Als am 4. Oktober 1957 der erste Satellit in eine Erdumlaufbahn gebracht wurde, dachte noch niemand an eine Positionsbestimmung mit Hilfe von Satelliten, und doch war „Sputnik I“ der Wegbereiter der heutigen Satellitennavigationssysteme. Ursprünglich als rein militärische Anwendung konzipiert, wird die Satellitenortung heute überwiegend zivil genutzt, und neben dem amerikanischen GPS gibt es heute mit Galileo, Glonass und Beidou weitere gleichartige Systeme.
Das grundsätzliche Funktionsprinzip der Satellitenortung kann man überall nachlesen – aber damit beginnen erst die wirklich interessanten Fragen:
Woher kennt man den genauen Standort der Satelliten?
Wie kann man exakte Entfernungen zu Satelliten bestimmen, die über 20.000 km entfernt sind?
Warum nennt man diese Entfernungen „Pseudoentfernungen“?
Wieso werden an Bord der Satelliten Atomuhren mitgeführt?
Was ermöglicht einem Empfänger, die empfangenen Daten zu unterscheiden, wo doch alle Satelliten auf ein und derselben Frequenz senden?
Wie kann man aus den Entfernungen und den Satellitenorten die Empfängerposition berechnen?
Warum taugt das Kugelmodell der Erde nicht für eine exakte Positionsbestimmung?
Was ist, wenn Daten von mehr als den benötigten vier Satelliten zur Verfügung stehen?
Warum sind sogar relativistische Effekte zu berücksichtigen?
Dieses Buch gibt nicht nur verständliche und erschöpfende Antworten auf diese und viele weitere Fragen, sondern ermöglicht es interessierten Leserinnen und Lesern, die notwendigen Berechnungen von der Datengewinnung bis hin zur verblüffend exakten Positionsbestimmung mit Hilfe des Computer-Algebra-Systems Maxima Schritt für Schritt selbst nachzuvollziehen. Nicht zuletzt liefert es eine überzeugende Antwort auf die allgegenwärtige Frage von Schülern und Studierenden, wozu man denn all die Geometrie, Analysis und lineare Algebra überhaupt benötigt.
Schließlich greift das Buch über die Mathematik hinaus Themen aus der Physik, der Astronomie, der Nachrichtentechnik und der Datenverarbeitung auf und motiviert so zu einer spannenden Anwendung innerhalb des MINT-Bereichs.
Author(s): Helmut Albrecht
Series: Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Edition: 1
Publisher: Springer Spektrum
Year: 2022
Language: German
Pages: xx, 332
City: Berlin, Heidelberg
Tags: GPS; Angewandte Geometrie; Mathe Anwendungen; Satellitenortung; Positionsbestimmung; Wie funktioniert ein Navi; Koordinaten Geometrie
Vorwort
Hinweis der Herausgeber
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Verwendung von Maxima
2.1 Erste Schritte in Maxima
2.2 Listen in Maxima
2.2.1 Listen erstellen und auf Elemente zugreifen
2.2.2 Listenverarbeitung
2.3 Lineare Algebra mit Maxima
2.3.1 Erstellen von Vektoren und Matrizen
2.3.2 Operieren mit Vektoren und Matrizen
2.4 Erstellen eigener Funktionen
2.4.1 Winkel im Grad- und Bogenmaß
2.4.2 Berechnung des Hauptwerts
2.4.3 Bestimmung der Differenznorm
2.4.4 Die Funktion check_t()
2.5 Anlegen einer Makrobibliothek
3 NAVSTAR GPS
3.1 Die Anfänge
3.2 Das Prinzip und die Probleme
