4MA033 Théorie des nombres I

Chapitre 1. Notions d'algèbre commutative
1.1. Anneaux noethériens
1.2. Le corps des fractions d'un anneau intègre
1.3. Idéaux fractionnaires
1.4. Idéaux inversibles, le groupe de Picard
Chapitre 2. Divisibilité
2.1. La notion de divisibilité dans un anneau intègre
2.2. Élements et idéaux Irréductibles
2.3. Anneaux factoriels
2.4. Anneaux de Dedekind
2.5. Plus grand commun diviseur, plus petit commun multiple
2.6. Anneaux de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel
2.7. Anneaux euclidiens
Chapitre 3. Extensions de corps
3.1. La caractéristique d'un corps
3.2. Compléments sur les polynômes
3.3. Extensions de corps
3.4. Le degré d'une extension, extensions finies, corps de nombres
3.5. Extensions algébriques
3.6. Corps de rupture et corps de décomposition
3.7. Le théorème de l'élément primitif
3.8. Norme, trace et polynôme caractéristique
Chapitre 4. Corps finis
4.1. Préliminaires
4.2. Cardinal et degré
4.3. Le groupe multiplicatif d'un corps fini
4.4. Existence et unicité
4.5. L'automorphisme de Frobenius
Chapitre 5. La loi de réciprocité quadratique
5.1. Le symbole de Legendre
5.2. Symbole de Legendre et norme
5.3. La loi de réciprocité quadratique
5.4. Le symbole de Jacobi
Chapitre 6. Extensions entières
6.1. Éléments entiers sur un anneau
6.2. Algèbres finies et algèbres libres
6.3. Algèbres entières, clôture intégrale
6.4. Existence de bases, le théorème de la base adaptée
6.5. Extensions d'un anneau de Dedekind
6.6. Extension et restriction des idéaux
6.7. L'anneau des entiers d'un corps de nombres
Chapitre 7. Corps quadratiques
7.1. Extensions quadratiques de corps
7.2. L'anneau des entiers
7.3. Idéaux maximaux de l'anneau des entiers, le discriminant
7.4. La norme d'un idéal
7.5. La finitude du groupe des classes
7.6. Le groupe des unités
Appendice A. Groupes
A.1. Ensembles et relations
A.2. Structure de groupe sur un ensemble
A.3. Sous-groupes
A.4. Sous-groupe engendré par un sous-ensemble, familles génératrices
A.5. Le théorème de Lagrange
A.6. Conjugaison, sous-groupes distingués, groupes quotient
A.7. Homomorphismes
A.8. Sous-groupes et quotients de Z, groupes cycliques
A.9. Action d'un groupe sur un ensemble
A.10. Suites exactes
Appendice B. Anneaux
B.1. Anneaux et sous-anneaux
B.2. Idéaux et anneaux quotient
B.3. Somme, intersection et produit d'idéaux
B.4. Homomorphismes
B.5. Idéaux étrangers, le théorème des restes chinois
B.6. Éléments réguliers, inversibles et diviseurs de zéro
B.7. Idéaux premiers et maximaux
B.8. Algèbres sur un anneau
B.9. Anneaux de polynômes
Appendice C. Solutions des exercices
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