Linearna algebra jedna je od tradicionalnih matematičkih disciplina, a izvorište joj je u nalaženju rješenja linearnih jednadžbi. Problem rješavanja sustava takvih jednadžbi iznimno je važan zbog svekolikih primjena u ostalim granama matematike, pa i u drugim znanostima, danas posebno u numeričkoj matematici i računarstvu.
Ovaj je udžbenik napisan na temelju dugogodišnjeg iskustva stečenog predavanjem kolegija “Linearna algebra” studentima prve godine na Matematičkom odjelu PMF-a u Zagrebu.
SADRŽAJ
Korice
Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu
ISBN 953-212-182-X
Linearna algebra, 1. (9.) izdanje
Predgovor
Sadržaj
1. SKUPOVI I PRESLIKAVANJA
1.1. O simbolima i terminima
1.2. Skupovi
1.3. Preslikavanja
1.4. Kardinalni broj skupa
1.5. Kartezijev produkt skupova
1.6. Relacije
2. GRUPE
2.1. Binarna operacija. Grupoid
2.2. Asocijativnost. Polugrupa
2.3. Neutralni element. Monoid
2.4. Invertibilni elementi
2.5. Grupa
2.6. Alternativne definicije grupe
2.7. Podgrupa
2.8. Primjeri grupa
2.9. Grupe permutacija. Simetrična grupa
3. PRESLIKAVANJA GRUPA. KVOCIJENT I PRODUKT GRUPA
3.1. Homomorfizam grupa
3.2. Izomorfizam grupa
3.3. Primjeri izmnorfizama
3.4. Cayleyjev teorem
3.5. Normalne podgrupe
3.6. Susjedne klase. Lagrangeov teorem
3.7. Kvocijentna grupa
3.8. Teorem o izomorfizmu
3.9. Direktni produkt grupa
4. PRSTENOVI I TIJELA
4.1. Definicija prstena
4.2. Djelitelji nule. Integralna domena
4.3. Potprstenovi i ideali
4.4. Homomorfizam prstenova
4.5. Karakteristika
4.6. Tijelo i polje
5. KLASIČNA ALGEBRA VEKTORA
5.1 Uvodne napomene
5.2. Orijentirane dužine
5.3. Vektori
5.4. Modul, smjer i orijentacija vektora
5.5. Zbrajanje vektora
5.6. Množenje vektora skalarom
5.7. Kolinearni i komplanarni vektori
5.8. Baza prostora V?. Koordinatizacija
5.9. Skalarni produkt
5.10. Ortonormirana baza. Koordinatni prikaz skalarnog produkta
5.11. Vektorski produkt
5.12. Koordinatni prikaz vektorskog produkta
5.13. Mješoviti produkt
5.14. Operatori na V?
6. ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE U E?
6.1. Kartezijev koordinatni sustav
6.2. Udaljenost točke od ravnine
6.3. Razni oblici jednadžbe ravnine
6.4. Kut dviju ravnina
6.5. Analitička predočenja pravca
6.6. Kut dvaju pravaca. Kut pravca i ravnine
6.7. Udaljenost točke od pravca
6.8. Zajednička normala i najkraća udaljenost dvaju pravaca
6.9. Analitičko predočenje ploha. Plohe 2. reda
6.10. Analitičko predočenje krivulja
6.11. Neki drugi koordinatni sustavi u prostoru
7. LINEARNI PROSTOR
7.1. Definicija i osnovna svojstva
7.2. Primjeri linearnih prostora
7.3. Linearna zavisnost i nezavisnost
7.4. Skup izvodnica linearnog prostora. Baza i dimenzija
7.5. Konačnodimenzionalni prostori
7.6. Potprostori
7.7. Presjek i suma potprostora
7.8. Kvocijentni prostor. Direktni produkt prostora
8. LINEARNI OPERATORI
8.1. Definicija i osnovna svojstva
8.2. Primjeri linearnih operatora
8.3. Egzistencija i način zadavanja linearnih operatora
8.4. Izomorfizam linearnih prostora
8.5. Rang i defekt
8.6. Prostor Hom(U, V)
8.7. Linearni funkcionali. Dualni prostor
9. MATRICE I DETERMINANTE
9.1. Uvodne napomene
9.2. Definicija matrice
9.3. Linearni prostor Mmn
9.4. Množenje matrica. Algebra Mn
9.5. Regularne matrice. Opća linearna grupa
9.6. Rang matrice
9.7. Pojam determinante. Osnovna svojstva
9.8. Binet-Cauchyjev teorem
9.9. Laplaceov razvoj determinante
9.10. Još o rangu i inverzu matrice
10. INVARIJANTE LINEARNOG OPERATORA
10.1. Koordinatizacija
10.2. Transformacija koordinata
10.3. Matrični zapis linearnog operatora
10.4. lzomorfizam prostora Hom(U, V) i Mmn
10.5. Odnos matričnih zapisa istog operatora
10.6. Karakteristični polinom. Hamilton-Cayleyjev teorem
10.7. Minimalni polinom
10.8. Invarijantni potprostori
10.9. Svojstvene vrijednosti linearnog operatora
10.10. Dijagonalizacija. Jordanova forma matrice
11. SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI
11.1. Notacija i formulacija problema