3.2.1 Verwendete Frequenzen
3.2.2 Satellitendaten
3.2.3 Datencodierung
3.2.4 Die Ortsbestimmung
3.2.5 Eliminierung des Laufzeitproblems
3.2.6 Das Intermezzo der Selective Availability
3.2.7 Satellitenbahnen
3.3 Das NAVSTAR-System
4 Zeitangaben im GPS
4.1 Zeitmessung
4.1.1 Eine kleine Uhrengeschichte
4.1.2 Das Funktionsprinzip einer Atomuhr
4.2 Das julianische Datum
4.3 Die GPS-Zeit
5 Datenübertragung und Entfernungsbestimmung
5.1 Datenstrom von den Satelliten
5.1.1 TLM und HOW
5.1.2 Rahmen und Unterrahmen
5.2 Code-Multiplex-Verfahren
5.3 Generierung des PRN-Codes
5.3.1 Erzeugung von Gold-Codes
5.3.2 Simulation in Maxima
5.3.2.1 Simulation des G1-Registers
5.3.2.2 Simulation des G2-Registers
5.3.2.3 Erzeugung der Gold-Sequenzen
5.3.2.4 Überprüfung der erzeugten Gold-Sequenzen
5.4 Laufzeiten feststellen durch Korrelation
5.4.1 Das Prinzip der Autokorrelation eines Signals
5.4.2 Autokorrelation mehrerer Signale
5.4.3 Autokorrelation zweier Signale in Maxima
5.4.4 Autokorrelation mehrerer Signale in Maxima
5.4.5 Korrelation der G2-Codes
5.5 Zweck der Autokorrelation
6 GPS-Empfänger und Rohdaten
6.1 Hardware
6.2 Software
6.2.1 Vorarbeiten
6.2.2 Das Programm u-center
6.2.3 Datenanzeige
6.2.4 Datenaufzeichnung
6.2.5 Festhalten des Aufnahmeorts
6.2.6 Speicherung des Almanachs
6.2.7 Das RINEX-Format
6.2.8 teqc
6.2.8.1 Verwendung unter Windows
6.2.8.2 Verwendung auf dem Mac
6.2.9 Beispiel für eine RINEX-Navigationsdatei
6.2.10 Beispiel für eine RINEX-Beobachtungsdatei
6.3 RINEX-Dateien in Maxima einlesen
6.3.1 Einlesen der Navigationsdatei
6.3.2 Einlesen der Beobachtungsdatei
7 RINEX-Daten in Maxima einbinden
7.1 Navigationsdaten konvertieren
7.1.1 Ephemeriden-Datensatz auslesen
7.2 Beobachtungsdaten konvertieren
7.2.1 Überprüfung der vorhandenen GPS-Satelliten
7.2.2 Pseudoentfernung auslesen
7.2.3 GPS-Zeit auslesen
7.2.4 Beobachtungsliste erstellen
7.2.5 Daten automatisiert einlesen
7.3 Zugriff auf einzelne Daten der Beobachtungsdatei
8 Beschreibung von Satellitenbahnen
8.1 Kepler-Gesetze
8.2 Beziehungen an der Ellipse
8.2.1 Definition
8.2.2 Herleitung der Ellipsengleichung
8.2.3 Lineare und numerische Exzentrizität
8.2.4 Der Formparameter p
8.2.5 Die Ellipse als affines Bild des Kreises
8.3 Ellipsen als Planetenbahnen
8.3.1 Anomalien der Planetenbahn
8.3.2 Polargleichung der Planetenbahn
8.3.3 Zusammenhang zwischen wahrer und exzentrischer Anomalie
8.3.4 Die mittlere Anomalie M
8.3.5 Herleitung der Kepler-Gleichung
8.4 Ephemeriden
8.5 Ephemeriden in Maxima darstellen
9 Bestimmung der Satellitenposition
9.1 Benötigte Konstanten
9.1.1 Der Gravitationsparameter
9.1.2 Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde
9.2 Bestimmung der für die Kepler-Gleichung benötigten Werte
9.3 Lösung der Kepler-Gleichung
9.4 Berechnung der wahren Anomalie
9.5 Korrekturen anbringen
9.6 Kartesische Koordinaten der Satellitenposition
9.7 Länge des aufsteigenden Knotens bestimmen
9.8 ECEF-Koordinaten bestimmen
9.8.1 Geozentrisches Koordinatensystem
9.8.2 Satellitenort in ECEF-Koordinaten
9.9 Maxima-Funktion zur Bestimmung des Satellitenorts
