Энциклопедия элементарной математики. Функции и пределы (основы анализа)

Энциклопедия элементарной математики. Книга третья. Функции и пределы (основы анализа). Под редакцией Александрова П.С., Маркушевича А.И. и Хинчина А.Я. Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1952 г. 560 с.......Page 1
ОГЛАВЛЕНИЕ......Page 3
Предисловие......Page 7
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ......Page 9
§ 1. Элементарные функции......Page 11
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений......Page 17
§ 3. Простейшие преобразования графиков......Page 25
§ 4. Прямая и обратная функции......Page 32
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы)......Page 34
§ 6. Классификация рациональных функций......Page 41
§ 7. Целые положительные степени......Page 42
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции)......Page 45
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени......Page 46
§ 10. Многочлены третьей степени......Page 48
§ 11. Биквадратные многочлены......Page 51
§ 12. Многочлены высших степеней......Page 52
§ 13. Целые отрицательные степени......Page 54
§ 14 Дробные линейные функции......Page 56
§ 15. Дробные функции второй степени......Page 58
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай)......Page 64
§ 17. Алгебраические иррациональные функции......Page 66
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций......Page 68
§ 20. Показательная функция......Page 78
§ 21. Функции, связанные с показательной......Page 84
§ 22. Логарифмическая функция......Page 88
§ 23. Функции, связанные с логарифмической......Page 90
§ 24 Произвольная степенная функция......Page 93
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус......Page 95
§ 26. Простые гармонические колебания......Page 101
§ 27. Тригонометрические многочлены......Page 105
§ 28. Многочлены Чебышева......Page 107
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции......Page 111
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них......Page 116
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения......Page 121
§ 32. Обратные тригонометрические функции......Page 128
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство......Page 134
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности......Page 140
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности......Page 149
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки......Page 153
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка......Page 159
§ 38. Предел последовательности: классическое определение и основные свойства......Page 165
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в «несобственном смысле»)......Page 173
§ 40. Предел функции на бесконечности......Page 176
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке......Page 180
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности......Page 187
§ 43. Примеры непрерывных функций......Page 190
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число е......Page 195
§ 45. Простая сходимость......Page 202
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной......Page 210
§ 47. Свойства непрерывных функций......Page 215
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций......Page 222
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов......Page 227
§ 50. Доказательство теоремы......Page 232
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества......Page 237
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции......Page 244
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции......Page 247
§ 54. Соответствие между множествами......Page 254
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах......Page 256
f56. Пространственные отображения......Page 260
57. Метрические пространства......Page 264
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве......Page 268
§ 59. Топологические пространства......Page 272
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность......Page 274
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства......Page 279
§ 62. Гомеоморфные отображения......Page 282
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей......Page 287
ПРОИЗВОДНЫЕ, ИНТЕГРАЛЫ И РЯДЫ......Page 297
Введение......Page 299
1. Задачи, приводящие к понятию производной......Page 303
2. Определение производной......Page 307
3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные......Page 309
4. Производные простейших элементарных функций......Page 312
5. Дифференцирование обратных функций......Page 318
6. Правила комбинирования формул дифференцирования......Page 320
7. Дифференциал......Page 327
8. Производные и дифференциалы высшего порядка......Page 333
9. Частные производные и полный дифференциал......Page 337
10. Теоремы Ферма и Ролля......Page 339
11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя......Page 342
12. Формула Тейлора......Page 346
13. Исследования П. Л. Чебышева и С. Н. Бернштейна......Page 353
14. Признаки постоянства и монотонности функции......Page 354
15. Экстремум функции......Page 359
16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке......Page 363
17. Основные понятия......Page 366
18. Интегрирование с помощью подстановки......Page 369
19. Интегрирование по частям......Page 371
20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций......Page 373
21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла......Page 377
22. Определённый интеграл......Page 380
23. Основные свойства интеграла......Page 385
24. Интеграл, как функция верхнего предела......Page 391
25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого......Page 393
26. Формула Валлиса......Page 398
27. Приближённое вычисление определённых интегралов......Page 400
28. Вычисление площадей......Page 408
29. Вычисление объёмов......Page 411
30. Длина дуги кривой......Page 417
31. Площадь поверхности вращения......Page 418
32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением......Page 420
33. Основные понятия......Page 425
34. Простейшие свойства рядов......Page 429
35. Положительные ряды......Page 431
36. Знакочередующиеся ряды......Page 437
37. Абсолютная сходимость......Page 440
38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов......Page 441
39. Промежуток сходимости......Page 447
40. Свойства суммы степенного ряда......Page 452
41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов......Page 457
42. Разложение арктангенса и вычисление я......Page 465
43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды......Page 469
44. Биномиальный ряд......Page 472
45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций......Page 481
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО......Page 491
§ 1. Рациональные функции......Page 493
§ 2. Пределы. Ряды......Page 496
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус......Page 500
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную......Page 504
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции......Page 507
§ 6. Логарифм......Page 508
§ 7. Произвольная степень......Page 510
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции......Page 511
§ 9. Производная......Page 513
§ 10. Интеграл......Page 517
§ 11. Приближение функций многочленами......Page 523
§ 12. Первообразная функция......Page 526
§ 13. Интеграл Коши......Page 532
§ 14. Понятие аналитической функции......Page 536
§ 15. Свойства аналитических функций......Page 539
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций......Page 544
§ 17. Примеры конформных отображений......Page 547
Алфавитный указатель......Page 553