11.2. Geometrijska interpretacija
11.3. Egzistencija rješenja
11.4. Cramerov sustav
11.5. Homogeni sustav
11.6. Nehomogeni sustav
11.7. Gauss-Jordanova metoda eliminacije
11.8. Metoda redukcije na Cramerov sustav
11.9. Matrične jednadžbe
12. UNITARNI PROSTOR
12.1. Uvodne napomene
12.2. Definicija i osnovna svojstva
12.3. Primjeri unitarnih prostora
12.4. Nejednakost Schwarz-Cauchy-Bunjakovskog
12.5. Norma vektora. Kut
12.6. Metrika
12.7. Gramova matrica
12.8. Ortonormirani skupovi vektora
12.9. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije
12.10. Ortogonalni komplement. Projektor
13. OPERATORI NA UNITARNOM PROSTORU
13.1. Unitarni operator
13.2. Karakterizacije unitarnog operatora
13.3. Matrica unitarnog operatora. Unitarna grupa
13.4. Adjungirani operator
13.5. Hermitski i antihermitski operatori
13.6. Normalni operatori
13.7. Dekompozicije linearnog operatora
13.8. Funkcionali na unitarnom prostoru
14. BILINEARNI I KVADRATNI FUNKCIONALI. FORME
14.1. Bilinearni funkcionali
14.2. Kvadratni funkcionali
14.3. Kvadratne forme. Lagrangeov algoritam
14.4. Zakon inercije. Definitnost forme
14.5. Hermitski funkcionali i pripadne forme
14.6. Pseudounitarni prostori
14.7. Geometrija linearnog prostora
15. KATEGORIJE I FUNKTORI
15.1. Definicija kategorije
15.2. Primjeri kategorija
15.3. Funktori
15.4. Prirodne transformacije
Literatura
Kazalo imena
Kazalo pojmova
Bilješka o autoru
Author(s): Krešimir Horvatić
Edition: 1st (9th)
Publisher: Golden marketing - Tehnička knjiga
Year: 2004
Language: Croatian
Pages: XV+699, 17x24 cm
City: Zagreb
Korice......Page 1
Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu......Page 3
ISBN 953-212-182-X......Page 4
Linearna algebra, 1. (9.) izdanje......Page 5
Predgovor......Page 7
Sadržaj......Page 11
1.1. O simbolima i terminima......Page 16
1.2. Skupovi......Page 20
1.3. Preslikavanja......Page 26
1.4. Kardinalni broj skupa......Page 34
1.5. Kartezijev produkt skupova......Page 36
1.6. Relacije......Page 42
2.1. Binarna operacija. Grupoid......Page 53
2.2. Asocijativnost. Polugrupa......Page 57
2.3. Neutralni element. Monoid......Page 59
2.4. Invertibilni elementi......Page 63
2.5. Grupa......Page 66
2.6. Alternativne definicije grupe......Page 70
2.7. Podgrupa......Page 73
2.8. Primjeri grupa......Page 79
2.9. Grupe permutacija. Simetrična grupa......Page 89
3.1. Homomorfizam grupa......Page 98
3.2. Izomorfizam grupa......Page 103
3.3. Primjeri izmnorfizama......Page 106
3.4. Cayleyjev teorem......Page 109
3.5. Normalne podgrupe......Page 112
3.6. Susjedne klase. Lagrangeov teorem......Page 116
3.7. Kvocijentna grupa......Page 119
3.8. Teorem o izomorfizmu......Page 123
3.9. Direktni produkt grupa......Page 127
4.1. Definicija prstena......Page 131
4.2. Djelitelji nule. Integralna domena......Page 137
4.3. Potprstenovi i ideali......Page 138
4.4. Homomorfizam prstenova......Page 142
4.5. Karakteristika......Page 147
4.6. Tijelo i polje......Page 149
5.1 Uvodne napomene......Page 156
5.2. Orijentirane dužine......Page 157
5.3. Vektori......Page 159
5.4. Modul, smjer i orijentacija vektora......Page 161
5.5. Zbrajanje vektora......Page 164
5.6. Množenje vektora skalarom......Page 167
5.7. Kolinearni i komplanarni vektori......Page 172
5.8. Baza prostora V³. Koordinatizacija......Page 177
5.9. Skalarni produkt......Page 180
5.10. Ortonormirana baza. Koordinatni prikaz skalarnog produkta......Page 185
5.11. Vektorski produkt......Page 188
5.12. Koordinatni prikaz vektorskog produkta......Page 195
5.13. Mješoviti produkt......Page 198
5.14. Operatori na V³......Page 204
6.1. Kartezijev koordinatni sustav......Page 217
6.2. Udaljenost točke od ravnine......Page 221
6.3. Razni oblici jednadžbe ravnine......Page 222
6.4. Kut dviju ravnina......Page 228
6.5. Analitička predočenja pravca......Page 230
6.6. Kut dvaju pravaca. Kut pravca i ravnine......Page 233
6.7. Udaljenost točke od pravca......Page 235
