Méthodes de la théorie des fonctions d’une variable complexe

Page de titre......Page 1
Préface à l'édition française......Page 3
Préface à la première édition russe......Page 4
Chapitre I NOTIONS FONDAMENTALES......Page 7
1. Nombres complexes......Page 8
2. Interprétation géométrique......Page 10
3. Notions géométriques......Page 14
4. Fonctions d'une variablc complexe......Page 15
5. Différentiabilité et analyticité......Page 17
§3. Fonctions élémentaires......Page 21
6. Fonctions w = zn et w = yr;......Page 22
7. Fonction de Joukovski......Page 26
8. Fonctions exponentielle et logarithmique......Page 29
9. Fonctions trigonométriques et hyperboliques......Page 34
10. Fonction puissance générale w = ZŒ......Page 39
11. Intégrale d'une fonction d'une variable complexe......Page 40
12. Théorème de Cauchy......Page 42
13. Extension aux domaines multiplement connexes......Page 48
14. Formule de Cauchy et théorème de la moyenne......Page 52
15. Principe du maximum et lemme de Schwarz......Page 53
16. Convergence uniforme......Page 56
17. Dérivées d'ordres supérieurs......Page 60
18. Séries de Taylor......Page 63
19. Séries entières......Page 66
21. Séries de Laurent......Page 71
22. Points singuliers......Page 76
23. Théorème des résidus. Principe de l'argument......Page 81
24. Point à l'infini......Page 87
25. Prolongement analytique. Généralisation de la notion de fonction analytique......Page 90
26. Surfaces de Riemann......Page 97
Bibliographie......Page 101
§1. Notions générales. Exemples......Page 102
27. Notion de représentation conforme......Page 103
28. Problème fondamental......Page 109
29. Correspondance des frontières......Page 112
30. Exemples......Page 119
§2. Représentations conformes simples......Page 125
31. Transformations homographiques......Page 126
32. Cas particuliers......Page 132
33. Exemples......Page 138
34. Transformations des lunules circulaires......Page 147
35. Principe de symétrie......Page 157
36. Exemples......Page 163
37. Transformation des polygones......Page 169
38. Remarques complémentaires......Page 175
39. Exemples......Page 182
40. Arrondissement des angles......Page 191
Bibliographie......Page 197
Chapitre III PROBLÈMES AUX LIMITES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS BT LEURS APPLICATIONS......Page 198
§1. Fonctions harmoniques......Page 199
41. Propriétés des fonctions harmoniques......Page 200
42. Propriétés des fonctions harmoniques (suite)......Page 208
43. Problème de Dirichlet......Page 214
44. Exemples. Compléments......Page 222
45. Méthode des réseaux......Page 231
46. Champ plan et potentiel complexe......Page 235
47. Représentations physiques......Page 246
48. Problèmes aux limites......Page 255
49. Exemples. Applications......Page 261
50. Problème plan de la théorie de l'élasticité......Page 273
51. Problèmes aux limites de la théorie de l'élasticité......Page 280
52. Intégrale du type Cauchy. Formules de Sokhotski......Page 287
53. Problème aux limites d'Hilbert-Privalov......Page 297
54. Formule de Keldych-Sédov......Page 304
55. Autres problèmes aux limites......Page 310
56. Équations aux dérivées partielles......Page 315
57. Problèmes d'hydrodynamique et de dynamique des gaz......Page 330
58. Théorie des charges creuses......Page 340
59. Problèmes de la théorie de l'élasticité......Page 350
Bibliographie......Page 357
60. Principe variationnel fondamental......Page 359
61. Extension du principe......Page 366
62. Dérivées frontières......Page 371
63. Domaines voisins du cercle......Page 376
64. Domaines voisins d'un domaine donné......Page 383
65. Extension de résultats......Page 386
66. Calcul de la portance......Page 394
67. Ondes dans un liquide pesant......Page 399
68. Écoulement avec décollement......Page 405
69. Mouvement des eaux souterraines......Page 408
Bibliographie......Page 415
70. Séries de Taylor et de Laurent......Page 416
71. Décomposition des fonctions méromorphes en éléments simples......Page 425
72. Développement des fonctions entières en produits infinis......Page 432
73. Calcul des intégrales......Page 439
74. Calcul des intégrales (suite)......Page 448
75. Calcul du nombre des zéros. Questions de stabilité......Page 455
76. Développements asymptotiques......Page 471
77. Méthode du col......Page 477
78. Méthode des fonctions génératrices......Page 487
Bibliographie......Page 491
Chapitre VI LE CALCUL SYMBOLIQUE ET SES APPLICATIONS......Page 492
79. Transformation de Laplace......Page 494
80. Propriétés de la transformation de Laplace......Page 503
81. Théorèmes de multiplication......Page 508
82. Théorèmes de développement......Page 514
83. Exemples. Compléments......Page 519
84. Équations et systèmes d'équations différentielles ordinaires......Page 535
85. Calcul des circuits électriques......Page 542
86. Équations aux dérivées partielles......Page 551
87. Calcul de longues lignes de transport de l'énergie électrique......Page 562
88. Autres transformations intégrales......Page 569
Bibliographie......Page 581
89. Définition et propriétés fondamentales......Page 582
90. Exemples. Compléments......Page 592
91. Systèmes de fonctions orthogonaux......Page 598
92. Polynômes orthogonaux......Page 604
93. Expression au moyen du poids. Fonctions génératrices......Page 610
94. Exemples. Applications......Page 618
§3. Fonctions cylindriques......Page 630
95. Fonctions cylindriques de première espèce......Page 631
96. Autres fonctions cylindriques......Page 642
97. Expressions asymptotiques des fonctions cylindriques......Page 651
98. Graphes des fonctions cylindriques. Distribution des zéros......Page 659
99. Exemples. Applications......Page 664
100. Fonctions périodiques......Page 676
101. Propriétés générales des fonctions elliptiques......Page 682
102. Intégrales elliptiques et fonctions de Jacobi......Page 688
103. Fonctions de Weierstrass. Fonctions thêta......Page 698
104. Exemples. Applications......Page 710
Bibliographie......Page 718
Index......Page 719