9.10 Bahndaten überprüfen
10 Der Almanach
10.1 Einlesen des Almanachs in Maxima
10.2 Positionsbestimmung mit dem Almanach
10.2.1 Veränderung der Funktion satpos()
10.2.2 Vergleich der Ergebnisse
10.3 Verteilung der Satelliten
10.3.1 Erste Darstellung der Satellitenpositionen
10.3.2 Umrechnung von ECEF-Koordinaten in Polarkoordinaten
10.3.3 Darstellung der Satellitenpositionen in der Ebene
10.3.4 Überprüfung der Satellitenbahnen
10.4 Parameterdarstellung von Kreisen
10.4.1 Parameterdarstellung von Kreisen in der Ebene
10.4.2 Parameterdarstellung von Kreisen im Raum
10.5 Affine Abbildungen und Abbildungsmatrizen
10.5.1 Kartesisches und affines Koordinatensystem
10.5.2 Berechnung affiner Koordinaten
10.5.3 Spezielle Abbildungsmatrizen
10.5.4 Die Drehmatrix
10.6 Darstellung aller Satellitenbahnen
11 Positionsbestimmung mit vier Satelliten
11.1 Entfernung vom Empfänger zu den Satelliten
11.2 Taylor-Reihen
11.2.1 Erste Näherung
11.2.2 Zweite Näherung
11.2.3 Dritte Näherung
11.2.4 Vierte Näherung und Verallgemeinerung
11.2.5 Anwendungen
11.2.6 Taylor-Reihen in Maxima
11.2.7 Taylor mehrdimensional
11.3 Linearisierung
11.4 Rechnerische Bestimmung mit vier Datensätzen
11.4.1 Überprüfung der Daten
11.4.2 Eine erste Funktion zur Positionsbestimmung
11.5 Berechnung mit den Daten anderer Satelliten
11.5.1 Variation durch Veränderung der Schleife
11.5.2 Darstellung der Position in Google Maps
11.5.3 Auswertung aller Satellitenkombinationen
12 Verbesserte Zeitbestimmung
12.1 Aussendezeit des Signals
12.2 Gangabweichung der Satellitenuhr
13 Die Methode der kleinsten Quadrate
13.1 Grundlagen
13.1.1 Geometrischer Ansatz
13.1.2 Rechnerische Bestimmung bei einer Proportionalität
13.1.3 Grafische Bestimmung bei einer Linearität
13.1.4 Bestimmung der Lösung mit Excel
13.1.5 Berechnung der Lösung
13.1.6 Bestimmung mit Maxima
13.1.7 Näherung mithilfe der linearen Algebra
13.2 Rechnerische Durchführung
14 Verbesserung des verwendeten Erdmodells
14.1 Die Erde als Rotationsellipsoid
14.2 Das Newton’sche Näherungsverfahren
14.2.1 Prinzip
14.2.2 Iteration
14.2.3 Wurzelbestimmung mit dem Newton-Verfahren
14.2.4 Die mehrdimensionale Newton-Näherung
14.2.5 Newton mit Maxima
14.3 Anwendung des Newton’schen Näherungsverfahrens
14.4 Erzielte Verbesserung
15 Berücksichtigung der Erddrehung
15.1 Ausmaß der Erddrehung
15.2 Korrektur der Erddrehung
16 Relativistische Korrektur
16.1 Kurzer Einschub zur Relativitätstheorie
16.1.1 Spezielle Relativitätstheorie
16.1.2 Allgemeine Relativitätstheorie
16.1.3 Berücksichtigung der relativistischen Effekte
16.2 Relativistische Korrektur
16.3 Auswertung aller Beobachtungszeitpunkte
17 Skyplot
17.1 Skyplot-Grundlagen
17.1.1 Bestimmung der Elevation
17.1.2 Bestimmung des Azimuts
17.2 Ein Skyplot in Maxima
17.2.1 Vorarbeiten
17.2.2 Berechnung der Elevation
17.2.3 Berechnung des Azimuts
17.2.4 Maxima-Funktion für Azimut und Elevation
17.2.5 Darstellung des Satellitenorts
Bisher erschienene Bände der Reihe Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Literatur
Stichwortverzeichnis
