Dieses Buch schlägt eine Brücke zwischen den mathematischen Grundlagen aus der Schule und den fachlichen Anforderungen an der Hochschule. Für MINT-interessierte Schülerinnen und Schüler reicht der reguläre Mathematikunterricht häufig nicht als Vorbereitung auf ein Studium aus - wichtige Themen werden entweder ganz weggelassen oder können aus Zeitmangel nur oberflächlich behandelt werden. Aufbaukurse an der Schule sowie Vorkurse an der Hochschule sind deshalb inzwischen weit verbreitet, sie bieten den angehenden Studierenden eine wichtige Einstiegshilfe in die Grundvorlesungen naturwissenschaftlicher Fächer. Bücher wie das vorliegende unterstützen dabei sowohl den Lernenden wie auch den Lehrenden.
Dieser Band enthält eine gut verständliche Einführung in grundlegende Konzepte der Analysis wie Komplexe Zahlen, Grenzwerte, Stetigkeit oder auch Taylorreihen.
Die zweite Auflage wurde um die wesentlichen Verfahren der Linearen Algebra erweitert, insbesondere Vektor-und Matrizenrechnung sowie lineare Gleichungssysteme. Eine Vielzahl an Beispielen und ausführlich gelösten Übungsaufgaben hilft dabei, den Stoff aufzufrischen, zu vertiefen oder sogar erst ganz neu zu erlernen. Zudem werden ausgewählte Themen des Buches in Videos ausführlich dargestellt, um das Selbststudium ergänzend zu unterstützen.
Author(s): Sabrina Proß; Thorsten Imkamp
Edition: 2. Auflage
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2023
Language: German
Pages: 503
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 0 Algebra-Grundwissen
0.1 Zahlenbereiche
0.2 Elementare Rechengesetze
0.3 Bruchrechnung
0.4 Binomische Formeln
0.5 Potenzgesetze
0.6 Wurzelgesetze
0.7 Logarithmusgesetze
0.8 Summen- und Produktzeichen
0.9 Verallgemeinerung der Binomischen Formeln –
Pascal’sches Dreieck
0.10 Aufgaben
Kapitel 1 Beweisverfahren
1.1 Vollständige Induktion
1.2 Der direkte Beweis
1.3 Der indirekte Beweis
1.4 Aufgaben
Kapitel 2 Aussagenlogik und Mengenlehre
2.1 Grundbegriffe der Aussagenlogik
2.2 Grundbegriffe der Mengenlehre
2.3 Die Menge der reellen Zahlen
2.4 Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper
2.5 Aufgaben
Kapitel 3 Abbildungen
3.1 Abbildung und Umkehrabbildung
3.2 Trigonometrische Abbildungen
3.3 Verkettung von Abbildungen
3.4 Aufgaben
Kapitel 4 Gleichungen und Ungleichungen
4.1 Quadratische Gleichungen, biquadratische Gleichungen
und Polynome
4.2 Ungleichungen
4.3 Absolutbeträge, Betragsgleichungen, Betragsungleichungen
4.4 Bruchterme, Bruchgleichungen, Bruchungleichungen
4.5 Wurzelgleichungen
4.6 Exponential- und Logarithmusgleichungen
4.7 Lineare Gleichungssysteme
4.8 Aufgaben
Kapitel 5 Komplexe Zahlen
5.1 Rechnen mit komplexen Zahlen
5.2 Darstellung komplexer Zahlen
5.3 Komplexe Wurzeln
5.4 Aufgaben
Kapitel 6 Folgen und Reihen
6.1 Folgen reeller Zahlen
6.2 Grenzwert von Folgen
6.3 Grenzwertsätze
6.4 Reihen
6.5 Aufgaben
Kapitel 7 Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen
7.1 Grenzwerte bei Funktionen
7.2 Stetigkeit
7.3 Rationale Funktionen
7.4 Aufgaben
Kapitel 8 Differentialrechnung
8.1 Das Tangentenproblem
8.2 Ableitungsregeln
8.3 Sätze aus der Differentialrechnung: Funktionsuntersuchung
8.4 Berechnung spezieller Grenzwerte –
Die de l’Hospital’schen Regeln
8.5 Aufgaben
Kapitel 9 Integralrechnung
9.1 Einführung
9.2 Integrationsverfahren
9.2.1 Partielle Integration
9.2.2 Substitutionsregel
9.2.3 Partialbruchzerlegung
9.3 Uneigentliche Integrale
9.4 Die Gammafunktion
9.5 Aufgaben
Kapitel 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
10.1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
10.2 Separation der Variablen und Substitution
10.3 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
10.4 Aufgaben
Kapitel 11 Taylorreihen und Polynomapproximationen
11.1 Grundbegriffe und Beispiele
11.2 Eine Anwendung aus der Physik
11.3 Aufgaben
Kapitel 12 Vektoren
12.1 Grundbegriffe
12.2 Rechenoperationen und Vektorraum
12.3 Skalar- und Vektorprodukt
12.4 Aufgaben
Kapitel 13 Matrizen und lineare Gleichungssysteme
13.1 Rechenoperationen für Matrizen
13.2 Determinante
13.3 Rang
13.4 Inverse
13.5 Lösung von linearen Gleichungssystemen
13.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
13.7 Aufgaben
Kapitel 14 Lösungen: Algebra-Grundwissen
Kapitel 15 Lösungen: Beweisverfahren
Kapitel 16 Lösungen: Aussagenlogik und Mengenlehre
Kapitel 17 Lösungen: Abbildungen
Kapitel 18 Lösungen: Gleichungen und Ungleichungen
Kapitel 19 Lösungen: Komplexe Zahlen
Kapitel 20 Lösungen: Folgen und Reihen
Kapitel 21 Lösungen: Grenzwerte und Stetigkeit bei Funktionen
Kapitel 22 Lösungen: Differentialrechnung
Kapitel 23 Lösungen: Integralrechnung
Kapitel 24 Lösungen: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Kapitel 25 Lösungen: Taylorreihen und Polynomapproximationen
Kapitel 26 Lösungen: Vektoren
Kapitel 27 Lösungen: Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Literaturverzeichnis
Sachwortverzeichnis
