Quelques questions d‘Algèbre, Géométrie et Probabilités

Couverture
Page de titre
Avant-propos
1 Groupes, anneaux
1.1 Définition d'un groupe
1.2 Exemples
1.3 Règles sur les puissances
1.3.1 Lemme sur l'associativité
1.3.2 Règles
1.4 Anneaux, corps
1.4.1 Définition
1.4.2 Exemples
1.4.3 Identités remarquables dans un anneau
1.5 Groupe symétrique S_n
1.5.1 Définitions
1.5.2 Non-commutativité
1.5.3 Une formule fondamentale
1.6 Groupe et anneau Z/nZ
1.6.1 Ensemble quotient
1.6.2 Équivalence modulo n dans Z
1.7 Sous-groupes
1.7.1 Définition
1.7.2 Exemples
1.7.3 Sous-groupes additifs de Z
1.7.4 Sous-groupes additifs de R
1.8 Sous-groupe engendré par une partie
1.9 Homomorphismes de groupes
1.9.1 Définition
1.9.2 Exemples
1.9.3 Propriétés immédiates
1.9.4 Automorphismes, sous-groupes distingués
1.9.5 Propriétés des homomorphismes, image, noyau
1.10 Classes à gauche, à droite, groupe quotient
1.10.1 Équivalence à gauche modulo H
1.10.2 Équivalence à droite modulo H
1.10.3 Cas d'un sous-groupe distingué: groupe quotient
1.10.4 Exemple
1.10.5 Théorème de Lagrange
1.11 Décomposition canonique d'un homomorphisme de groupes
1.12 Structure des groupes monogènes
1.12.1 Théorème de structure des groupes monogènes
1.12.2 Ordre d'un élément
1.12.3 Sous-groupes des groupes monogènes
1.12.4 Sous-groupes des groupes cycliques
1.13 Produit direct
1.14 Notions analogues dans les anneaux
1.14.1 Sous-anneaux
1.14.2 Sous-corps
1.14.3 Idéaux
1.14.4 Centre d'un anneau
1.14.5 Anneau quotient
1.14.6 Homomorphismes d'anneaux
1.14.7 Décomposition canonique d'un homomorphisme d'anneaux
1.14.8 Anneau produit direct
1.15 Appendice: PGCD et PPCM dans Z
1.15.1 PGCD
1.15.2 Algorithme d'Euclide
1.15.3 PPCM
1.15.4 Cas d'une famille finie d'éléments de Z
1.15.5 Décomposition en facteurs premiers
1.16 Exercices
2 Groupe orthogonal, Groupe euclidien
2.1 Rappels
2.1.1 Vecteurs et matrices
2.1.2 Produit scalaire
2.1.3 Adjoint d'un endomorphisme
2.2 Isométries, groupe orthogonal
2.2.1 Endomorphismes isométriques
2.2.2 Matrices orthogonales
2.2.3 Produit vectoriel en dimension 3
2.2.4 Semi-simplicité des endomorphismes isométriques
2.2.5 Calcul de SO(2) et O(2)
2.2.6 Réduction canonique d'un élément de SO(3)
2.2.7 Classes de conjugaison de SO(3)
2.3 Groupe euclidien
2.3.1 Isométries
2.3.2 Groupe euclidien
2.4 Exponentielle d'une matrice
2.4.1 Normes sur M_n(C)
2.4.2 Exponentielle sur M_n(C)
2.4.3 Propriétés de l'exponentielle d'une matrice
2.5 Exercices
3 Actions de groupes
3.1 Actions de groupe
3.1.1 Définition
3.1.2 Exemples
3.1.3 Stabilisateur et orbite
3.1.4 Équation des classes
3.1.5 Nombre d'orbites
3.2 Théorème de Cauchy
3.3 Exercices
4 Espace affine, barycentre
4.1 Espace affine
4.1.1 Structure affine sur un espace vectoriel
4.1.2 Espace affine
4.1.3 Repère affine
4.1.4 Application affine
4.1.5 Groupe affine
4.1.6 Isométries d'un espace affine euclidien
4.1.7 Sous-espace affine
4.2 Barycentre
4.2.1 Définition du barycentre
4.2.2 Associativité des barycentres
4.2.3 Image du barycentre par une application affine
4.2.4 Applications
4.2.5 Parties convexes
4.2.6 Points extrêmaux d'une partie convexe