6.8. Zajednička normala i najkraća udaljenost dvaju pravaca......Page 237
6.9. Analitičko predočenje ploha. Plohe 2. reda......Page 241
6.10. Analitičko predočenje krivulja......Page 248
6.11. Neki drugi koordinatni sustavi u prostoru......Page 250
7.1. Definicija i osnovna svojstva......Page 256
7.2. Primjeri linearnih prostora......Page 260
7.3. Linearna zavisnost i nezavisnost......Page 264
7.4. Skup izvodnica linearnog prostora. Baza i dimenzija......Page 269
7.5. Konačnodimenzionalni prostori......Page 271
7.6. Potprostori......Page 277
7.7. Presjek i suma potprostora......Page 282
7.8. Kvocijentni prostor. Direktni produkt prostora......Page 291
8.1. Definicija i osnovna svojstva......Page 297
8.2. Primjeri linearnih operatora......Page 300
8.3. Egzistencija i način zadavanja linearnih operatora......Page 305
8.4. Izomorfizam linearnih prostora......Page 307
8.5. Rang i defekt......Page 312
8.6. Prostor Hom(U, V)......Page 318
8.7. Linearni funkcionali. Dualni prostor......Page 327
9.1. Uvodne napomene......Page 339
9.2. Definicija matrice......Page 340
9.3. Linearni prostor Mmn......Page 344
9.4. Množenje matrica. Algebra Mn......Page 348
9.5. Regularne matrice. Opća linearna grupa......Page 355
9.6. Rang matrice......Page 362
9.7. Pojam determinante. Osnovna svojstva......Page 371
9.8. Binet-Cauchyjev teorem......Page 378
9.9. Laplaceov razvoj determinante......Page 383
9.10. Još o rangu i inverzu matrice......Page 389
10.1. Koordinatizacija......Page 393
10.2. Transformacija koordinata......Page 395
10.3. Matrični zapis linearnog operatora......Page 399
10.4. lzomorfizam prostora Hom(U, V) i Mmn......Page 401
10.5. Odnos matričnih zapisa istog operatora......Page 405
10.6. Karakteristični polinom. Hamilton-Cayleyjev teorem......Page 406
10.7. Minimalni polinom......Page 412
10.8. Invarijantni potprostori......Page 420
10.9. Svojstvene vrijednosti linearnog operatora......Page 425
10.10. Dijagonalizacija. Jordanova forma matrice......Page 433
11.1. Notacija i formulacija problema......Page 442
11.2. Geometrijska interpretacija......Page 445
11.3. Egzistencija rješenja......Page 448
11.4. Cramerov sustav......Page 450
11.5. Homogeni sustav......Page 454
11.6. Nehomogeni sustav......Page 456
11.7. Gauss-Jordanova metoda eliminacije......Page 459
11.8. Metoda redukcije na Cramerov sustav......Page 466
11.9. Matrične jednadžbe......Page 469
12.1. Uvodne napomene......Page 472
12.2. Definicija i osnovna svojstva......Page 474
12.3. Primjeri unitarnih prostora......Page 477
12.4. Nejednakost Schwarz-Cauchy-Bunjakovskog......Page 479
12.5. Norma vektora. Kut......Page 481
12.6. Metrika......Page 486
12.7. Gramova matrica......Page 489
12.8. Ortonormirani skupovi vektora......Page 493
12.9. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije......Page 499
12.10. Ortogonalni komplement. Projektor......Page 504
13.1. Unitarni operator......Page 511
13.2. Karakterizacije unitarnog operatora......Page 518
13.3. Matrica unitarnog operatora. Unitarna grupa......Page 521
13.4. Adjungirani operator......Page 531
13.5. Hermitski i antihermitski operatori......Page 536
13.6. Normalni operatori......Page 545
13.7. Dekompozicije linearnog operatora......Page 554
13.8. Funkcionali na unitarnom prostoru......Page 570
14.1. Bilinearni funkcionali......Page 576
14.2. Kvadratni funkcionali......Page 585
14.3. Kvadratne forme. Lagrangeov algoritam......Page 588
14.4. Zakon inercije. Definitnost forme......Page 597
14.5. Hermitski funkcionali i pripadne forme......Page 606
14.6. Pseudounitarni prostori......Page 618
14.7. Geometrija linearnog prostora......Page 627
15.1. Definicija kategorije......Page 638
15.2. Primjeri kategorija......Page 646
15.3. Funktori......Page 649
15.4. Prirodne transformacije......Page 657
Literatura......Page 668
Kazalo imena......Page 673
Kazalo pojmova......Page 676
Bilješka o autoru......Page 698
