Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires

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Table des matières
Chapitre 1 Méthodes de compacité
1. Une équation hyperbolique non linéaire intervenant en Mécanique Quantique Relativiste
1.1 Position du problème
1.2 Espaces fonctionnels
1.3 Premier théorème d'existence
1.4 Démonstration du Théorème 1.1
1.5 Un théorème d'unicité
1.6 Un résultat de régularité
1.7 Un autre résultat de régularité. Bases spéciales
1.8 Inégalité et égalité de l'énergie
1.9 Remarques diverses
2. Exemples et contre-exemples dans le cas où il n'y a pas d'estimations globales a priori
2.1 Équation hyperbolique sans estimation a priori globale
2.2 L'ensemble mathcal{W}
2.3 Théorème de stabilité
2.4 Un théorème de non-existence
2.5 Remarque
3. Un autre exemple d'équation hyperbolique non linéaire
3.1 Position du problème
3.2 Un théorème d'existence et d'unicité
4. Problèmes de vibrations non linéaires
4.1 Les équations d'évolution
4.2 Équations d'évolution modifiées
4.3 Le cas stationnaire
4.4 Cas stationnaire ; régularité
5. Lemmes de compacité
5.1 Orientation
5.2 Lemmes de compacité
5.3 Application du Théorème 5.1
6. Équations de Navier-Stokes (cas d'évolution)
6.1 Position du problème
6.2 Le cas de la dimension d'espace 2. Unicité
6.3 Base spéciale
6.4 Démonstration du Théorème d'existence 6.1; première méthode
6.5 Démonstration du Théorème d'existence 6.1 ; deuxième méthode
6.6 Un théorème de régularité
6.7 Un théorème d'existence globale de solution forte
6.8 Un théorème d'unicité
6.9 Dépendance en la viscosité
7. Équations de Navier-Stokes (cas stationnaire)
7.1 Le problème homogène
7.2 Le problème non homogène
8. Un exemple d'équation parabolique fortement non linéaire
8.1 Position du problème
8.2 Estimations a priori. Généralités
8.3 Utilisation des estimations
8.4 Énoncé du Théorème
8.5 Démonstration du Lemme 8.1
8.6 Démonstration de l'existence dans le Théorème 8.1
8.7 Démonstration de l'unicité dans le Théorème 8.1
9. Problèmes de transmission et problèmes couplés
9.1 Un problème de transmission parabolique-hyperbolique
9.2 Équations couplées
10. Équation non linéaire du type Schroedinger
10.1 Position du problème
10.2 Théorème d'existence et unicité
11. Équations non linéaires sur des variétés sans ou avec bord
11.1 Position des problèmes
11.2 Formulation sur la variété r
11.3 Résultats
11.4 Cas avec bord
12. Équations d'évolution non linéaires dégénérées
12.1 Position du problème
12.2 Un résultat supplémentaire de compacité
12.3 Résolution du problème
13. Problèmes
14. Commentaires
Chapitre 2 Méthodes de monotonie et de monotonie et compacité
1. Équations paraboliques monotones
1.1 Exemples. Le cas p > 2
1.2 Démonstration de l'existence
1.3 Démonstration de l'unicité
1.4 Un résultat général
1.5 Applications des résultats généraux
1.6 Résultats de régularité
1.7 Somme d'opérateurs monotones
2. Problèmes stationnaires
2.1 Premier résultat général
2.2 Un théorème d'unicité. Applications de dualité
2.3 Exemples
2.4 Les opérateurs pseudo-monotones
2.5 Les opérateurs du Calcul des Variations. Étude axiomatique
2.6 Les opérateurs du Calcul des Variations. Exemples
3. Changement d'espace pivot. Applications
3.1 Généralités
3.2 Exemple. Problème non linéaire de la diffusion
3.3 Problèmes à frontière libre
4. Problèmes non linéaires d'évolution sur une variété
4.1 Position du problème
4.2 Opérateur se
4.3 Problème équivalent sur r
5. Variante des problèmes de Navier-Stokes - Méthode de monotonie et compacité
5.1 Généralités. Position des problèmes
5.2 Un théorème d'existence relatif au Problème 5.1
5.3 Un théorème d'unicité
5.4 Étude du Problème 5.3
6. Méthode de monotonie et opérateurs hyperboliques non linéaires
6.1 Position du Problème. Un théorème d'existence et d'unicité
6.2 Démonstration de l'existence
6.3 Démonstration de l'unicité
7. Méthode d'approximation d'opérateurs d'évolution par des opérateurs stationnaires
7.1 Généralités
7.2 Un théorème d'existence pour « équations d'évolution abstraites »
7.3 Applications (I). Équations paraboliques
7.4 Applications (II). Problèmes périodiques
7.5 Applications (III)
7.6 Applications (IV)
7.7 Remarques diverses
8. Inéquations variationnelles elliptiques
8.1 Exemples et orientation
8.2 Théorèmes d'existence pour les inéquations variationnelles elliptiques
8.3 Ensemble des solutions
8.4 Applications
8.5 Variantes
8.6 Interprétation des inéquations variationnelles avec les sous-différentielles
8.7 Régularité
8.8 Théorèmes de comparaison
8.9 Un autre type d'exemples