4.3 Centre de gravité des solides
4.3.1 Longueur d'un arc
4.3.2 Aire d'un compact d'une nappe
4.3.3 Centre de gravité d'un solide
4.4 Exercices
5 Groupes de symétries
5.1 Compléments sur le groupe symétrique S_n
5.1.1 Décomposition en cycles disjoints
5.1.2 Homomorphisme signature
5.1.3 Exemples
5.2 Groupe diédral D_n, n>=3
5.3 Groupe des isométries du cube et du tétraèdre
5.3.1 Groupe des isométries du cube
5.3.2 Groupe des isométries du tétraèdre
5.4 Exercices
6 Géométrie euclidienne plane
6.1 Coniques
6.1.1 Ellipse
6.1.2 Hyperbole
6.1.3 Parabole
6.1.4 Équation d'une conique en coordonnées polaires
6.1.5 Courbes dont l'équation cartésienne est définie par un polynôme de degré 2
6.2 Cercles
6.2.1 Équation cartésienne
6.2.2 Puissance d'un point par rapport à un cercle
6.2.3 Axe radical
6.2.4 Faisceaux de cercles
6.3 Sections planes d'un cône de révolution
6.4 Mouvement à accélération centrale en 1/r²
6.4.1 Energie
6.4.2 Trajectoire
6.4.3 Lois de Kepler
6.5 Exercices
7 Angles en géométrie euclidienne plane
7.1 Angle orienté de 2 vecteurs
7.1.1 Un lemme fondamental
7.1.2 Identification canonique de SO(E) et SO(2) dans le cas orienté
7.1.3 Notations
7.1.4 Définition de l'angle orienté
7.1.5 Problème de la mesure des angles orientés
7.2 Isomorphisme canonique φ : T --> SO(2)
7.3 Revêtement universel de T
7.3.1 Fonctions cos et sin
7.3.2 Revêtement universel de T
7.4 Déterminations de l'angle orienté de 2 vecteurs
7.5 Additivité des angles
7.6 Formules
7.7 Somme des angles d'un triangle
7.8 Angle au centre et angle inscrit
7.9 Arc capable, cocyclicité
7.10 Argument d'un nombre complexe non nul
7.11 Mesure de l'angle non-orienté de 2 vecteurs
7.11.1 Définition de la mesure de l'angle non-orienté
7.11.2 Cas de la dimension 2
7.11.3 Relations métriques dans un triangle
7.12 Exercices
8 Probabilités
8.1 Lois de probabilité
8.1.1 Expérience aléatoire
8.1.2 Modélisation d'une expérience aléatoire
8.2 Exemples de lois de probabilité
8.2.1 Lois discrètes
8.2.2 Lois continues
8.3 Probabilités conditionnelles
8.3.1 Définition
8.3.2 Événements indépendants
8.3.3 Formule de Bayes
8.4 Variables aléatoires réelles
8.4.1 Notion de variable aléatoire réelle
8.4.2 Variables aléatoires discrètes
8.4.3 Variables aléatoires continues
8.5 Moments d'une variable aléatoire
8.5.1 Rappels sur les familles sommables
8.5.2 Cas d'une loi discrète
8.5.3 Cas d'une loi continue à densité
8.5.4 Inégalité de Bienaymé- Tchebychev
8.6 Loi des grands nombres
8.6.1 Loi faible des grands nombres
8.6.2 Loi forte des grands nombres
8.6.3 Convergence en probabilité et convergence presque sure
8.7 Théorème central limite
8.7.1 Convergence en loi d'une suite de v.a
8.7.2 Théorème central limite
8.7.3 Théorème de Berry-Esseen
8.7.4 Applications à la loi binomiale
8.7.5 Application à la loi de Poisson
8.8 Appendice 1
8.9 Appendice 2
8.9.1 Démonstration du Théorème 8.3
8.9.2 Démonstration de la Proposition 8.2
8.9.3 Démonstration du Théorème 8.4
8.9.4 Démonstration du Théorème 8.5
8.10 Exercices
Tables
Bibliographie (manquant)
Index (manquant)
Index des notations (manquant)
Index terminologique (manquant)