線形代数汎論

まえがき
目次
1. 線形代数の周辺
1.1 行列，行列式，線形代数小史
1.2 用語について
1.3 人名について
1.4 記号について
2. 行列と行列式
2.1 行列
2.2 行列算
2.2.1 和と差
2.2.2 積
2.2.3 スカラー倍
2.2.4 行列算の諸公式
2.3 対称行列，Hermite 行列，置換行列，基本行列
2.3.1 行列の転置と Hermite 共役
2.3.2 置換行列と基本行列
2.4 部分行列，ブロック行列，Kronecker積
2.4.1 部分行列と行列の分割
2.4.2 Kronecker 積
2.5 交代化演算
2.5.1 交代化の定義
2.5.2 交代化演算の諸性質
2.6 行列式
2.6.1 行列式の定義と基本性質
2.6.2 行列式の既約性
2.6.3 特殊な形の行列の行列式
2.7 小行列式，余因子，余因子行列
2.7.1 小行列式
2.7.2 トレース
2.7.3 余因子，余因子行列
2.8 行列式の展開
2.8.1 Laplace 展開
2.8.2 一般化 Laplace 展開
2.8.3 Binet-Cauchy 展開
2.9 Pfaffian
2.10 逆行列
2.10.1 正則行列と逆行列
2.10.2 逆行列，余因子行列に関する諸公式
2.10.3 Jacobi 型の公式
2.10.4 Sylvester 型の公式
2.10.5 行列式のもう一つの特徴づけ
2.10.6 Kronecker 積の行列式
2.11 同次の小行列式の間の関係
2.11.1 Grassmann-Plücker の恒等式
2.11.2 Kronecker-Runge の恒等式
2.12 極限と微積分
2.12.1 行列級数
2.12.2 微分
2.13 階数，項別階数
2.13.1 階数
2.13.2 項別階数
2.14 直交行列，ユニタリ行列，正規行列
2.14.1 直交行列
2.14.2 ユニタリ行列
2.14.3 正規行列
2.15 基本的な変形
2.15.1 基本変形
2.15.2 枢軸変換
2.15.3 LU 分解
2.15.4 Cholesky 分解
a. 対称行列
b. Hermite 行列
c. 反対称行列
2.15.5 QR 分解
2.15.6 単因子
GCD算法
2.16 特殊な行列と行列式
2.16.1 Vandermonde 行列
2.16.2 Gram 行列式
2.16.3 Hilbert 行列
2.16.4 Cauchy 行列
2.16.5 Hadamard 行列
2.16.6 Hankel 行列と Toeplitz 行列
2.16.7 巡回行列
2.17 パーマネント
2.17.1 パーマネントの定義と基本的性質
2.17.2 van der Waerden の予想
演習問題
3. ベクトル空間
3.1 ベクトル空間
3.1.1 ベクトル空間の定義
3.1.2 ベクトルの独立性，従属性
3.1.3 べクトル空間の次元と基底
3.1.4 行列の列の独立性と行列の階数
3.1.5 ベクトルのノルム
3.2 部分空間，補空間
3.2.1 部分空間
3.2.2 部分空間の共通部分と和
3.2.3 補空間，商空間
3.3 線形写像
3.3.1 線形写像と行列表現
3.3.2 線形写像のノルム
3.3.3 零空間と像空間
3.3.4 不変部分空間
3.4 双対ベクトル空間
3.4.1 線形形式，双対空間，スカラー積
3.4.2 双対基底
3.4.3 反傾変換，双対変換，対称変換
3.5 双線形形式と二次形式
3.5.1 双線形形式
3.5.2 複素共役線形形式，複素双線形形式
3.5.3 二次形式，Hermite 形式
3.5.4 定符号形式，内積，計量
3.5.5 交代形式
3.6 正規直交系
Hadamardの不等式 (Hadamard's inequality)
3.7射影
3.7.1 射影
3.7.2 正射影
演習問題
4. 線形方程式系
4.1 線形方程式系
4.2 有理解法
4.3 解の存在と一意性
4.3.1 解の存在条件
4.3.2 解の一意性条件
4.3.3 解空間の基底表現
4.4 反復解法
4.4.1 線形反復解法とその収束性
4.4.2 Jacobi 反復
4.4.3 Gauss-Seidel 反復
4.4.4 その他の反復
4.5 特殊な形の線形方程式系
4.5.1 巡回行列を係数行列とする方程式系
4.5.2 Toeplitz 行列を係数行列とする方程式系
4.5.3 Sylvester の方程式
4.6 最小二乗法
演習問題
5. 固有値
5.1 固有値と固有ベクトル
5.2 Schur 形と応用
5.2.1 Schur 形
5.2.2 ユニタリ相似(ユニタリ合同)変換による行列の対角化
5.2.3 Gershgorin の定理と一般化
5.2.4 Hermite 行列の固有値に関する最大・最小定理，Rayleigh 商
Hermite 行列の固有値に関する最大・最小定理
5.2.5 固有値の摂動
5.3 Cayley-Hamilton の定理
5.4 最小消去多項式，最小多項式
5.4.1 Krylov 列と巡回部分空間
5.4.2 消去多項式
5.4.3 最小多項式
5.4.4 A-xI の単因子
5.5 Kronecker 積の固有値
5.6 値域
演習問題
6. 行列の標準形と応用
6.1 既約形
6.1.1 既約形
6.1.2 周期標準形
6.2 Dulmage-Mendelsohn 形
6.3 組合せ正準形
6.3.1 組合せ正準形
6.3.2 ブロック階数
6.4 階数標準形
6.5 Sylvester 形
6.6 整数行列の Hermite 標準形，Smith 標準形
6.6.1 Hermite 標準形
6.6.2 Smith 標準形
6.6.3 整数 Farkas 定理
6.7 有理標準形
6.8 Jordan 標準形
6.8.1 Jordan標準形
6.8.2 有理標準形との関係
6.8.3 固有空間と一般化固有ベクトルの構造
6.8.4 線形反復
6.8.5 行列多項式，行列関数
6.8.6 微分方程式，差分方程式
6.8.7 レゾルベントと摂動
6.9 特異値標準形
7. 一般逆行列
7.1 一般逆変換と一般逆行列
7.2 最小ノルム形一般逆行列
7.3 最小誤差形一般逆行列
7.4 反射形一般逆行列
7.5 Moore-Penrose 形一般逆行列
8. 非負行列
8.1 非負行列，M行列
8.1.1 非負行列，M行列
8.1.2 Perron-Frobenius の定理
8.2 確率行列と Birkhoff の定理
8.2.1 確率行列
8.2.2 二重確率行列と Birkhoff の定理
整数性定理
9. 行列束
9.1 行列束
9.2 一般化固有値問題と正則な行列束
9.3 一般の行列束の標準形
A. 行列式と Pfaffian に対する組合せ論的接近法
A.1 有向グラフ
A.2 無向グラフ
A.3 置換，順列とその符号
A.4 除算を使わない行列式の計算法
A.5 Pfaftian に対する組合せ論的接近法と除算を使わない Pfaflian の計算法
索引
A-I
J-V
い
う・え・お・か・き・く
け・こ・さ・し
す・せ・そ・た
ち・て・と・な・に・ね・の・は
ひ・ふ・へ・ほ・ま・み・む・も・ゆ
よ・ら・り・る・れ・わ