9. Inéquations d'évolution paraboliques
9.1 Position des problèmes
9.2 Hypothèses de compatibilité. Exemples
9.3 Théorème d'existence d'une solution « faible »
9.4 Théorème d'unicité de solution « faible »
9.5 Applications
9.6 Théorèmes de régularité
9.7 Remarques diverses
10. Compléments divers
10.1 Équations d'évolution
10.2 Inéquations d'évolution
11. Problèmes
12. Commentaires
Chapitre 3 Méthodes de régularisation et de pénalisation
1. Régularisation elliptique et équations d'évolution
1.1 Orientation
1.2 Lemmes de maximalisé
1.3 Premier théorème d'existence par la régularisation elliptique
1.4 Deuxième théorème d'existence par la régularisation elliptique
2. Applications
2.1 Problèmes paraboliques généraux
2.2 Problèmes paraboliques généraux. Solutions périodiques
2.3 Systèmes hyperboliques non linéaires du 1er ordre
2.4 Équations hyperboliques non linéaires du 1er ordre et équations de transport non linéaires
2.5 Problèmes non linéaires de Schroedinger
2.6 Une équation non linéaire changeant de type
2.7 Problèmes paraboliques non linéaires dans des ouverts non cylindriques
2.8 Problèmes non linéaires de type mêlé
3. Régularisation parabolique et inéquations variationnelles hyperboliques
3.1 Position des problèmes
3.2 Un résultat général
3.3 Applications
4. Régularisation parabolique et équation de Korteweg et de Vries
4.1 Position du problème. Intégrales d'énergie
4.2 Un théorème d'existence. Régularisation parabolique
4.3 Remarques diverses
5. Pénalisation et inéquations variationnelles elliptiques
5.1 Orientation
5.2 Opérateur de pénalisation
5.3 Application de la pénalisation
5.4 Exemples
5.5 Résultats de régularité
5.6 Remarques diverses
6. Pénalisation et inéquations variationnelles d'évolution paraboliques
6.1 Méthode générale
6.2 Exemples et applications à la régularité
6.3 Données initiales non nulles
6.4 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-Stokes (I)
6.5 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-Stokes (II)
7. Pénalisation et inéquations variationnelles d'évolution hyperboliques
7.1 Opérateurs linéaires
7.2 Exemples
7.3 Exemples d'inéquations pour opérateurs linéaires hyperboliques
8. Pénalisation et problèmes non linéaires dans des ouverts non cylindriques
8.1 Un exemple hyperbolique
8.2 Remarques diverses
9. Autres types d'approximation
9.1 Approximation d'inéquations elliptiques par des inéquations paraboliques
9.2 Nouveaux problèmes unilatéraux
10. Approximation par régularisation d'opérateurs multivoques
10.1 Équations multivoques hyperboliques
10.2 Inéquations multivoques hyperboliques
11. Problèmes
12. Commentaires
Chapitre 4 Méthodes itératives. Solutions particulières
1. Approximation par les méthodes de différences finies
1.1 Orientation
1.2 Semi-discrétisation et inéquations variationnelles
1.3 Semi-discrétisation spatiale ; application à une équation parabolique non linéaire dégénérée
2. Approximation par décomposition
2.1 Un problème de T. Carleman. Énoncé du Théorème
2.2 Démonstration de l'unicité
2.3 Méthode de décomposition
2.4 Estimations a priori
2.5 Passage à la limite. Démonstration du Théorème d'existence
3. Approximation par troncature
3.1 Position du Problème. Énoncé du résultat
3.2 Méthode de troncature
3.3 Démonstration du Théorème 3.1
3.4 Un exemple d'inéquation
4. Approximation par des systèmes du type de Cauchy-Kowaleska
4.1 Orientation
4.2 Équation de Navier-Stokes
4.3 Équations sur une variété
5. Approximations successives
5.1 Généralités
5.2 L'équation frac{partial u}{partial t} - Delta u - u^{1+alpha} = 0
5.3 Une équation intégro-différentielle non linéaire dans un espace du type de Gevrey
6. Solutions périodiques. Cas paraboliques
6.1 Orientation
6.2 Solutions périodiques des équations de Navier-Stokes
6.3 Remarques sur les problèmes unilatéraux
7. Solutions périodiques. Cas hyperboliques
7.1 Orientation
7.2 Résolution du problème (7.7) (7.8) par régularisation elliptique
7.3 Solutions périodiques d'inéquations hyperboliques
8. Comportement à l'infini en t
8.1 Orientation
8.2 Solutions bornées sur R_t d'équations d'évolution paraboliques monotones
8.3 Le cas des inéquations paraboliques
8.4 Remarques diverses
9. Quelques exemples d'équations aux dérivées partielles non linéaires liées à la théorie du contrôle optimal
9.1 Orientation
9.2 Problèmes de contrôle sans contraintes
9.3 Approximation par un problème d'évolution artificiel
9.4 Découplage du problème d'évolution artificiel
9.5 Découplage du problème de contrôle initial
9.6 Exemples
9.7 Remarques diverses
10. Problèmes
11. Commentaires
Bibliographie