungsnennern eines Kettenbruches
8. Entwicklungen nach den Integralen linearer Differentialgleichungen
9. Sonstige Reihenentwicklungen
10. Approximation
12. Neuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Von L. LICHTENSTEIN in Leipzig. (Abgeschlossen im März 1924.)
I. Bezeichnungen und Abkürzungen.
1. Bezeichnungen und Abkürzungen
II. Lineare Differentialgleichungen.
2. Die erste Randwertaufgabe
a) Beschränkte ebene Gebiete. Lineare Differentialgleichungen in der Normalform. Methode der sukzessiven Approximationen. Das alternierende Verfahren
b) Beschränkte Gebiete der Klasse E oder D in .... Zurückführung auf eine lineare Integralgleichung
c) Beschränkte Gebiete der Klasse B oder D in .... Die am Rande verschwindende Greensche Funktion
d) Beschränkte Gebiete allgemeiner Natur in ...
e) Beschränkte Gebiete in .... Allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zurückführung auf die Normalform. Konforme Abbildung nichtanalytischer Flächenstücke auf ebene Gebi
f) Unitätssätze
g) Gebiete in ...m. Räumliche Gebiete
3. Das zweite Randwertproblem. Höhere Randwertaufgaben
4. Einige allgemeine Eigenschaften der Lösungen linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus
5. Sich selbst adjungierte lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus
a) Existenz der Eigenwerte. Entwicklungssätze
b) Eigenwerte in Abhängigkeit von dem Gebiete und der Randbedingung. Asymptotische Verteilung der Eigenwerte
III. Nichtlineare Differentialgleichungen.
6. Analytischer Charakter der Lösungen
7. Randwertaufgaben
a) Lösungen in der Nachbarschaft einer gegebenen Lösung
b) Randwertaufgaben ohne einschränkende Voraussetzungen über die Größe des Gebietes oder den Wert etwaiger in der Differentialgleichung vorkommenden Parameter
c) Die Differentialgleichung Au = keu (kc> 0)
Nachtrag
13. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten. Von ERNST HELLINGER in Frankfurt a. M. und OTTO TOEPLITZ in Kiel. (Abgeschlossen im Juni 1927.)
I. Ursprung der Theorie.
1. Der allgemeine algebraische Grundgedanke
2. Der besondere Typus der Integralgleichung zweiter Art
3. Die Entwicklung nach Iterierten (Neumannsche Methode)
4. Der lösende Kern (Resolvente)
5. Die Fredholmsche Entdeckung
6. Hilberts Eigenwerttheorie
7. Umgrenzung des Funktionenbereiches
8. Übergang zu unendlichvielen Veränderlichen
II. Auflösungstheorie.
A. Die linearen Integralgleichungen zweiter Art.
9. Die Fredholmsche Theorie
10. Andere Auflösungsmethoden
11. Die iterierten und assoziierten Kerne
12. Uneigentlich singuläre Integralgleichungen
13. Allgemeinere Integrationsbereiche. Systeme von Integralgleichungen
14. Besondere Kerne
B. Die Methode der unendlichvielen Veränderlichen.
15. Zusammenhang zwischen Integralgleichungen und linearen Gleichungssystemen mit unendlichvielen Unbekannten
16. Huberts Theorie der vollstetigen Gleichungssysteme
C. Andere Untersuchungen über lineare Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten und lineare Integralgleichungen.
17. Die Methode der unendlichen Determinanten
18. Theorie der beschränkten Gleichungssysteme
19. Die allgemeinsten Gleichungssysteme für Unbekannte von konvergenter Quadratsumme
20. Andere Konvergenzbedingungen für die Unbekannten
21. Eigentlich singuläre Integralgleichungen zweiter Art
22. Integralgleichungen erster Art. Momentenproblem
23. Neuere Untersuchungen über lineare Volterrasche Integralgleichungen
24. Lineare Funktionaloperationen
a) Die Algebra der Funktionaloperationen
b) Der Standpunkt der Mengenlehre
c) Der formal-abstrakte Standpunkt (general analysis)
d) Besondere lineare Funktionalgleichungen
D. Nichtlineare Probleme.
25. Nichtlineare Integralgleichungen und nichtlineare Gleichungssysteme mit unendlichvielen Unbekannten
26. Vertauschbare Kerne
27. Integrodifferentialgleichungen
28. Nichtlineare Funktionaloperationen
29. Numerische Behandlung linearer und nichtlinearer Probleme
III. Eigenwerttheorie.
A. Integralgleichungen mit reellem symmetrischem Kern.
30. Eigenwerte und Eigenfunktionen
31. Die iterierten und assoziierten Kerne
32. Die Extremumseigenschaften der Eigenwerte
33. Die Existenz der Eigenwerte
34. Entwicklungssätze
35. Abhängigkeit der Eigenwerte vom Integrationsbereich und ihr asymptotisches Verhalten
36. Uneigentlich singuläre symmetrische Integralgleichungen. Allgemeinere Integrationsbereiche. Systeme von Integralgleichungen
37. Besondere symmetrische Kerne
B. Integralgleichungen mit unsymmetrischem Kern.
38. Besondere unsymmetrische Kerne, die sich wie symmetrische verhalten
39. Elementarteilertheorie der allgemeinen unsymmetrischen Kerne (Entwicklung nach Hauptfunktionen)
C. Die vollstetigen quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen.
40. Huberts Hauptachsentheorie der vollstetigen quadratischen Formen
41. Besondere vollstetige Bilinearformen, die sich wie quadratische Formen verhalten
42. Elementarteilertheorie der allgemeinen vollstetigen Bilinearformen
D. Weitere Untersuchungen über quadratische und bilineare Formen von unendlichvielen Veränderlichen.
43. Beschränkte quadratische Formen von unendlichvielen Veränderlichen
44. Eigentlich singuläre Integralgleichungen zweiter Art mit symmetrischem Kern
45. Der allgemeine Standpunkt der Funktionaloperationen
a) Die Algebra der Funktionaloperationen
b) Der formal-abstrakte Standpunkt (general analysis)
c) Die methodische Auswirkung der Theorie
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Nachwort der Redaktion
Register zu Band II, 3. Teil